Géométrie du plan et de l'espace

Cours complet · mathématiques (PTSI), chapitre 9 · CPGE PTSI (1re année)

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<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>9.1 Introduction et motivation

À l'issue de la terminale, nous connaissons le plan et l'espace euclidiens en tant qu'ensembles de points, la façon d'associer à deux points $A$ et $B$ le vecteur $A B$ , ainsi que les propriétés opératoires usuelles. À ce titre, nous utiliserons librement la notation

$B = A + u, e ˊ quivalente a ˋ A B = u .$

Ce chapitre prolonge cette étude en y ajoutant de nouveaux modes de repérage (coordonnées polaires dans le plan, cylindriques dans l'espace) et surtout trois produits qui encodent les notions métriques :

le produit scalaire, qui mesure longueurs, angles et orthogonalité ;
le produit mixte dans le plan et le produit vectoriel dans l'espace, qui mesurent aires et détectent la colinéarité ;
le produit mixte dans l'espace, qui mesure des volumes et détecte la coplanarité.

Ces outils permettent une étude complète des droites, cercles, plans et sphères. Ce chapitre illustre géométriquement la théorie des systèmes linéaires du chapitre 7 (une droite de l'espace est l'intersection de deux plans, donc l'ensemble des solutions d'un système !) et prépare l'intuition des espaces vectoriels abstraits du chapitre 11 : la notation $Vect (u)$ introduite ici y deviendra un objet central. Enfin, l'expression du produit mixte dans une base orthonormée directe annonce le déterminant, étudié systématiquement au chapitre 13. Le maître mot est : faire de nombreuses figures, en dimension 2 comme en dimension 3.

Partie A — Géométrie du plan

Dans toute cette partie, le plan $P$ est muni d'un repère orthonormé (on dit aussi orthonormal) $(O, , )$ , supposé direct lorsque l'orientation intervient : l'angle de $$ vers $$ vaut $+ \frac{π}{2}$ (sens trigonométrique, inverse des aiguilles d'une montre).

9.3 Modes de repérage dans le plan

9.3.1 Coordonnées cartésiennes

Définition 9.1Coordonnées cartésiennes

Tout point $M$ du plan s'écrit de manière unique $M = O + x  + y $ , c'est-à-dire $O M = x  + y $ . Le couple $(x, y) \in R^{2}$ est le couple des coordonnées cartésiennes de $M$ dans le repère $(O, , )$ . De même, tout vecteur $u$ du plan s'écrit de manière unique $u = x  + y $ : on note $u (x, y)$ ou $u (x y)$ .

iRemarque

Ce mode de repérage identifie le plan à $R^{2}$ , exactement comme le chapitre 3 l'identifiait à $C$ : le point $M (x, y)$ correspond à l'affixe $z = x + i y$ . Les deux points de vue s'éclairent mutuellement et nous passerons de l'un à l'autre sans hésiter.

9.3.2 Coordonnées polaires

Définition 9.2Coordonnées polaires

Soit $M$ un point du plan distinct de $O$ . Un couple $(r, θ) \in] 0, + \infty [\times R$ est un couple de coordonnées polaires de $M$ si :

$O M = r u_{r}, o u ˋ u_{r} = cos θ  + sin θ ,$

autrement dit si $r = O M$ et si $θ$ est une mesure de l'angle $(, O M)$ . Le lien avec les coordonnées cartésiennes est :

$x = r cos θ, y = r sin θ .$

Le vecteur $u_{θ} = - sin θ  + cos θ $ , obtenu en tournant $u_{r}$ d'un angle $\frac{π}{2}$ , complète $u_{r}$ en une base orthonormée directe $(u_{r}, u_{θ})$ : c'est la base polaire au point $M$ , celle qu'emploient la mécanique et les sciences industrielles (notations $u_{r}$ , $u_{θ}$ des cours de physique).

iRemarqueNon-unicité

Les coordonnées polaires d'un point $M \neq = O$ ne sont pas uniques : si $(r, θ)$ convient, alors $(r, θ + 2 k π)$ convient pour tout $k \in Z$ . Le rayon $r = O M$ est en revanche déterminé, et l'angle $θ$ l'est modulo $2 π$ : c'est exactement la situation module--argument du chapitre 3, puisque $z = x + i y = r e^{i θ}$ . Le point $O$ est à part : $r = 0$ et $θ$ quelconque.

Exemple 9.3Conversions

Le point $M (- 1, 3)$ vérifie $r = 1 + 3 = 2$ et $cos θ = - \frac{1}{2}$ , $sin θ = \frac{3}{2}$ , donc $θ \equiv \frac{2 π}{3} [2 π]$ : un couple de coordonnées polaires est $(2, \frac{2 π}{3})$ . Inversement, le point de coordonnées polaires $(4, - \frac{π}{6})$ a pour coordonnées cartésiennes $(4 cos \frac{π}{6}, - 4 sin \frac{π}{6}) = (23, - 2)$ .

9.4 Produit scalaire dans le plan

9.4.1 Norme euclidienne

Définition 9.4Norme euclidienne

La norme euclidienne du vecteur $u (x, y)$ est le réel positif :

$∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} .$

iRemarqueInterprétation en termes de distance

Si $u = A B$ , alors $∥ u ∥ = A B$ est la distance de $A$ à $B$ : pour $A (x_{A}, y_{A})$ et $B (x_{B}, y_{B})$ ,

$A B = A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} .$

C'est le théorème de Pythagore, et c'est aussi le module $∣ b - a ∣$ des affixes du chapitre 3. Un vecteur de norme $1$ est dit unitaire.

9.4.2 Définition géométrique du produit scalaire

Définition 9.5Produit scalaire

Soient $u$ et $v$ deux vecteurs du plan. Leur produit scalaire est le réel :

$u \cdot v = ⎩ ⎨ ⎧ ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos (u, v) 0 si u \neq = 0 et v \neq = 0, si u = 0 ou v = 0 .$

iRemarque

Le cosinus ne dépend ni de l'orientation choisie ni du représentant de l'angle ( $cos (- α) = cos α$ ) : le produit scalaire est défini sans ambiguïté, avant même d'orienter le plan. Son signe se lit sur l'angle : $u \cdot v > 0$ pour un angle aigu, $< 0$ pour un angle obtus, $= 0$ pour un angle droit.

