Polynômes

Cours complet · mathématiques (PTSI), chapitre 10 · CPGE PTSI (1re année)

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<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>10.1 Introduction et motivation

Les polynômes sont des objets particulièrement riches, dont l'étude interagit avec presque tous les thèmes du semestre : les équations algébriques prolongent le chapitre 3 sur les nombres complexes ; la division euclidienne fournit un algorithme de calcul aussi efficace que celui des entiers ; enfin, la décomposition en éléments simples de certaines fonctions rationnelles transforme un quotient compliqué en une somme de termes élémentaires — un outil qui rend immédiats bien des calculs de primitives, de dérivées successives ou de sommes télescopiques.

Dans tout le chapitre, $K$ désigne $R$ ou $C$ .

10.2 L'ensemble des polynômes à une indéterminée

Définition 10.1Polynômes

Un polynôme à coefficients dans $K$ est une expression

$P = a_{n} X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{1} X + a_{0}, a_{i} \in K,$

où $X$ est l'indéterminée. L'ensemble des polynômes est noté $K [X]$ ; on le munit de l'addition et de la multiplication usuelles (on développe et on regroupe par degré), qui obéissent aux règles de calcul habituelles. (La construction rigoureuse de $K [X]$ — suites de coefficients presque toutes nulles — est hors programme.)

Définition 10.2Degré, coefficient dominant

Si $P = a_{n} X^{n} + \dots + a_{0}$ avec $a_{n} \neq = 0$ , l'entier $n$ est le degré de $P$ , noté $de g P$ ; $a_{n}$ est le coefficient dominant, et $P$ est unitaire si $a_{n} = 1$ . Par convention, $de g 0 = - \infty$ . On note $K_{n} [X]$ l'ensemble des polynômes de degré au plus $n$ .

Proposition 10.3Degré d'une somme, d'un produit

Pour tous $P, Q \in K [X]$ :

$de g (P + Q) \leq max (de g P, de g Q) (e ˊ galit e ˊ si de g P \neq = de g Q), de g (P Q) = de g P + de g Q .$

En conséquence, le produit de deux polynômes non nuls est non nul : si $P Q = 0$ , alors $P = 0$ ou $Q = 0$ .

Proposition 10.4Formule du binôme dans

K [X]

Le produit des polynômes étant commutatif, la formule du binôme du chapitre 2 vaut dans $K [X]$ : pour tous $A, B \in K [X]$ et $n \in N$ ,

$(A + B)^{n} = k = 0 \sum n (k n) A^{k} B^{n - k},$

et de même la factorisation $A^{n} - B^{n} = (A - B) \sum_{k = 0}^{n - 1} A^{k} B^{n - 1 - k}$ . Exemple d'usage constant : le développement de $(X - a)^{n}$ , au cœur de la formule de Taylor polynomiale ci-dessous.

Démonstration

Si $P$ et $Q$ sont non nuls, de coefficients dominants $a_{n}$ et $b_{m}$ , le coefficient de $X^{n + m}$ dans $P Q$ est $a_{n} b_{m} \neq = 0$ (un produit de deux scalaires non nuls de $K$ est non nul) : ainsi $de g (P Q) = n + m$ et $P Q \neq = 0$ .

Définition 10.5Composition

La composée de $P = \sum a_{k} X^{k}$ par $Q$ est $P \circ Q = \sum a_{k} Q^{k}$ (on « substitue » $Q$ à $X$ ). Si $P$ et $Q$ sont non constants : $de g (P \circ Q) = de g P \times de g Q$ .

10.3 Divisibilité et division euclidienne

Définition 10.6Divisibilité

$A$ divise $B$ dans $K [X]$ , noté $A ∣ B$ , s'il existe $C \in K [X]$ tel que $B = A C$ . On dit alors que $A$ est un diviseur de $B$ , et $B$ un multiple de $A$ .

◆Théorème 10.7Division euclidienne

Soient $A, B \in K [X]$ avec $B \neq = 0$ . Il existe un unique couple $(Q, R)$ de polynômes tel que :

$A = B Q + R et de g R < de g B .$

$Q$ est le quotient, $R$ le reste.

Démonstration

Existence, par l'algorithme : tant que $de g A \geq de g B$ , on retranche à $A$ le multiple $\frac{a _{n}}{b _{m}} X^{n - m} B$ (qui a même terme dominant), ce qui fait strictement baisser le degré ; on s'arrête quand le reste a un degré $< de g B$ . Unicité : si $B Q + R = B Q^{'} + R^{'}$ , alors $B (Q - Q^{'}) = R^{'} - R$ avec $de g (R^{'} - R) < de g B$ ; si $Q \neq = Q^{'}$ , le membre de gauche a un degré $\geq de g B$ — contradiction. Donc $Q = Q^{'}$ puis $R = R^{'}$ .

Exemple 10.8Division posée

Divisons $A = X^{4} + X^{3} - 2 X + 1$ par $B = X^{2} + 1$ :

$X^{4} + X^{3} - 2 X + 1 = (X^{2} + 1) (X^{2} + X - 1) + (- 3 X + 2) .$

(On retranche successivement $X^{2} B$ , puis $X B$ , puis $- B$ ; le reste $- 3 X + 2$ est de degré $1 < 2$ .)

10.4 Fonctions polynomiales et racines

10.4.1 Racines et divisibilité

Définition 10.9Fonction polynomiale, racine

À tout $P = \sum a_{k} X^{k} \in K [X]$ on associe la fonction polynomiale $P : x \mapsto \sum a_{k} x^{k}$ de $K$ dans $K$ (on note simplement $P (x)$ ). Une racine (ou zéro) de $P$ est un élément $a \in K$ tel que $P (a) = 0$ .

◆Théorème 10.10Racine et divisibilité

$a$ est racine de $P$ si et seulement si $(X - a) ∣ P$ .

Démonstration

Divisons $P$ par $X - a$ : $P = (X - a) Q + R$ avec $de g R < 1$ , donc $R$ constant. En évaluant en $a$ : $R = P (a)$ . Ainsi $P = (X - a) Q + P (a)$ , et $P (a) = 0 ⟺ (X - a) ∣ P$ . (C'est la version polynomiale de la factorisation vue au chapitre 3 pour les équations algébriques.)

ImportantMéthode de Horner

Pour évaluer $P = a_{n} X^{n} + \dots + a_{0}$ en $x$ , on écrit :

$P (x) = (\dots ((a_{n} x + a_{n - 1}) x + a_{n - 2}) x + \dots) x + a_{0} :$

on initialise $b_{n} = a_{n}$ , puis $b_{k} = b_{k + 1} x + a_{k}$ ; alors $P (x) = b_{0}$ , en seulement $n$ multiplications et $n$ additions (contre $\sim \frac{n ^{2}}{2}$ multiplications pour la méthode naïve). Bonus : les $b_{n}, \dots, b_{1}$ sont les coefficients du quotient de $P$ par $X - x$ , et $b_{0}$ le reste — Horner évalue et divise à la fois.

◆Théorème 10.11Nombre de racines

Un polynôme non nul de degré $n$ admet au plus $n$ racines (comptées sans multiplicité).

Démonstration

Par récurrence sur $n$ : si $a$ est racine de $P$ , alors $P = (X - a) Q$ avec $de g Q = n - 1$ ; toute autre racine $b \neq = a$ vérifie $(b - a) Q (b) = 0$ , donc $Q (b) = 0$ (dans $K$ , un produit nul a un facteur nul) : les racines de $P$ sont $a$ et celles de $Q$ , au plus $1 + (n - 1) = n$ .

↳Corollaire 10.12Le polynôme est déterminé par sa fonction

Si deux polynômes coïncident en une infinité de points (par exemple : $P (x) = Q (x)$ pour tout $x \in K$ ), alors $P = Q$ (égalité des coefficients). En effet $P - Q$ a une infinité de racines, donc est le polynôme nul. On peut ainsi identifier polynômes et fonctions polynomiales.

10.4.2 Multiplicité et polynômes scindés

Définition 10.13Multiplicité d'une racine

$a$ est racine de $P$ de multiplicité $m \geq 1$ si $(X - a)^{m} ∣ P$ et $(X - a)^{m + 1} ∤ P$ , c'est-à-dire $P = (X - a)^{m} Q$ avec $Q (a) \neq = 0$ . ( $m = 1$ : racine simple ; $m = 2$ : double…)

Définition 10.14Polynôme scindé

$P \in K [X]$ de degré $n \geq 1$ est scindé sur $K$ s'il s'écrit comme produit de facteurs de degré $1$ :

$P = a_{n} (X - x_{1}) (X - x_{2}) \dots (X - x_{n}),$

les $x_{i}$ étant les racines, répétées selon leur multiplicité.

◆Théorème 10.15Somme et produit des racines d'un polynôme scindé

Si $P = a_{n} X^{n} + \dots + a_{0}$ est scindé de racines $x_{1}, \dots, x_{n}$ (avec multiplicité), alors :

$x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} = - \frac{a _{n - 1}}{a _{n}}, x_{1} x_{2} \dots x_{n} = (- 1)^{n} \frac{a _{0}}{a _{n}} .$

(Seuls la somme et le produit sont au programme ; les fonctions symétriques élémentaires générales sont hors programme.)

Démonstration (Idée de la démonstration)

On développe $a_{n} (X - x_{1}) \dots (X - x_{n})$ : le coefficient de $X^{n - 1}$ est $- a_{n} (x_{1} + \dots + x_{n})$ , le coefficient constant est $a_{n} (- 1)^{n} x_{1} \dots x_{n}$ , et on identifie. Pour $n = 2$ , on retrouve somme $= - \frac{b}{a}$ et produit $= \frac{c}{a}$ (chapitre 3).

10.5 Dérivation

Définition 10.16Dérivée formelle

La dérivée formelle de $P = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} X^{k}$ est :

$P^{'} = k = 1 \sum n k a_{k} X^{k - 1} .$

C'est une définition purement algébrique (aucune limite !) ; pour $K = R$ , elle coïncide avec la dérivée de la fonction polynomiale associée. On définit de même les dérivées successives $P^{(k)}$ .

Proposition 10.17Opérations

$(λ P + μ Q)^{'} = λ P^{'} + μ Q^{'}$ , $(P Q)^{'} = P^{'} Q + P Q^{'}$ , et la formule de Leibniz :

$(P Q)^{(n)} = k = 0 \sum n (k n) P^{(k)} Q^{(n - k)} .$

Si $de g P = n$ , alors $de g P^{'} = n - 1$ , $P^{(n)} = n! a_{n}$ et $P^{(n + 1)} = 0$ .

◆Théorème 10.18Formule de Taylor polynomiale

Pour tout $P \in K_{n} [X]$ et tout $a \in K$ :

$P = k = 0 \sum n \frac{P ^{(k)} ( a )}{k !} (X - a)^{k} .$

(Pour les polynômes, la formule de Taylor est une identité exacte, sans reste.)

Démonstration

En développant les puissances $(X - a)^{k}$ par le binôme, tout polynôme de degré $\leq n$ s'écrit (de façon unique, en identifiant les degrés de proche en proche) $P = \sum_{k = 0}^{n} c_{k} (X - a)^{k}$ . Dérivons $j$ fois et évaluons en $a$ : tous les termes s'annulent sauf celui d'indice $k = j$ , qui donne $P^{(j)} (a) = j! c_{j}$ . D'où $c_{j} = \frac{P ^{(j)} ( a )}{j !}$ .

◆Théorème 10.19Caractérisation de la multiplicité

$a$ est racine de $P$ de multiplicité exactement $m$ si et seulement si :

$P (a) = P^{'} (a) = \dots = P^{(m - 1)} (a) = 0 et P^{(m)} (a) \neq = 0.$

Démonstration

Par la formule de Taylor en $a$ : $P = \sum_{k} \frac{P ^{(k)} ( a )}{k !} (X - a)^{k}$ . Les dérivées $P^{(k)} (a)$ s'annulent pour $k < m$ si et seulement si $P = (X - a)^{m} [\frac{P ^{(m)} ( a )}{m !} + \dots]$ , c'est-à-dire $(X - a)^{m} ∣ P$ ; et le crochet ne s'annule pas en $a$ si et seulement si $P^{(m)} (a) \neq = 0$ .

Exemple 10.20

$P = X^{3} - 3 X + 2$ : $P (1) = 0$ , $P^{'} (X) = 3 X^{2} - 3$ , $P^{'} (1) = 0$ , $P^{''} (X) = 6 X$ , $P^{''} (1) = 6 \neq = 0$ : $1$ est racine double, et en effet $P = (X - 1)^{2} (X + 2)$ .

10.6 Polynômes irréductibles de $C [X]$ et $R [X]$

10.6.1 Le théorème de d'Alembert-Gauss

◆Théorème 10.21Théorème de d'Alembert-Gauss (admis)

Tout polynôme non constant de $C [X]$ admet au moins une racine dans $C$ . (La démonstration est hors programme.) En conséquence, tout polynôme non constant de $C [X]$ est scindé sur $C$ .

iRemarque

C'est pour cela que $C$ est dit algébriquement clos : la quête historique des solutions (chapitre 3 : degré 2, racines $n$ -ièmes) s'achève ici — toute équation algébrique de degré $n$ a exactement $n$ solutions complexes, comptées avec multiplicité.

