Espaces vectoriels et applications linéaires

Cours complet · mathématiques (PTSI), chapitre 11 · CPGE PTSI (1re année)

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<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>11.1 Introduction et motivation

Depuis le début de l'année, la même structure revient sous des habits différents : « solution générale $=$ solution particulière $+$ solutions de l'équation homogène » pour les systèmes linéaires, les équations différentielles, les suites arithmético-géométriques. Ce chapitre dévoile enfin le concept unificateur : la linéarité. Les objectifs sont les suivants :

acquérir les notions de base relatives aux espaces vectoriels et à l'indépendance linéaire ;
reconnaître les problèmes linéaires et les traduire à l'aide des notions d'espace vectoriel et d'application linéaire — jusqu'à la notion générale d'équation linéaire $u (x) = a$ ;
définir la dimension, qui compte les degrés de liberté d'un problème linéaire — en insistant sur les deux représentations d'un sous-espace : paramétrisation linéaire et description par équations linéaires.

En petite dimension, l'intuition géométrique guide tout : on en tirera parti par de nombreuses figures. $K$ désigne $R$ ou $C$ ; tout développement théorique sur la dimension infinie est hors programme.

11.2 Espaces vectoriels

11.2.1 Structure d'espace vectoriel

Définition 11.1

K

-espace vectoriel

Un $K$ -espace vectoriel est un ensemble $E$ muni d'une addition et d'une multiplication par les scalaires de $K$ , telles que :

l'addition est associative et commutative, admet un élément neutre — le vecteur nul $0_{E}$ — et tout $x \in E$ possède un opposé $- x$ (les règles de calcul usuelles de l'addition) ;
pour tous $λ, μ \in K$ et $x, y \in E$ :

$λ (x + y) = λ x + λ y, (λ + μ) x = λ x + μx, λ (μx) = (λ μ) x, 1 \cdot x = x .$

Les éléments de $E$ sont les vecteurs, ceux de $K$ les scalaires. Règles immédiates : $0 \cdot x = 0_{E}$ , $λ \cdot 0_{E} = 0_{E}$ , $(- 1) x = - x$ , et $λ x = 0_{E} ⟺ λ = 0$ ou $x = 0_{E}$ .

Exemple 11.2Les espaces vectoriels usuels

$K^{n}$ : les $n$ -uplets, opérations composante par composante — le modèle de tous les autres ;
$K [X]$ et $M_{n, p} (K)$ : les opérations des chapitres 10 et 7 en font des $K$ -espaces vectoriels ;
$K^{Ω}$ , l'espace des fonctions d'un ensemble $Ω$ dans $K$ (ou dans un espace vectoriel $F$ ), avec les opérations point par point — cas particulier fondamental : $K^{N}$ , l'espace des suites.

Définition 11.3Combinaisons linéaires

Une combinaison linéaire d'une famille finie $(x_{1}, \dots, x_{n})$ de vecteurs de $E$ est un vecteur de la forme

$λ_{1} x_{1} + λ_{2} x_{2} + \dots + λ_{n} x_{n}, λ_{i} \in K .$

Dans tout le chapitre, les familles de vecteurs considérées sont finies.

11.2.2 Sous-espaces vectoriels

Définition 11.4Sous-espace vectoriel

Une partie $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel (s.e.v.) si $F$ contient $0_{E}$ et est stable par combinaisons linéaires. Caractérisation :

$F s.e.v. de E ⟺ 0_{E} \in F et \forall x, y \in F, \forall λ \in K, λ x + y \in F .$

Un sous-espace est lui-même un espace vectoriel (structure héritée de celle de $E$ ).

Exemple 11.5

Le sous-espace nul ${0_{E}}$ et $E$ tout entier ; une droite vectorielle $K u = {λ u : λ \in K}$ ( $u \neq = 0$ ) ;
un plan vectoriel de $R^{3}$ , par exemple ${(x, y, z) : x + y + z = 0}$ (chapitre 9) ;
$K_{n} [X]$ est un sous-espace de $K [X]$ ; les fonctions continues, les suites bornées… ;
contre-exemples : ${(x, y) : x y = 0}$ (pas stable par somme), ${(x, y) : x + y = 1}$ (ne contient pas $0$ ).

Proposition 11.6Intersection

L'intersection d'une famille quelconque de sous-espaces vectoriels de $E$ est un sous-espace vectoriel. (La réunion, en général, non !)

Définition 11.7Sous-espace engendré par une famille finie

Soit $(x_{i})_{i \in I}$ une famille finie de vecteurs de $E$ . Le sous-espace engendré par la famille, noté $Vect (x_{i})_{i \in I}$ (ou $Vect (x_{1}, \dots, x_{n})$ ), est l'ensemble des combinaisons linéaires des $x_{i}$ . C'est le plus petit sous-espace contenant les $x_{i}$ : tout sous-espace contenant les $x_{i}$ contient $Vect (x_{i})_{i \in I}$ .

11.3 Familles de vecteurs

Définition 11.8Famille génératrice, famille libre, base

Soit $(x_{i})_{i \in I}$ une famille finie de vecteurs de $E$ .

Elle est génératrice (de $E$ ) si $Vect (x_{i})_{i \in I} = E$ : tout vecteur est combinaison linéaire des $x_{i}$ .
Elle est libre si la seule combinaison linéaire nulle est la combinaison triviale :

$i \sum λ_{i} x_{i} = 0 ⟹ \forall i, λ_{i} = 0$

(les $x_{i}$ sont linéairement indépendants) ; sinon elle est liée : l'un des vecteurs est combinaison des autres.

Une base est une famille à la fois libre et génératrice.

◆Théorème 11.9Coordonnées dans une base

$(e_{1}, \dots, e_{n})$ est une base de $E$ si et seulement si tout vecteur $x \in E$ s'écrit de manière unique :

$x = i = 1 \sum n λ_{i} e_{i} :$

les $λ_{i}$ sont les coordonnées de $x$ dans la base. (Génératrice = existence de l'écriture ; libre = unicité.)

Exemple 11.10Bases canoniques

$K^{n}$ : $(e_{1}, \dots, e_{n})$ avec $e_{i} = (0, \dots, 1, \dots, 0)$ ( $1$ en position $i$ ) ;
$M_{n, p} (K)$ : les matrices élémentaires $(E_{i, j})$ (chapitre 7 : $A = \sum a_{i, j} E_{i, j}$ , écriture unique) ;
$K_{n} [X]$ : $(1, X, X^{2}, \dots, X^{n})$ .

Proposition 11.11Deux outils de liberté

Ajout d'un vecteur : si $(x_{1}, \dots, x_{n})$ est libre, alors $(x_{1}, \dots, x_{n}, y)$ est libre si et seulement si $y \in / Vect (x_{1}, \dots, x_{n})$ .
Degrés échelonnés : une famille de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts est libre. En particulier, toute famille $(P_{0}, \dots, P_{n})$ avec $de g P_{k} = k$ est une base de $K_{n} [X]$ .

Démonstration (Démonstration pour les degrés échelonnés)

Supposons $\sum λ_{k} P_{k} = 0$ avec les $λ_{k}$ non tous nuls, et soit $j$ le plus grand indice tel que $λ_{j} \neq = 0$ : le membre de gauche a alors pour degré $de g P_{j} \geq 0$ (le terme dominant de $λ_{j} P_{j}$ ne peut être compensé, les autres degrés étant distincts et l'écriture échelonnée) — contradiction avec $de g 0 = - \infty$ . Pour la base de $K_{n} [X]$ : famille libre de $n + 1$ vecteurs, génératrice par récurrence descendante sur le degré.

Exemple 11.12

$(1, (X - a), (X - a)^{2}, \dots, (X - a)^{n})$ est une base de $K_{n} [X]$ , et les coordonnées de $P$ y sont les $\frac{P ^{(k)} ( a )}{k !}$ : c'est la formule de Taylor du chapitre 10, relue comme un changement de base !

11.4 Somme de deux sous-espaces

Définition 11.13Somme, somme directe, supplémentaires

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces de $E$ .

La somme $F + G = {f + g : f \in F, g \in G}$ est un sous-espace (le plus petit contenant $F$ et $G$ ).
La somme est directe, notée $F \oplus G$ , si la décomposition de tout vecteur de $F + G$ en $f + g$ est unique.
$F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ si $E = F \oplus G$ : tout vecteur de $E$ se décompose de manière unique en $f + g$ .

◆Théorème 11.14Caractérisation par l'intersection

La somme $F + G$ est directe si et seulement si $F \cap G = {0}$ .

Démonstration

Si la somme est directe et $x \in F \cap G$ : $x = x + 0 = 0 + x$ sont deux décompositions, donc $x = 0$ . Réciproquement, si $F \cap G = {0}$ et $f + g = f^{'} + g^{'}$ , alors $f - f^{'} = g^{'} - g \in F \cap G = {0}$ : $f = f^{'}$ et $g = g^{'}$ .

11.5 Espaces de dimension finie

11.5.1 Existence de bases

Définition 11.15

$E$ est de dimension finie s'il possède une famille génératrice finie.

◆Théorème 11.16Extraction et complétion

Soit $E \neq = {0}$ de dimension finie.

Théorème de la base extraite : de toute famille génératrice finie, on peut extraire une base. Plus précisément, si $(x_{i})_{1 \leq i \leq n}$ engendre $E$ et si $(x_{i})_{i \in I}$ est libre pour une partie $I$ de ${1, \dots, n}$ , il existe $J \supseteq I$ telle que $(x_{j})_{j \in J}$ soit une base de $E$ .
Théorème de la base incomplète : toute famille libre de $E$ peut être complétée en une base (en piochant les vecteurs manquants dans une famille génératrice).

En particulier, tout espace de dimension finie possède des bases.

Démonstration (Principe de la démonstration)

On part de la famille libre $(x_{i})_{i \in I}$ et on parcourt les générateurs $x_{1}, \dots, x_{n}$ : on ajoute $x_{j}$ à la famille s'il n'est pas déjà dans le $Vect$ de la famille courante (l'ajout préserve la liberté). À la fin, la famille obtenue est libre et son $Vect$ contient tous les $x_{j}$ , donc vaut $E$ : c'est une base.

11.5.2 Dimension

◆Théorème 11.17Le lemme fondamental et la dimension

Dans un espace engendré par $n$ vecteurs, toute famille de $n + 1$ vecteurs est liée. En conséquence, toutes les bases d'un espace $E$ de dimension finie ont le même nombre d'éléments, appelé dimension de $E$ et noté $dim E$ (avec $dim {0} = 0$ ).

Exemple 11.18Dimensions de référence

$dim K^{n} = n, dim K_{n} [X] = n + 1, dim M_{n, p} (K) = n p .$

Et trois espaces de solutions étudiés au premier semestre, relus en termes de dimension :

solutions de l'EDL homogène $y^{'} + a (x) y = 0$ : droite vectorielle $Vect (e^{- A})$ , dimension 1 ;
solutions de l'EDL2 homogène à coefficients constants : dimension 2 (base $(e^{r_{1} x}, e^{r_{2} x})$ ou $(e^{r x}, x e^{r x})$ ) ;
suites vérifiant $u_{n + 2} = a u_{n + 1} + b u_{n}$ : dimension 2 (l'application $(u_{n}) \mapsto (u_{0}, u_{1})$ est un isomorphisme sur $K^{2}$ ).

« Dimension » $=$ nombre de degrés de liberté : le nombre de constantes qu'il faut fixer.

◆Théorème 11.19Caractérisation des bases en dimension

n

Si $dim E = n$ , pour une famille $F$ de exactement $n$ vecteurs, il y a équivalence entre : $F$ libre, $F$ génératrice, $F$ base. (Avec le bon compte, une seule vérification suffit !)

Définition 11.20Rang d'une famille

Le rang d'une famille finie de vecteurs est $rg (x_{1}, \dots, x_{n}) = dim Vect (x_{1}, \dots, x_{n})$ : le nombre maximal de vecteurs libres qu'on peut en extraire.

11.5.3 Sous-espaces et dimension

◆Théorème 11.21Dimension des sous-espaces

Soit $E$ de dimension finie et $F$ un sous-espace de $E$ .