Proposition 9.6Interprétation en termes de projection orthogonale

Soient $u = A B \neq = 0$ et $v = A C$ . Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(A B)$ , alors :

$u \cdot v = A B \cdot A H = {A B \times A H - A B \times A H si A B et A H sont de m e ˆ me sens, sinon .$

Autrement dit : projeter orthogonalement l'un des vecteurs sur la direction de l'autre ne change pas le produit scalaire.

Démonstration

Si $v = 0$ , les deux membres sont nuls. Sinon, notons $α$ l'angle géométrique en $A$ . Dans le triangle rectangle $A H C$ : si $α$ est aigu, $A H = A C cos α$ et $A H$ est du sens de $A B$ , donc $u \cdot v = A B \times A C cos α = A B \times A H$ ; si $α$ est obtus, $cos α = - cos (π - α) < 0$ et $A H = A C cos (π - α)$ avec $A H$ de sens contraire, d'où le signe $-$ ; si $α = \frac{π}{2}$ , tout est nul.

9.4.3 Bilinéarité et symétrie

Proposition 9.7Symétrie et bilinéarité

Pour tous vecteurs $u$ , $v$ , $w$ du plan et tous réels $λ$ , $μ$ :

symétrie : $u \cdot v = v \cdot u$ ;
linéarité à droite : $u \cdot (λ v + μ w) = λ (u \cdot v) + μ (u \cdot w)$ ;
linéarité à gauche : $(λ u + μ v) \cdot w = λ (u \cdot w) + μ (v \cdot w)$ .

On résume les deux derniers points en disant que le produit scalaire est bilinéaire.

iRemarque

La symétrie est immédiate sur la définition. La bilinéarité, elle, n'a rien d'évident à partir de la formule $∥ u ∥∥ v ∥ cos (u, v)$ ; on peut la justifier grâce à l'interprétation par projection (la projection orthogonale respecte sommes et multiples de vecteurs), mais la démonstration n'est pas exigible. Grâce à la symétrie, il suffit d'ailleurs d'établir la linéarité d'un seul côté.

9.4.4 Expression en base orthonormée

◆Théorème 9.8Expression du produit scalaire en base orthonormée

Dans une base orthonormée $(, )$ , si $u (x, y)$ et $v (x^{'}, y^{'})$ , alors :

$u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} .$

En particulier $u \cdot u = x^{2} + y^{2} = ∥ u ∥^{2}$ .

Démonstration

La base étant orthonormée, $ \cdot  =  \cdot  = 1$ (angle nul, normes $1$ ) et $ \cdot  = 0$ (angle droit). En développant par bilinéarité :

$u \cdot v = (x  + y ) \cdot (x^{'}  + y^{'} ) = x x^{'} ( \cdot ) + x y^{'} ( \cdot ) + y x^{'} ( \cdot ) + y y^{'} ( \cdot ) = x x^{'} + y y^{'} .∎$

Exemple 9.9

Avec $u (3, 1)$ et $v (1, 2)$ : $u \cdot v = 3 + 2 = 5$ , $∥ u ∥ = 10$ , $∥ v ∥ = 5$ , d'où :

$cos (u, v) = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ ∥ v ∥} = \frac{5}{50} = \frac{2}{2},$

et l'angle géométrique entre $u$ et $v$ vaut $\frac{π}{4}$ . C'est la méthode de calcul d'un angle.

9.4.5 Identité remarquable et polarisation

Proposition 9.10Identité remarquable et formule de polarisation

Pour tous vecteurs $u$ et $v$ :

$∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + ∥ v ∥^{2} + 2 u \cdot v,$

d'où la formule de polarisation, qui exprime le produit scalaire à l'aide de normes seules :

$u \cdot v = \frac{1}{2} (∥ u + v ∥^{2} - ∥ u ∥^{2} - ∥ v ∥^{2}) .$

Démonstration

Par bilinéarité et symétrie :

$∥ u + v ∥^{2} = (u + v) \cdot (u + v) = u \cdot u + 2 u \cdot v + v \cdot v,$

puis on isole $u \cdot v$ .

iRemarque

On développe de même $∥ u - v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + ∥ v ∥^{2} - 2 u \cdot v$ : c'est le théorème d'Al-Kashi en germe. Ces identités sont l'analogue vectoriel de $(a \pm b)^{2}$ : on calcule avec les normes et les produits scalaires comme avec des carrés et des produits de réels.

9.4.6 Orthogonalité

Définition 9.11Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs $u$ et $v$ sont orthogonaux lorsque $u \cdot v = 0$ . On note $u ⊥ v$ .

Proposition 9.12Caractérisation de l'orthogonalité

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur angle est droit. Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. En coordonnées dans une base orthonormée :

$u (x, y) ⊥ v (x^{'}, y^{'}) ⟺ x x^{'} + y y^{'} = 0.$

Exemple 9.13

Le vecteur $v (- y, x)$ est orthogonal à $u (x, y)$ : en effet $x (- y) + y x = 0$ . C'est le vecteur $u$ « tourné d'un quart de tour direct » — en affixes, c'est la multiplication par $i$ du chapitre 3. Ce procédé, constamment utilisé, transforme un vecteur directeur en vecteur normal et réciproquement.

Important

Retenons les trois usages du produit scalaire : calculer une longueur ( $∥ u ∥^{2} = u \cdot u$ ), calculer un angle ( $cos = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥∥ v ∥}$ ), caractériser l'orthogonalité ( $u \cdot v = 0$ ).

9.5 Produit mixte dans le plan orienté

9.5.1 Orientation du plan

iRemarqueOrientation

Orienter le plan, c'est choisir un sens de rotation positif : par convention, le sens trigonométrique (inverse des aiguilles d'une montre). Une base orthonormée $(, )$ est alors directe si l'on passe de $$ à $$ par un quart de tour dans le sens positif. La notion d'orientation est ici admise : nous nous appuyons sur l'intuition et sur les figures. Une fois le plan orienté, l'angle $(u, v)$ de deux vecteurs non nuls possède un signe, et $sin (u, v)$ a un sens (contrairement au produit scalaire, qui n'utilisait que le cosinus, insensible au signe de l'angle).