◆Théorème 10.22Décomposition dans

C [X]

Les polynômes irréductibles de $C [X]$ (non constants, non produits de deux polynômes non constants) sont exactement les polynômes de degré 1. Tout $P \in C [X]$ non constant se décompose de façon unique (à l'ordre près) :

$P = λ (X - a_{1})^{m_{1}} (X - a_{2})^{m_{2}} \dots (X - a_{r})^{m_{r}},$

où $λ$ est le coefficient dominant, les $a_{i}$ les racines distinctes et $m_{i}$ leurs multiplicités ( $\sum m_{i} = de g P$ ).

Exemple 10.23Factorisation de

X^{n} - 1

Les racines de $X^{n} - 1$ sont les $n$ racines $n$ -ièmes de l'unité (chapitre 3), toutes simples :

$X^{n} - 1 = k = 0 \prod n - 1 (X - e^{2 ik π / n}) .$

10.6.2 Le cas réel

Proposition 10.24Racines conjuguées

Soit $P \in R [X]$ (coefficients réels). Si $z \in C$ est racine de $P$ de multiplicité $m$ , alors $z$ est aussi racine de $P$ , de même multiplicité.

Démonstration

Les coefficients étant réels, $P (z) = P (z) = 0$ (compatibilité de la conjugaison avec sommes et produits, chapitre 3). La multiplicité se conserve car $P^{(k)} (z) = P^{(k)} (z)$ pour tout $k$ : les annulations des dérivées successives sont les mêmes.

◆Théorème 10.25Décomposition dans

R [X]

Les polynômes irréductibles de $R [X]$ sont :

les polynômes de degré 1 ;
les polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif (sans racine réelle).

Tout $P \in R [X]$ non constant se décompose de façon unique :

$P = λ i \prod (X - a_{i})^{m_{i}} j \prod (X^{2} + b_{j} X + c_{j})^{n_{j}}, b_{j}^{2} - 4 c_{j} < 0,$

les facteurs quadratiques provenant du regroupement des racines complexes conjuguées : $(X - z) (X - z) = X^{2} - 2 Re (z) X + ∣ z ∣^{2}$ .

Exemple 10.26Factorisation réelle de

X^{4} + 1

Les racines complexes sont $e^{\pm iπ /4}$ et $e^{\pm 3 iπ /4}$ (racines quatrièmes de $- 1$ , chapitre 3). En regroupant les paires conjuguées, avec $2 cos \frac{π}{4} = 2$ :

$X^{4} + 1 = (X^{2} - 2 X + 1) (X^{2} + 2 X + 1) :$

aucune racine réelle, mais une factorisation réelle quand même — un polynôme réel sans racine réelle n'est pas pour autant irréductible dès que son degré dépasse $2$ .

10.7 Décomposition en éléments simples de certaines fonctions rationnelles

Définition 10.27Fonction rationnelle, pôles

Une fonction rationnelle est un quotient $F : x \mapsto \frac{P ( x )}{Q ( x )}$ de deux fonctions polynomiales ( $Q \neq = 0$ ), définie sur $K$ privé des racines de $Q$ . Après simplification des éventuels facteurs communs à $P$ et $Q$ , les racines du dénominateur sont appelées les pôles de $F$ ; un pôle est simple s'il est racine simple du dénominateur. (La théorie générale des fractions rationnelles est hors programme : on présente ici un outil de calcul, dans des situations simples.)

iRemarqueRéduction au cas

de g P < de g Q

Si $de g P \geq de g Q$ , la division euclidienne $P = QE + R$ ( $de g R < de g Q$ ) donne

$\frac{P ( x )}{Q ( x )} = E (x) + \frac{R ( x )}{Q ( x )} :$

on isole ainsi une partie polynomiale $E$ , et il reste à décomposer $\frac{R}{Q}$ .

◆Théorème 10.28Décomposition en éléments simples : cas des pôles simples (admis)

Soit $F = \frac{P}{Q}$ avec $de g P < de g Q$ , la fraction étant simplifiée.