$F$ est de dimension finie et $dim F \leq dim E$ , avec égalité si et seulement si $F = E$ .
Formule de Grassmann : pour deux sous-espaces $F, G$ de $E$ :

$dim (F + G) = dim F + dim G - dim (F \cap G) .$

Tout sous-espace $F$ possède un supplémentaire, et :

$E = F \oplus G ⟺ F \cap G = {0} et dim F + dim G = dim E .$

iRemarque

La formule de Grassmann est l'analogue vectoriel de $∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣$ . Exemple d'application : deux plans (vectoriels) distincts de $R^{3}$ (chapitre 9) se coupent toujours selon une droite ( $dim (F \cap G) = 2 + 2 - dim (F + G) \geq 4 - 3 = 1$ ).

Définition 11.22Base adaptée

Si $E = F \oplus G$ , une base adaptée à la décomposition s'obtient en concaténant une base de $F$ et une base de $G$ ; de même, une base de $E$ est adaptée à $F$ si ses $dim F$ premiers vecteurs forment une base de $F$ .

11.6 Applications linéaires

11.6.1 Généralités

Définition 11.23Application linéaire

Soient $E, F$ deux $K$ -espaces vectoriels. Une application $u : E \to F$ est linéaire si :

$\forall x, y \in E, \forall λ \in K, u (x + y) = u (x) + u (y) et u (λ x) = λ u (x)$

(de façon équivalente : $u (λ x + y) = λ u (x) + u (y)$ ). On note $L (E, F)$ leur ensemble, $L (E) = L (E, E)$ (les endomorphismes). Un isomorphisme est une application linéaire bijective ; sa réciproque est automatiquement linéaire.

Exemple 11.24

$X \mapsto A X$ de $K^{p}$ dans $K^{n}$ , pour $A \in M_{n, p} (K)$ (chapitre 7) — l'exemple central, développé au chapitre suivant ;
la dérivation $P \mapsto P^{'}$ sur $K [X]$ , l'évaluation $P \mapsto P (a)$ , l'intégrale $f \mapsto \int_{0}^{1} f$ ;
les homothéties $x \mapsto λ x$ ; mais pas $x \mapsto x + a$ ( $a \neq = 0$ ) ni $x \mapsto x^{2}$ (l'image de $0$ doit être $0$ !).

Proposition 11.25Opérations

$L (E, F)$ est un espace vectoriel (combinaison linéaire d'applications linéaires) ; la composée de deux applications linéaires est linéaire, et la composition est bilinéaire : $(λ u + v) \circ w = λ u \circ w + v \circ w$ et $w \circ (λ u + v) = λ w \circ u + w \circ v$ .

◆Théorème 11.26Noyau et image

Soit $u \in L (E, F)$ .

L'image directe d'un sous-espace de $E$ et l'image réciproque d'un sous-espace de $F$ sont des sous-espaces. En particulier :

$Im u = u (E) (s.e.v. de F), Ker u = u^{- 1} ({0}) = {x \in E : u (x) = 0} (s.e.v. de E) .$

$u$ est injective si et seulement si $Ker u = {0}$ ; $u$ est surjective si et seulement si $Im u = F$ .
Si $(x_{i})_{i \in I}$ est une famille finie génératrice de $E$ , alors $Im u = Vect (u (x_{i}))_{i \in I}$ .

Définition 11.27Rang d'une application linéaire

$u$ est de rang fini si $Im u$ est de dimension finie ; on pose alors $rg (u) = dim Im u$ . Propriétés : $rg (v \circ u) \leq min (rg u, rg v)$ , et le rang est invariant par composition par un isomorphisme (à gauche ou à droite).

11.6.2 Endomorphismes : projecteurs et symétries

Proposition 11.28Composition des endomorphismes, groupe linéaire

Les endomorphismes de $E$ se combinent linéairement et se composent : la composée de deux endomorphismes est un endomorphisme, mais la composition n'est pas commutative dès que $dim E \geq 2$ . On note $u^{k} = u \circ \dots \circ u$ ( $k$ facteurs, $u^{0} = id_{E}$ ) pour $u \in L (E)$ et $k \in N$ . Les endomorphismes bijectifs (automorphismes) forment le groupe linéaire $GL (E)$ : on vérifie les propriétés (stabilité par composition et par passage à la réciproque, présence de $id_{E}$ ) lui conférant une structure de groupe, la définition axiomatique des groupes étant hors programme ; pour $u \in GL (E)$ , la notation $u^{k}$ garde un sens pour tout $k \in Z$ . L'identité $id_{E}$ et les homothéties $λ id$ commutent avec tout endomorphisme.

Définition 11.29Projecteurs et symétries (définition géométrique)

Soit $E = F \oplus G$ : tout $x$ s'écrit uniquement $x = x_{F} + x_{G}$ .

Le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$ est $p : x \mapsto x_{F}$ . On a $Im p = F = Ker (id - p)$ et $Ker p = G$ .
La symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$ est $s : x \mapsto x_{F} - x_{G}$ . On a $s = 2 p - id$ .

◆Théorème 11.30Caractérisations algébriques

$p \in L (E)$ est un projecteur (sur $Im p$ , parallèlement à $Ker p$ ) si et seulement si $p^{2} = p$ ; on a alors $E = Im p \oplus Ker p$ .
$s \in L (E)$ est une symétrie si et seulement si $s^{2} = id$ ; alors $E = Ker (s - id) \oplus Ker (s + id)$ (vecteurs invariants $\oplus$ vecteurs changés en leur opposé).

Démonstration (Démonstration pour les projecteurs)

Si $p$ projette sur $F$ parallèlement à $G$ : $p (x) = x_{F} \in F$ se décompose en $x_{F} + 0$ , donc $p (p (x)) = x_{F} = p (x)$ . Réciproquement, si $p^{2} = p$ : tout $x$ s'écrit $x = p (x) + (x - p (x))$ avec $p (x) \in Im p$ et $p (x - p (x)) = p (x) - p^{2} (x) = 0$ ; et si $y \in Im p \cap Ker p$ , alors $y = p (z)$ et $0 = p (y) = p^{2} (z) = p (z) = y$ . Donc $E = Im p \oplus Ker p$ , et $p$ est bien la projection associée.

11.6.3 Détermination d'une application linéaire

◆Théorème 11.31Une application linéaire est déterminée par l'image d'une base

Soient $(e_{i})_{i \in I}$ une base de $E$ et $(f_{i})_{i \in I}$ une famille quelconque de vecteurs de $F$ . Il existe une unique application linéaire $u \in L (E, F)$ telle que $u (e_{i}) = f_{i}$ pour tout $i$ . De plus :

$u injective ⟺ (f_{i}) libre, u surjective ⟺ (f_{i}) g e ˊ n e ˊ ratrice,$

$u bijective ⟺ (f_{i}) base .$

Démonstration (Idée)

Nécessairement $u (\sum λ_{i} e_{i}) = \sum λ_{i} f_{i}$ : l'unicité de la décomposition dans la base rend cette formule bien définie, et elle est linéaire. Les caractérisations s'en déduisent en traduisant noyau et image.

◆Théorème 11.32Isomorphismes et dimension

Deux espaces de dimension finie sont isomorphes si et seulement s'ils ont la même dimension ; en particulier, tout espace de dimension $n$ est isomorphe à $K^{n}$ (choisir une base $=$ prendre les coordonnées).
Si $dim E = dim F < \infty$ et $u \in L (E, F)$ , alors :

$u injective ⟺ u surjective ⟺ u bijective .$

Un endomorphisme d'un espace de dimension finie inversible à gauche ou à droite est inversible.
$dim L (E, F) = dim E \times dim F$ .

Attention

L'équivalence injective $⟺$ surjective exige la dimension finie : sur $K [X]$ , la dérivation est surjective mais pas injective, et $P \mapsto X P$ est injective mais pas surjective.

Proposition 11.33Recollement sur une somme directe

Si $E = E_{1} \oplus E_{2}$ et $u_{1} \in L (E_{1}, F)$ , $u_{2} \in L (E_{2}, F)$ , il existe une unique $u \in L (E, F)$ coïncidant avec $u_{1}$ sur $E_{1}$ et $u_{2}$ sur $E_{2}$ (poser $u (x_{1} + x_{2}) = u_{1} (x_{1}) + u_{2} (x_{2})$ ).

11.6.4 Le théorème du rang

◆Théorème 11.34Théorème du rang

Soit $u \in L (E, F)$ avec $E$ de dimension finie.

Forme géométrique : si $S$ est un supplémentaire de $Ker u$ dans $E$ , alors $u$ induit un isomorphisme de $S$ sur $Im u$ .
Forme numérique :

$dim E = dim Ker u + rg (u) .$

Démonstration

Soit $u : S \to Im u$ la restriction de $u$ . Injective : si $x \in S$ et $u (x) = 0$ , alors $x \in S \cap Ker u = {0}$ . Surjective : tout $y \in Im u$ s'écrit $y = u (x)$ avec $x = k + s$ ( $k \in Ker u$ , $s \in S$ ), d'où $y = u (s) = u (s)$ . Donc $u$ est un isomorphisme, et $rg u = dim S = dim E - dim Ker u$ .

iRemarque

Lecture en degrés de liberté : sur les $dim E$ degrés de liberté de départ, $dim Ker u$ sont « écrasés » par $u$ , les $rg u$ restants survivent dans l'image. C'est l'outil de calcul de dimensions — souvent combiné avec : $u$ injective $⟺ rg u = dim E$ , $u$ surjective $⟺ rg u = dim F$ .

ImportantLes deux représentations d'un sous-espace

Un sous-espace $F$ d'un espace $E$ de dimension finie se décrit de deux façons complémentaires :

paramétrisation : $F = Vect (v_{1}, \dots, v_{d})$ , soit $d$ paramètres — adapté pour produire des vecteurs de $F$ ;
description par équations linéaires : $F$ est l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène, c'est-à-dire le noyau d'une application linéaire — adapté pour tester l'appartenance.

Exemple dans $R^{3}$ : le plan d'équation $x + y + z = 0$ (chapitre 9) est aussi $Vect ((- 1, 1, 0), (- 1, 0, 1))$ . Passer d'une représentation à l'autre, c'est résoudre un système (chapitre 7) : éliminer les paramètres, ou résoudre les équations.

11.7 Équations linéaires

Définition 11.35Équation linéaire

Une équation linéaire est une équation de la forme

$u (x) = a,$

d'inconnue $x \in E$ , où $u \in L (E, F)$ et $a \in F$ sont donnés. L'équation homogène associée est $u (x) = 0$ , dont l'ensemble des solutions est le sous-espace $Ker u$ .

◆Théorème 11.36Structure de l'ensemble des solutions : le théorème unificateur

L'ensemble des solutions de l'équation linéaire $u (x) = a$ est :

soit vide (si $a \in / Im u$ ) ;
soit de la forme

$x_{0} + Ker u = {x_{0} + h : h \in Ker u},$

où $x_{0}$ est une solution particulière : « solution générale $=$ solution particulière $+$ solution générale de l'équation homogène ».

Démonstration

Si $x_{0}$ est solution : $u (x) = a ⟺ u (x) - u (x_{0}) = 0 ⟺ u (x - x_{0}) = 0 ⟺ x \in x_{0} + Ker u$ .

ImportantLe grand retour : toutes les structures « particulière + homogène »

Le théorème précédent unifie d'un coup toutes les situations rencontrées cette année :

Problème	Application $u$	Solutions de $u (x) = a$
Système linéaire (ch. 7)	$X \mapsto A X$	$X_{0} + {A X = 0}$
EDL1 (ch. 4)	$y \mapsto y^{'} + a (x) y$	$y_{p} + Vect (e^{- A})$ : un paramètre
EDL2 (ch. 4)	$y \mapsto y^{''} + a y^{'} + b y$	$y_{p} +$ noyau de dimension $2$
Suites arithm.-géom. (ch. 5)	$(u_{n}) \mapsto (u_{n + 1} - a u_{n})$	particulière $+$ géométriques

Reconnaître un problème linéaire, c'est gagner d'avance la structure de ses solutions.

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