9.5.2 Définition géométrique

Définition 9.14Produit mixte dans le plan

Soient $u$ et $v$ deux vecteurs du plan orienté. Leur produit mixte (ou déterminant) est le réel :

$[u, v] = ⎩ ⎨ ⎧ ∥ u ∥ ∥ v ∥ sin (u, v) 0 si u \neq = 0 et v \neq = 0, si u = 0 ou v = 0 .$

Proposition 9.15Interprétation : aire orientée

$∣ [u, v] ∣$ est l'aire du parallélogramme construit sur $u$ et $v$ . Le signe de $[u, v]$ indique l'orientation du couple : positif si $(u, v)$ est direct (on tourne de $u$ vers $v$ dans le sens positif, par le plus court chemin), négatif sinon. On parle d'aire orientée.

Démonstration

Prenons pour base le côté porté par $u$ : sa longueur est $∥ u ∥$ , et la hauteur correspondante vaut $h = ∥ v ∥ ∣ sin θ ∣$ où $θ = (u, v)$ . L'aire du parallélogramme, base $\times$ hauteur, vaut donc $∥ u ∥ ∥ v ∥ ∣ sin θ ∣ = ∣ [u, v] ∣$ . Le signe de $sin θ$ est celui de l'angle orienté $θ$ , d'où l'interprétation du signe.

9.5.3 Propriétés

Proposition 9.16Bilinéarité et antisymétrie

Pour tous vecteurs $u$ , $v$ , $w$ et tous réels $λ$ , $μ$ :

antisymétrie : $[v, u] = - [u, v]$ ; en particulier $[u, u] = 0$ ;
bilinéarité : $[λ u + μ v, w] = λ [u, w] + μ [v, w]$ , et de même à droite.

iRemarque

L'antisymétrie vient de $sin (- θ) = - sin θ$ : échanger les deux vecteurs change l'orientation du couple, donc le signe de l'aire orientée. Comme pour le produit scalaire, la démonstration de la bilinéarité n'est pas exigible.

◆Théorème 9.17Expression en base orthonormée directe

Dans une base orthonormée directe $(, )$ , si $u (x, y)$ et $v (x^{'}, y^{'})$ , alors :

$[u, v] = x y^{'} - y x^{'} .$

On note aussi $[u, v] = x y x^{'} y^{'}$ (déterminant $2 \times 2$ , chapitre 13).

Démonstration

La base étant orthonormée directe, $[, ] = [, ] = 0$ et $[, ] = 1 \times 1 \times sin \frac{π}{2} = 1 = - [, ]$ . En développant par bilinéarité :

$[u, v] = x x^{'} [, ] + x y^{'} [, ] + y x^{'} [, ] + y y^{'} [, ] = x y^{'} - y x^{'} .∎$

Proposition 9.18Caractérisation de la colinéarité

Deux vecteurs $u$ et $v$ sont colinéaires si et seulement si $[u, v] = 0$ , c'est-à-dire, en base orthonormée directe, si et seulement si $x y^{'} - y x^{'} = 0$ .

Démonstration

Si l'un des vecteurs est nul, tout est vrai. Sinon, $[u, v] = 0 ⟺ sin (u, v) = 0 ⟺ (u, v) \equiv 0 [π]$ , ce qui signifie que $u$ et $v$ ont même direction. Géométriquement : le parallélogramme est aplati, d'aire nulle.

Exemple 9.19

Les points $A (1, 2)$ , $B (3, 5)$ et $C (7, 11)$ sont-ils alignés ? On calcule $A B (2, 3)$ et $A C (6, 9)$ , puis $[A B, A C] = 2 \times 9 - 3 \times 6 = 0$ : oui, ils sont alignés. Avec $C (7, 10)$ on aurait trouvé $[A B, A C] = 16 - 18 = - 2 \neq = 0$ : points non alignés, et le triangle $A B C$ aurait pour aire $\frac{1}{2} ∣ - 2 ∣ = 1$ (la moitié du parallélogramme).

Important

Deux outils complémentaires, à ne pas confondre :

$u \cdot v = 0 ⟺ u ⊥ v (orthogonalit e ˊ), [u, v] = 0 ⟺ u, v colin e ˊ aires .$

Le produit scalaire mesure « à quel point les vecteurs pointent dans la même direction », le produit mixte mesure « à quel point ils sont indépendants » (aire du parallélogramme).

9.6 Droites du plan

9.6.1 Droite définie par un point et un vecteur directeur

Définition 9.20Notation

A + Vect (u)

Soient $A$ un point et $u$ un vecteur non nul. On note $Vect (u) = {λ u : λ \in R}$ l'ensemble des vecteurs colinéaires à $u$ , et

$D = A + Vect (u) = {A + λ u : λ \in R}$

la droite passant par $A$ et dirigée par $u$ . Cette écriture est pour l'instant une simple notation ; au chapitre 11, $Vect (u)$ deviendra un exemple fondamental d'espace vectoriel.

Proposition 9.21Représentation paramétrique

Soient $A (x_{A}, y_{A})$ et $u (a, b) \neq = 0$ . Le point $M (x, y)$ appartient à la droite $A + Vect (u)$ si et seulement s'il existe $λ \in R$ tel que :

${x = x_{A} + λa, y = y_{A} + λb .$

Ce système est une représentation paramétrique de la droite, de paramètre $λ$ .

Proposition 9.22Équation cartésienne

Toute droite du plan admet une équation de la forme :

$α x + β y + γ = 0, (α, β) \neq = (0, 0),$

appelée équation cartésienne. Réciproquement, tout ensemble d'équation $α x + β y + γ = 0$ avec $(α, β) \neq = (0, 0)$ est une droite, de vecteur directeur $u (- β, α)$ et de vecteur normal $n (α, β)$ . Deux équations cartésiennes de la même droite sont proportionnelles.

Démonstration

Soit $D = A + Vect (u)$ avec $u (a, b)$ . Alors $M \in D$ si et seulement si $A M$ et $u$ sont colinéaires, c'est-à-dire :

$[u, A M] = a (y - y_{A}) - b (x - x_{A}) = 0,$

qui est de la forme annoncée avec $(α, β) = (- b, a) \neq = (0, 0)$ . Réciproquement, si $α x + β y + γ = 0$ avec par exemple $α \neq = 0$ , l'ensemble contient $A (- \frac{γ}{α}, 0)$ et l'équation se réécrit $α (x - x_{A}) + β (y - y_{A}) = 0$ , soit $[u, A M] = 0$ avec $u (- β, α)$ : c'est la droite $A + Vect (u)$ . Enfin $n (α, β)$ vérifie $n \cdot u = - α β + β α = 0$ : il est normal à la droite.

ImportantLecture d'une équation

α x + β y + γ = 0

Les coefficients de $x$ et $y$ donnent le vecteur normal $n (α, β)$ ; un vecteur directeur s'en déduit par quart de tour : $u (- β, α)$ . Passer de la représentation paramétrique à l'équation cartésienne : éliminer le paramètre $λ$ (ou écrire $[u, A M] = 0$ ). Passer de l'équation cartésienne à la paramétrique : trouver un point et lire un vecteur directeur.

Exemple 9.23Les trois définitions d'une droite

Par un point et un vecteur directeur : $A (1, 2)$ , $u (3, - 1)$ . Paramétrique : $x = 1 + 3 λ$ , $y = 2 - λ$ . Cartésienne : $[u, A M] = 3 (y - 2) + 1 (x - 1) = 0$ , soit $x + 3 y - 7 = 0$ .
Par deux points distincts $A (1, 2)$ et $B (4, 1)$ : on se ramène au cas précédent avec $u = A B (3, - 1)$ .
Par un point et un vecteur normal : $A (1, 2)$ , $n (1, 3)$ . Alors $M \in D ⟺ n \cdot A M = 0$ , soit $(x - 1) + 3 (y - 2) = 0$ : on retrouve $x + 3 y - 7 = 0$ directement.

9.6.2 Lignes de niveau et régionnement du plan

Proposition 9.24Lignes de niveau de

M \mapsto u \cdot A M

M \mapsto [u, A M]

Soient $A$ un point, $u \neq = 0$ et $k \in R$ .

L'ensemble ${M : u \cdot A M = k}$ est une droite de vecteur normal $u$ . Pour $k = 0$ , c'est la droite passant par $A$ perpendiculaire à $u$ ; quand $k$ varie, on obtient toutes les droites parallèles à celle-ci.
L'ensemble ${M : [u, A M] = k}$ est une droite de vecteur directeur $u$ . Pour $k = 0$ , c'est la droite $A + Vect (u)$ ; quand $k$ varie, on obtient toutes ses parallèles.

Démonstration

Posons $u (a, b)$ et $A (x_{A}, y_{A})$ . La condition $u \cdot A M = k$ s'écrit $a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) = k$ , équation cartésienne d'une droite de vecteur normal $(a, b) = u$ . De même $[u, A M] = k$ s'écrit $a (y - y_{A}) - b (x - x_{A}) = k$ , droite de vecteur normal $(- b, a)$ , donc de vecteur directeur $u (a, b)$ .

iRemarqueRégionnement du plan

Une droite $D$ d'équation $f (M) = α x + β y + γ = 0$ partage le plan en deux demi-plans ouverts : ${f (M) > 0}$ et ${f (M) < 0}$ . Pour savoir dans quel demi-plan se trouve un point, il suffit d'évaluer $f$ en ce point et de regarder le signe ; le vecteur normal $n (α, β)$ pointe vers le demi-plan $f > 0$ . Deux points sont du même côté de $D$ si et seulement si $f$ y prend le même signe — critère constamment utilisé (position d'un point par rapport à une droite, un segment coupe-t-il une droite, etc.).

Exemple 9.25

Les points $P (3, 1)$ et $Q (0, 4)$ sont-ils du même côté de la droite $D : x + 3 y - 7 = 0$ ? On calcule $f (P) = 3 + 3 - 7 = - 1 < 0$ et $f (Q) = 0 + 12 - 7 = 5 > 0$ : signes opposés, donc $P$ et $Q$ sont de part et d'autre de $D$ , et le segment $[P Q]$ coupe la droite.

9.6.3 Projeté orthogonal et distance à une droite

Définition 9.26Projeté orthogonal sur une droite

Soient $D$ une droite et $M$ un point. Le projeté orthogonal de $M$ sur $D$ est l'unique point $H \in D$ tel que $M H ⊥ D$ (c'est-à-dire $M H$ orthogonal à tout vecteur directeur de $D$ ).

Proposition 9.27Distance d'un point à une droite

Le projeté orthogonal $H$ réalise le minimum de la distance de $M$ aux points de $D$ : pour tout $P \in D$ , $M H \leq M P$ , avec égalité si et seulement si $P = H$ . On appelle ce minimum la distance de $M$ à $D$ , notée $d (M, D)$ . Si $D$ a pour équation $α x + β y + γ = 0$ et $M (x_{0}, y_{0})$ , alors :

$d (M, D) = \frac{∣ α x _{0} + β y _{0} + γ ∣}{α ^{2} + β ^{2}} .$

Démonstration

Pour $P \in D$ , le triangle $M H P$ est rectangle en $H$ , donc par Pythagore $M P^{2} = M H^{2} + H P^{2} \geq M H^{2}$ , avec égalité si et seulement si $H P = 0$ . Pour la formule : soit $n (α, β)$ le vecteur normal et $A \in D$ . Comme $H M$ est colinéaire à $n$ et $A H ⊥ n$ :

$n \cdot A M = n \cdot (A H + H M) = n \cdot H M = ∥ n ∥ \times H M .$

Or $n \cdot A M = α (x_{0} - x_{A}) + β (y_{0} - y_{A}) = α x_{0} + β y_{0} + γ$ puisque $α x_{A} + β y_{A} = - γ$ . D'où $H M = \frac{∣ α x _{0} + β y _{0} + γ ∣}{α ^{2} + β ^{2}}$ .

Exemple 9.28

Distance du point $M (2, - 1)$ à la droite $D : 3 x - 4 y + 1 = 0$ :

$d (M, D) = \frac{∣3 \times 2 - 4 \times ( - 1 ) + 1∣}{9 + 16} = \frac{11}{5} .$

Pour trouver le projeté $H$ lui-même : on paramètre la perpendiculaire $M + t n$ avec $n (3, - 4)$ , soit $(2 + 3 t, - 1 - 4 t)$ , et on reporte dans l'équation : $3 (2 + 3 t) - 4 (- 1 - 4 t) + 1 = 0$ donne $25 t = - 11$ , $t = - \frac{11}{25}$ , d'où $H (\frac{17}{25}, \frac{19}{25})$ .

