Polynômes

Cours · mathématiques (PTSI), chapitre 10 · CPGE PTSI (1re année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La courbe d'un polynôme de degré 3 et ses trois racines réelles.

10.1 Introduction et motivation

Les polynômes sont des objets particulièrement riches, dont l'étude interagit avec presque tous les thèmes du semestre : les équations algébriques prolongent le chapitre 3 sur les nombres complexes ; la division euclidienne fournit un algorithme de calcul aussi efficace que celui des entiers ; enfin, la décomposition en éléments simples de certaines fonctions rationnelles transforme un quotient compliqué en une somme de termes élémentaires — un outil qui rend immédiats bien des calculs de primitives, de dérivées successives ou de sommes télescopiques.

Dans tout le chapitre, $K$ désigne $R$ ou $C$ .

10.2 L'ensemble des polynômes à une indéterminée

Définition 10.1Polynômes

Un polynôme à coefficients dans $K$ est une expression

$P = a_{n} X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{1} X + a_{0}, a_{i} \in K,$

où $X$ est l'indéterminée. L'ensemble des polynômes est noté $K [X]$ ; on le munit de l'addition et de la multiplication usuelles (on développe et on regroupe par degré), qui obéissent aux règles de calcul habituelles. (La construction rigoureuse de $K [X]$ — suites de coefficients presque toutes nulles — est hors programme.)

Définition 10.2Degré, coefficient dominant

Si $P = a_{n} X^{n} + \dots + a_{0}$ avec $a_{n} \neq = 0$ , l'entier $n$ est le degré de $P$ , noté $de g P$ ; $a_{n}$ est le coefficient dominant, et $P$ est unitaire si $a_{n} = 1$ . Par convention, $de g 0 = - \infty$ . On note $K_{n} [X]$ l'ensemble des polynômes de degré au plus $n$ .

Proposition 10.3Degré d'une somme, d'un produit

Pour tous $P, Q \in K [X]$ :

$de g (P + Q) \leq max (de g P, de g Q) (e ˊ galit e ˊ si de g P \neq = de g Q), de g (P Q) = de g P + de g Q .$

En conséquence, le produit de deux polynômes non nuls est non nul : si $P Q = 0$ , alors $P = 0$ ou $Q = 0$ .

Proposition 10.4Formule du binôme dans

K [X]

Le produit des polynômes étant commutatif, la formule du binôme du chapitre 2 vaut dans $K [X]$ : pour tous $A, B \in K [X]$ et $n \in N$ ,

$(A + B)^{n} = k = 0 \sum n (k n) A^{k} B^{n - k},$

et de même la factorisation $A^{n} - B^{n} = (A - B) \sum_{k = 0}^{n - 1} A^{k} B^{n - 1 - k}$ . Exemple d'usage constant : le développement de $(X - a)^{n}$ , au cœur de la formule de Taylor polynomiale ci-dessous.

Démonstration

Si $P$ et $Q$ sont non nuls, de coefficients dominants $a_{n}$ et $b_{m}$ , le coefficient de $X^{n + m}$ dans $P Q$ est $a_{n} b_{m} \neq = 0$ (un produit de deux scalaires non nuls de $K$ est non nul) : ainsi $de g (P Q) = n + m$ et $P Q \neq = 0$ .

Définition 10.5Composition

La composée de $P = \sum a_{k} X^{k}$ par $Q$ est $P \circ Q = \sum a_{k} Q^{k}$ (on « substitue » $Q$ à $X$ ). Si $P$ et $Q$ sont non constants : $de g (P \circ Q) = de g P \times de g Q$ .

10.3 Divisibilité et division euclidienne

Définition 10.6Divisibilité

$A$ divise $B$ dans $K [X]$ , noté $A ∣ B$ , s'il existe $C \in K [X]$ tel que $B = A C$ . On dit alors que $A$ est un diviseur de $B$ , et $B$ un multiple de $A$ .

◆Théorème 10.7Division euclidienne

Soient $A, B \in K [X]$ avec $B \neq = 0$ . Il existe un unique couple $(Q, R)$ de polynômes tel que :

$A = B Q + R et de g R < de g B .$

$Q$ est le quotient, $R$ le reste.

Démonstration

Existence, par l'algorithme : tant que $de g A \geq de g B$ , on retranche à $A$ le multiple $\frac{a _{n}}{b _{m}} X^{n - m} B$ (qui a même terme dominant), ce qui fait strictement baisser le degré ; on s'arrête quand le reste a un degré $< de g B$ . Unicité : si $B Q + R = B Q^{'} + R^{'}$ , alors $B (Q - Q^{'}) = R^{'} - R$ avec $de g (R^{'} - R) < de g B$ ; si $Q \neq = Q^{'}$ , le membre de gauche a un degré $\geq de g B$ — contradiction. Donc $Q = Q^{'}$ puis $R = R^{'}$ .

Exemple 10.8Division posée

Divisons $A = X^{4} + X^{3} - 2 X + 1$ par $B = X^{2} + 1$ :

$X^{4} + X^{3} - 2 X + 1 = (X^{2} + 1) (X^{2} + X - 1) + (- 3 X + 2) .$

(On retranche successivement $X^{2} B$ , puis $X B$ , puis $- B$ ; le reste $- 3 X + 2$ est de degré $1 < 2$ .)

10.4 Fonctions polynomiales et racines

10.4.1 Racines et divisibilité

Définition 10.9Fonction polynomiale, racine

À tout $P = \sum a_{k} X^{k} \in K [X]$ on associe la fonction polynomiale $P : x \mapsto \sum a_{k} x^{k}$ de $K$ dans $K$ (on note simplement $P (x)$ ). Une racine (ou zéro) de $P$ est un élément $a \in K$ tel que $P (a) = 0$ .

◆Théorème 10.10Racine et divisibilité

$a$ est racine de $P$ si et seulement si $(X - a) ∣ P$ .

Démonstration

Divisons $P$ par $X - a$ : $P = (X - a) Q + R$ avec $de g R < 1$ , donc $R$ constant. En évaluant en $a$ : $R = P (a)$ . Ainsi $P = (X - a) Q + P (a)$ , et $P (a) = 0 ⟺ (X - a) ∣ P$ . (C'est la version polynomiale de la factorisation vue au chapitre 3 pour les équations algébriques.)

Exercices du chapitre

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre