Exercices corrigés — Polynômes (mathématiques (PTSI))

24 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

A. Degré et opérations

• L'opérateur de différence et les factorielles descendantes Exercice de TD
• Une équation fonctionnelle entre polynômes Application directe du cours

B. Division euclidienne et racines

• Le reste se lit aux racines du diviseur, et calcule les puissances d'une matrice Exercice de TD
• Trois exposants, un seul diviseur : diviser, c'est évaluer en $j$ Exercice de TD
• Division euclidienne Application directe du cours
• Méthode de Horner Application directe du cours
• Racine évidente et factorisation Application directe du cours

C. Somme et produit des racines

• Évaluer plutôt que chercher les racines Exercice de TD
• Trois racines en progression arithmétique Application directe du cours
• Somme et produit des racines $n$-ièmes de l'unité Application directe du cours

D. Dérivation, Taylor, multiplicités

• Horner, Taylor, et la translation qui dépouille Exercice de TD
• Racines multiples : la dérivée les démasque, et le point critique de Van der Waals Exercice de TD
• Problème : les polynômes de Legendre, $n$ racines simples entre $-1$ et $1$ Exercice de TD
• Multiplicité d'une racine Application directe du cours
• Les polynômes tels que $P^{\prime }$ divise $P$ Application directe du cours
• Les racines de $P^{\prime }$ s'intercalent entre celles de $P$ Application directe du cours
• Deux conditions pour une racine double Application directe du cours

E. Factorisations

• Un polynôme positif est le carré d'un module, et le filtre de Butterworth Exercice de TD
• Factorisation réelle de $X^4+X^2+1$ Application directe du cours
• Les racines sixièmes de l'unité Application directe du cours
• L'identité de Sophie Germain Application directe du cours

F. Décomposition en éléments simples

• Le coefficient d'un pôle simple, et le retour de $\mathbb{C}$ à $\mathbb{R}$ Exercice de TD
• Des sommes qui se télescopent Exercice de TD
• Un pôle simple, un pôle double Application directe du cours

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