9.7 Cercles

9.7.1 Équation cartésienne et paramétrage

Proposition 9.29Équation cartésienne d'un cercle

Le cercle $C$ de centre $Ω (a, b)$ et de rayon $R \geq 0$ a pour équation, en repère orthonormé :

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2} .$

Réciproquement, un ensemble d'équation $x^{2} + y^{2} + α x + β y + γ = 0$ est, après mise sous forme canonique,

$(x + \frac{α}{2})^{2} + (y + \frac{β}{2})^{2} = \frac{α ^{2} + β ^{2}}{4} - γ,$

soit un cercle (si le second membre est $> 0$ ), un point (s'il est nul), ou l'ensemble vide (s'il est $< 0$ ).

Proposition 9.30Paramétrage d'un cercle

Le cercle de centre $Ω (a, b)$ et de rayon $R > 0$ est décrit par :

${x = a + R cos t, y = b + R sin t, t \in [0, 2 π [.$

iRemarque

Ce paramétrage n'est autre que l'écriture polaire centrée en $Ω$ , ou encore l'écriture complexe $z = ω + R e^{i t}$ du chapitre 3. Le paramètre $t$ est l'angle polaire du point vu depuis le centre.

Exemple 9.31

L'équation $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 4 = 0$ se réécrit $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$ : cercle de centre $Ω (2, - 1)$ et de rayon $3$ , paramétré par $x = 2 + 3 cos t$ , $y = - 1 + 3 sin t$ .

9.7.2 Cercle de diamètre donné

◆Théorème 9.32Caractérisation du cercle de diamètre {

[A B]

}

Soient $A$ et $B$ deux points distincts. Le cercle de diamètre $[A B]$ est l'ensemble des points $M$ tels que :

$M A \cdot M B = 0.$

Démonstration

Soit $I$ le milieu de $[A B]$ . En insérant $I$ par la relation de Chasles :

$M A \cdot M B = (M I + I A) \cdot (M I + I B) = M I^{2} + M I \cdot (I A + I B) + I A \cdot I B .$

Or $I A + I B = 0$ ( $I$ milieu) et $I A \cdot I B = - I A^{2} = - \frac{A B ^{2}}{4}$ (vecteurs opposés). Donc :

$M A \cdot M B = M I^{2} - \frac{A B ^{2}}{4},$

qui s'annule si et seulement si $M I = \frac{A B}{2}$ : c'est le cercle de centre $I$ et de rayon $\frac{A B}{2}$ , c'est-à-dire le cercle de diamètre $[A B]$ . (On retrouve le théorème du lycée : « l'angle inscrit dans un demi-cercle est droit ».)

Exemple 9.33

Équation du cercle de diamètre $[A B]$ avec $A (1, 0)$ et $B (3, 4)$ : la condition $M A \cdot M B = 0$ s'écrit directement

$(1 - x) (3 - x) + (0 - y) (4 - y) = 0, soit x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 3 = 0,$

c'est-à-dire $(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 5$ : centre $I (2, 2)$ (milieu de $[A B]$ ) et rayon $5 = \frac{A B}{2}$ . ✓

9.7.3 Intersection d'une droite et d'un cercle

Proposition 9.34Position relative

Soient $C$ un cercle de centre $Ω$ et de rayon $R$ , et $D$ une droite. Notons $d = d (Ω, D)$ .

Si $d > R$ : $D \cap C = \emptyset$ (droite extérieure).
Si $d = R$ : $D \cap C$ est un point, le projeté orthogonal de $Ω$ sur $D$ (droite tangente).
Si $d < R$ : $D \cap C$ est formé de deux points (droite sécante).

Démonstration

Soit $H$ le projeté orthogonal de $Ω$ sur $D$ , de sorte que $Ω H = d$ . Pour $M \in D$ , Pythagore donne $Ω M^{2} = d^{2} + H M^{2}$ . Ainsi $M \in C ⟺ H M^{2} = R^{2} - d^{2}$ : pas de solution si $d > R$ , la seule solution $M = H$ si $d = R$ , et exactement deux points de $D$ situés à la distance $R^{2} - d^{2}$ de $H$ si $d < R$ .

Exemple 9.35Mise en œuvre pratique

Intersection de la droite $D : y = x + 1$ et du cercle $C : x^{2} + y^{2} = 5$ . On reporte : $x^{2} + (x + 1)^{2} = 5$ , soit $2 x^{2} + 2 x - 4 = 0$ , soit $x^{2} + x - 2 = 0$ , de racines $x = 1$ et $x = - 2$ . Deux points d'intersection : $(1, 2)$ et $(- 2, - 1)$ . Contrôle par la position relative : $d (O, D) = \frac{∣0 - 0 + 1∣}{2} = \frac{1}{2} < 5 = R$ : sécante. ✓

iRemarque

En pratique, on reporte l'équation (ou le paramétrage) de la droite dans l'équation du cercle : on obtient une équation du second degré dont le discriminant reproduit la discussion géométrique ( $Δ > 0$ : sécante, $Δ = 0$ : tangente, $Δ < 0$ : extérieure).

Partie B — Géométrie de l'espace

Dans toute cette partie, l'espace $E$ est muni d'un repère orthonormé $(O, , , k)$ , supposé direct lorsque l'orientation intervient (voir plus loin). Les notions déjà rencontrées dans le plan (coordonnées cartésiennes, norme, produit scalaire, notation $A + Vect$ ) s'étendent sans difficulté ; les nouveautés propres à la dimension 3 sont les coordonnées cylindriques, le produit vectoriel et le produit mixte.

9.9 Modes de repérage dans l'espace

9.9.1 Coordonnées cartésiennes

Définition 9.36Coordonnées cartésiennes dans l'espace

Tout point $M$ de l'espace s'écrit de manière unique $O M = x  + y  + z k$ : le triplet $(x, y, z) \in R^{3}$ est le triplet des coordonnées cartésiennes de $M$ . De même tout vecteur s'écrit $u (x, y, z)$ .

9.9.2 Coordonnées cylindriques

Définition 9.37Coordonnées cylindriques

Soit $M (x, y, z)$ un point de l'espace et $P (x, y, 0)$ son projeté orthogonal sur le plan $(O x y)$ . Un triplet $(r, θ, z)$ avec $r \geq 0$ est un triplet de coordonnées cylindriques de $M$ si $(r, θ)$ est un couple de coordonnées polaires de $P$ dans le plan $(O x y)$ :

$x = r cos θ, y = r sin θ, z = z .$

iRemarque

Les coordonnées cylindriques sont adaptées aux situations invariantes par rotation autour de l'axe $(O z)$ : la surface d'équation $r = R$ (avec $θ$ et $z$ libres) est le cylindre de révolution d'axe $(O z)$ et de rayon $R$ , d'où le nom. Elles sont omniprésentes en physique (symétrie cylindrique en électromagnétisme, mécanique du point sur un axe). Comme pour les polaires, $r = x^{2} + y^{2}$ est déterminé et $θ$ l'est modulo $2 π$ si $r \neq = 0$ .