Sur $C$ : si $Q = c (X - λ_{1}) (X - λ_{2}) \dots (X - λ_{n})$ à racines $λ_{i}$ deux à deux distinctes, alors $F$ s'écrit de façon unique

$F = \frac{c _{1}}{X - λ _{1}} + \frac{c _{2}}{X - λ _{2}} + \dots + \frac{c _{n}}{X - λ _{n}}, c_{k} \in C .$

Sur $R$ : même énoncé lorsque $Q$ est scindé sur $R$ à racines simples, avec des coefficients $c_{k} \in R$ .

(La démonstration est hors programme.)

iRemarqueRacine multiple, facteur irréductible de degré 2 : forme fournie

Lorsque le dénominateur possède une racine multiple ou un facteur irréductible de degré 2, la décomposition existe encore, mais la forme cherchée doit être fournie par l'énoncé. Par exemple :

$\frac{P}{X ( X - 1 ) ^{2}} = \frac{a}{X} + \frac{b}{X - 1} + \frac{c}{( X - 1 ) ^{2}}, \frac{P}{X ( X ^{2} + 1 )} = \frac{a}{X} + \frac{b X + c}{X ^{2} + 1} .$

Il reste alors à déterminer les coefficients — c'est un pur calcul, au programme.

ImportantMéthode : trouver les coefficients

Pôle simple $λ$ : le coefficient de $\frac{1}{X - λ}$ vaut

$c = x \to λ lim (x - λ) F (x) = \frac{P ( λ )}{Q _{1} ( λ )} o u ˋ Q = (X - λ) Q_{1}, soit encore c = \frac{P ( λ )}{Q ^{'} ( λ )} .$

Racine multiple $λ$ (forme fournie) : multiplier par $(X - λ)^{m}$ et évaluer en $λ$ donne le coefficient extrême $c_{m}$ ; les autres s'obtiennent par évaluation en des points simples, par parité, ou par limite en $+ \infty$ .

Exemple 10.29Sur

C

(et

R

$\frac{1}{X ( X + 1 )} = \frac{1}{X} - \frac{1}{X + 1}$

— la décomposition qui rendait télescopique la somme $\sum \frac{1}{k ( k + 1 )}$ au chapitre 2. De même :

$\frac{1}{X ^{2} - 1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{X - 1} - \frac{1}{X + 1}) (c = \frac{1}{Q ^{'} ( \pm 1 )} = \pm \frac{1}{2}) .$

Exemple 10.30Sur

R

, avec facteur quadratique (forme fournie)

Décomposons $F = \frac{1}{X ( X ^{2} + 1 )}$ sous la forme, fournie, $F = \frac{a}{X} + \frac{b X + c}{X ^{2} + 1}$ . Le pôle simple $0$ donne $a = \frac{1}{0 ^{2} + 1} = 1$ ; en multipliant par $X$ et en faisant $x \to + \infty$ : $0 = a + b$ , donc $b = - 1$ ; l'imparité de $F$ donne $c = 0$ :

$\frac{1}{X ( X ^{2} + 1 )} = \frac{1}{X} - \frac{X}{X ^{2} + 1} .$

Application (primitives, chapitre 4) : $\int^{x} \frac{d t}{t ( t ^{2} + 1 )} = ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + C$ .

iRemarqueApplication : dérivées

k

-ièmes

La décomposition en éléments simples rend immédiates les dérivées successives : de $\frac{1}{X - λ}$ , la dérivée $k$ -ième vaut $\frac{( - 1 ) ^{k} k !}{( X - λ ) ^{k + 1}}$ , d'où par exemple :

$(\frac{1}{X ^{2} - 1})^{(k)} = \frac{( - 1 ) ^{k} k !}{2} (\frac{1}{( X - 1 ) ^{k + 1}} - \frac{1}{( X + 1 ) ^{k + 1}}) .$

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Polynômes

<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>10.1 Introduction et motivation

10.2 L'ensemble des polynômes à une indéterminée

10.3 Divisibilité et division euclidienne

10.4 Fonctions polynomiales et racines

10.4.1 Racines et divisibilité

10.4.2 Multiplicité et polynômes scindés

10.5 Dérivation

10.6 Polynômes irréductibles de C[X] et R[X]

10.6.1 Le théorème de d'Alembert-Gauss

10.6.2 Le cas réel

10.7 Décomposition en éléments simples de certaines fonctions rationnelles

10.6 Polynômes irréductibles de $C [X]$ et $R [X]$