Exemple 9.38

Le point $M (1, 3, - 2)$ vérifie $r = 1 + 3 = 2$ et $θ \equiv \frac{π}{3} [2 π]$ : coordonnées cylindriques $(2, \frac{π}{3}, - 2)$ .

9.10 Produit scalaire dans l'espace

Définition 9.39Norme euclidienne et produit scalaire dans l'espace

La norme euclidienne du vecteur $u (x, y, z)$ est $∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ; si $u = A B$ , c'est la distance $A B$ . Le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace est défini géométriquement comme dans le plan :

$u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos (u, v) si u, v \neq = 0, u \cdot v = 0 sinon .$

(Deux vecteurs de l'espace sont toujours contenus dans un même plan : l'angle géométrique $(u, v) \in [0, π]$ y a un sens, et le cosinus ne dépend pas du plan choisi.)

Proposition 9.40Propriétés du produit scalaire dans l'espace

Le produit scalaire de l'espace est symétrique et bilinéaire, et dans une base orthonormée $(, , k)$ :

$u (x, y, z) \cdot v (x^{'}, y^{'}, z^{'}) = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'} .$

On a toujours $∥ u ∥^{2} = u \cdot u$ , l'identité $∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + ∥ v ∥^{2} + 2 u \cdot v$ , la formule de polarisation, et la caractérisation de l'orthogonalité : $u ⊥ v ⟺ u \cdot v = 0$ .

iRemarque

Les démonstrations sont hors programme : on admet ces propriétés, qui s'utilisent exactement comme dans le plan. Toute la pratique du produit scalaire (calculs d'angles, de longueurs, orthogonalité) se transpose donc mot pour mot en dimension 3.

Exemple 9.41

Avec $u (1, 2, 2)$ et $v (2, - 2, 1)$ : $u \cdot v = 2 - 4 + 2 = 0$ : ces deux vecteurs de norme $3$ sont orthogonaux.

9.11 Produit vectoriel dans l'espace orienté

9.11.1 Orientation de l'espace

iRemarqueOrientation de l'espace

Orienter l'espace, c'est distinguer les trièdres directs des trièdres indirects. La notion repose sur les conventions physiques usuelles, et est admise : un triplet $(u, v, w)$ de vecteurs non coplanaires est direct s'il obéit à la « règle des trois doigts de la main droite » ( $u$ = pouce, $v$ = index, $w$ = majeur), ou de manière équivalente à la « règle du tire-bouchon » : un tire-bouchon tournant de $u$ vers $v$ progresse dans le sens de $w$ . Le repère usuel $(O, , , k)$ est choisi direct. Échanger deux vecteurs du triplet renverse l'orientation.

9.11.2 Définition géométrique

Définition 9.42Produit vectoriel

Soient $u$ et $v$ deux vecteurs de l'espace orienté. Leur produit vectoriel, noté $u \land v$ , est le vecteur défini ainsi :

si $u$ et $v$ sont colinéaires : $u \land v = 0$ ;
sinon, $u \land v$ est l'unique vecteur $n$ tel que :

[–] direction : $n$ est orthogonal au plan $Vect (u, v)$ (c'est-à-dire à $u$ et à $v$ ) ;
[–] norme : $∥ n ∥ = ∥ u ∥ ∥ v ∥ sin (u, v)$ ;
[–] sens : le triplet $(u, v, n)$ est direct.

Proposition 9.43Interprétation de la norme

$∥ u \land v ∥$ est l'aire du parallélogramme construit sur $u$ et $v$ (même calcul base $\times$ hauteur que dans le plan). En particulier, l'aire du triangle $A B C$ vaut $\frac{1}{2} A B \land A C$ .

9.11.3 Propriétés

Proposition 9.44Bilinéarité, antisymétrie, colinéarité

Pour tous vecteurs $u$ , $v$ , $w$ et tous réels $λ$ , $μ$ :

antisymétrie : $v \land u = - u \land v$ ; en particulier $u \land u = 0$ ;
bilinéarité : $(λ u + μ v) \land w = λ (u \land w) + μ (v \land w)$ , et de même à droite ;
condition de colinéarité : $u$ et $v$ sont colinéaires si et seulement si $u \land v = 0$ .

iRemarque

L'antisymétrie se voit sur la définition : échanger $u$ et $v$ conserve direction et norme, mais renverse le sens (pour que le triplet reste direct). Les démonstrations (notamment celle de la bilinéarité) sont hors programme. Attention : le produit vectoriel n'est pas associatif et pas commutatif — deux différences majeures avec le produit des réels.

◆Théorème 9.45Expression en base orthonormée directe

Dans une base orthonormée directe $(, , k)$ , si $u (x, y, z)$ et $v (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ :

$u \land v = y z^{'} - z y^{'} z x^{'} - x z^{'} x y^{'} - y x^{'} .$

iRemarqueMoyen mnémotechnique

La démonstration est hors programme (elle utilise la bilinéarité et les relations $ \land  = k$ , $ \land k = $ , $k \land  = $ , permutations circulaires du trièdre direct). Pour retrouver la formule : chaque coordonnée est un déterminant $2 \times 2$ formé des deux autres lignes, prises dans l'ordre circulaire : première coordonnée = lignes 2 et 3 ( $y z^{'} - z y^{'}$ ), deuxième = lignes 3 et 1 ( $z x^{'} - x z^{'}$ ), troisième = lignes 1 et 2 ( $x y^{'} - y x^{'}$ ). On vérifie l'orthogonalité à la fin : $u \cdot (u \land v) = 0$ — contrôle systématique et quasi gratuit.

Exemple 9.46

Avec $u (1, 2, 0)$ et $v (0, 1, 3)$ :

$u \land v = 2 \times 3 - 0 \times 1 0 \times 0 - 1 \times 3 1 \times 1 - 2 \times 0 = 6 - 3 1 .$

Contrôles : $u \cdot (u \land v) = 6 - 6 + 0 = 0$ ✓, $v \cdot (u \land v) = 0 - 3 + 3 = 0$ ✓. L'aire du parallélogramme construit sur $u$ et $v$ vaut $36 + 9 + 1 = 46$ .

Important

Le produit vectoriel rend deux services essentiels : fabriquer un vecteur orthogonal à deux vecteurs donnés (par exemple le vecteur normal d'un plan défini par deux vecteurs directeurs) et calculer des aires. Sa nullité caractérise la colinéarité.

9.12 Produit mixte dans l'espace orienté

Définition 9.47Produit mixte

Le produit mixte de trois vecteurs $u$ , $v$ , $w$ de l'espace orienté est le réel :

$[u, v, w] = (u \land v) \cdot w .$

Proposition 9.48Interprétation : volume orienté

$[u, v, w]$ est le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs $u$ , $v$ et $w$ . Le signe est positif si le triplet $(u, v, w)$ est direct, négatif s'il est indirect : on parle de volume orienté.

Démonstration (Idée de la démonstration)

La base du parallélépipède, portée par $u$ et $v$ , a pour aire $A = ∥ u \land v ∥$ . Sa hauteur est la longueur de la projection orthogonale de $w$ sur la direction normale à la base, c'est-à-dire sur $u \land v$ : elle vaut $h = ∥ w ∥ ∣ cos φ ∣$ où $φ$ est l'angle entre $w$ et $u \land v$ . D'où le volume :

$V = A \times h = ∥ u \land v ∥ ∥ w ∥ ∣ cos φ ∣ = (u \land v) \cdot w .∎$

Proposition 9.49Trilinéarité, antisymétrie

Le produit mixte est linéaire en chacune de ses trois variables (trilinéarité) et antisymétrique : échanger deux vecteurs change le signe,

$[v, u, w] = - [u, v, w],$

tandis qu'une permutation circulaire le conserve : $[u, v, w] = [v, w, u] = [w, u, v]$ . En particulier, le produit mixte est nul dès que deux des trois vecteurs sont égaux. Les démonstrations sont hors programme.

◆Théorème 9.50Expression en base orthonormée directe

Dans une base orthonormée directe, avec $u (x, y, z)$ , $v (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ , $w (x^{''}, y^{''}, z^{''})$ :

$[u, v, w] = x^{''} (y z^{'} - z y^{'}) + y^{''} (z x^{'} - x z^{'}) + z^{''} (x y^{'} - y x^{'}) .$

Cette expression sera reconnue au chapitre 13 comme le déterminant $3 \times 3$

$[u, v, w] = x y z x^{'} y^{'} z^{'} x^{''} y^{''} z^{''},$

développé par rapport à sa dernière colonne : le produit mixte est le déterminant en base orthonormée directe.

Proposition 9.51Condition de coplanarité

Trois vecteurs $u$ , $v$ , $w$ sont coplanaires si et seulement si $[u, v, w] = 0$ . De même, quatre points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont coplanaires si et seulement si $[A B, A C, A D] = 0$ .

Démonstration

Si les trois vecteurs sont coplanaires, le parallélépipède est aplati : volume nul. Réciproquement, si $[u, v, w] = 0$ : ou bien $u$ et $v$ sont colinéaires (et les trois vecteurs sont coplanaires), ou bien $u \land v \neq = 0$ et la condition $(u \land v) \cdot w = 0$ signifie que $w$ est orthogonal à la normale du plan $Vect (u, v)$ , donc appartient à ce plan.

Exemple 9.52

Les vecteurs $u (1, 2, 0)$ , $v (0, 1, 3)$ et $w (1, 4, 6)$ sont-ils coplanaires ? On a calculé $u \land v (6, - 3, 1)$ , donc :

$[u, v, w] = (u \land v) \cdot w = 6 - 12 + 6 = 0 :$

oui — et de fait $w = u + 2 v$ . Avec $w (1, 4, 7)$ , on aurait trouvé $[u, v, w] = 1 \neq = 0$ : vecteurs non coplanaires, et le tétraèdre construit sur ces trois vecteurs aurait pour volume $\frac{1}{6} ∣1∣ = \frac{1}{6}$ (le tétraèdre occupe un sixième du parallélépipède).

9.13 Plans et droites de l'espace

9.13.1 Modes de définition d'un plan

Définition 9.53Plan de l'espace

Un plan de l'espace peut être défini de trois manières équivalentes :

par un point et deux vecteurs non colinéaires $u$ , $v$ :

$P = A + Vect (u, v) = {A + λ u + μ v : (λ, μ) \in R^{2}};$

par un point $A$ et un vecteur normal $n \neq = 0$ : $P = {M : n \cdot A M = 0}$ ;
par trois points non alignés $A$ , $B$ , $C$ : on prend $u = A B$ et $v = A C$ .

On passe des deux vecteurs directeurs au vecteur normal par le produit vectoriel : $n = u \land v$ .

Proposition 9.54Représentation paramétrique et équation cartésienne d'un plan

Soient $A (x_{A}, y_{A}, z_{A})$ , $u (a, b, c)$ et $v (a^{'}, b^{'}, c^{'})$ non colinéaires. Le plan $A + Vect (u, v)$ admet la représentation paramétrique :

$⎩ ⎨ ⎧ x = x_{A} + λa + μ a^{'}, y = y_{A} + λb + μ b^{'}, z = z_{A} + λ c + μ c^{'}, (λ, μ) \in R^{2} .$

Tout plan admet par ailleurs une équation cartésienne de la forme :

$α x + β y + γ z + δ = 0, (α, β, γ) \neq = (0, 0, 0),$

et réciproquement tout ensemble de cette forme est un plan, de vecteur normal $n (α, β, γ)$ .

Démonstration

$M \in P$ si et seulement si $A M$ , $u$ , $v$ sont coplanaires, c'est-à-dire $[u, v, A M] = 0$ , soit $(u \land v) \cdot A M = 0$ . En posant $n = u \land v (α, β, γ) \neq = 0$ , cette condition s'écrit $α (x - x_{A}) + β (y - y_{A}) + γ (z - z_{A}) = 0$ , qui est de la forme annoncée. La réciproque se traite comme pour les droites du plan : de $α x + β y + γ z + δ = 0$ avec par exemple $α \neq = 0$ , on tire un point $A$ et on reconnaît $n \cdot A M = 0$ : l'ensemble des $M$ tels que $A M ⊥ n$ est bien le plan passant par $A$ de normale $n$ .

ImportantLecture d'une équation de plan

Dans $α x + β y + γ z + δ = 0$ , les coefficients donnent le vecteur normal $n (α, β, γ)$ . Pour passer du paramétrique au cartésien : calculer $n = u \land v$ , puis écrire $n \cdot A M = 0$ (plus rapide que d'éliminer les deux paramètres). Pour passer du cartésien au paramétrique : trouver un point et deux vecteurs non colinéaires orthogonaux à $n$ .

Exemple 9.55Plan par trois points

Soient $A (1, 0, 0)$ , $B (0, 1, 0)$ , $C (0, 0, 1)$ . Avec $A B (- 1, 1, 0)$ et $A C (- 1, 0, 1)$ :

$n = A B \land A C = 1 \times 1 - 0 \times 0 0 \times (- 1) - (- 1) \times 1 (- 1) \times 0 - 1 \times (- 1) = 111,$

d'où l'équation $(x - 1) + y + z = 0$ , soit $x + y + z = 1$ — que l'on vérifie immédiatement sur les trois points. ✓

iRemarqueRégionnement de l'espace

Comme une droite partage le plan en deux demi-plans, un plan $P : f (M) = α x + β y + γ z + δ = 0$ partage l'espace en deux demi-espaces ${f > 0}$ et ${f < 0}$ , le vecteur normal $n (α, β, γ)$ pointant vers le demi-espace $f > 0$ . Le signe de $f (M)$ localise le point $M$ ; deux points sont du même côté de $P$ si et seulement si $f$ y prend le même signe.

9.13.2 Modes de définition d'une droite de l'espace

Définition 9.56Droite de l'espace

Une droite de l'espace peut être définie :

par un point et un vecteur directeur $u \neq = 0$ : $D = A + Vect (u)$ , d'où la représentation paramétrique $x = x_{A} + λa$ , $y = y_{A} + λb$ , $z = z_{A} + λ c$ ( $λ \in R$ ) ;
par deux points distincts $A$ et $B$ : prendre $u = A B$ ;
comme intersection de deux plans non parallèles :

$D : {α x + β y + γ z + δ = 0, α^{'} x + β^{'} y + γ^{'} z + δ^{'} = 0,$

où les vecteurs normaux $n (α, β, γ)$ et $n^{'} (α^{'}, β^{'}, γ^{'})$ ne sont pas colinéaires. Ce système est un système d'équations cartésiennes de la droite ; un vecteur directeur en est $u = n \land n^{'}$ .

Attention

Dans l'espace, une seule équation cartésienne définit un plan, jamais une droite : il faut un système de deux équations pour décrire une droite. C'est le pendant géométrique du chapitre 7 : un système linéaire de deux équations à trois inconnues, de rang 2, a un ensemble de solutions « à un paramètre » — une droite.

Exemple 9.57De l'intersection de deux plans au paramétrage

Soit $D : {x + y + z = 1 x - y + 2 z = 0$ . Les normales $n (1, 1, 1)$ et $n^{'} (1, - 1, 2)$ ne sont pas colinéaires : c'est bien une droite. Méthode du pivot (chapitre 7) : en prenant $z$ comme inconnue secondaire, la somme et la différence des équations donnent $2 x + 3 z = 1$ et $2 y - z = 1$ , d'où :

$x = \frac{1 - 3 z}{2}, y = \frac{1 + z}{2}, z = z .$

En posant $z = 2 λ$ (pour éviter les fractions), le point courant est $(\frac{1}{2} - 3 λ, \frac{1}{2} + λ, 2 λ)$ : la droite $D$ passe par $A (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$ et est dirigée par $u (- 3, 1, 2)$ . Contrôle par le produit vectoriel : $n \land n^{'} = (1 \times 2 - 1 \times (- 1), 1 \times 1 - 1 \times 2, 1 \times (- 1) - 1 \times 1) = (3, - 1, - 2)$ , colinéaire à $u$ . ✓

9.13.3 Projetés orthogonaux et distances

Définition 9.58Projetés orthogonaux dans l'espace

Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur un plan $P$ (resp. sur une droite $D$ ) est l'unique point $H$ de $P$ (resp. de $D$ ) tel que $M H$ soit orthogonal à $P$ (resp. à $D$ ). Comme dans le plan, $H$ réalise le minimum de la distance de $M$ aux points de l'objet : ce minimum est la distance $d (M, P)$ (resp. $d (M, D)$ ).

Proposition 9.59Distance d'un point à un plan

Si $P$ a pour équation $α x + β y + γ z + δ = 0$ et $M (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ , alors :

$d (M, P) = \frac{∣ α x _{0} + β y _{0} + γ z _{0} + δ ∣}{α ^{2} + β ^{2} + γ ^{2}} .$

Démonstration

Identique au cas de la droite dans le plan : si $A \in P$ et $H$ est le projeté de $M$ , alors $n \cdot A M = n \cdot H M = ∥ n ∥ H M$ car $A H ⊥ n$ et $H M$ colinéaire à $n$ ; et $n \cdot A M = α x_{0} + β y_{0} + γ z_{0} + δ$ .

Proposition 9.60Distance d'un point à une droite de l'espace

Soit $D = A + Vect (u)$ une droite de l'espace et $M$ un point. Alors :

$d (M, D) = \frac{u \land A M}{∥ u ∥} .$

Démonstration

Le parallélogramme construit sur $u$ et $A M$ a pour aire $∥ u \land A M ∥$ ; sa base $∥ u ∥$ étant portée par $D$ , sa hauteur est exactement la distance de $M$ à $D$ . D'où aire $= ∥ u ∥ \times d (M, D)$ .

Exemple 9.61

Distance de $M (1, 1, 1)$ au plan $P : x + y + z = 1$ :

$d (M, P) = \frac{∣1 + 1 + 1 - 1∣}{3} = \frac{2}{3} = \frac{2 3}{3} .$

Distance de $M (1, 1, 1)$ à la droite $D$ passant par $A (1, 0, 0)$ dirigée par $u (0, 1, 1)$ : avec $A M (0, 1, 1)$ ... les deux vecteurs sont ici colinéaires, donc $M \in D$ et la distance est nulle ! Prenons plutôt $M (2, 1, 0)$ : $A M (1, 1, 0)$ , $u \land A M = (1 \times 0 - 1 \times 1, 1 \times 1 - 0 \times 0, 0 \times 1 - 1 \times 1) = (- 1, 1, - 1)$ , d'où $d (M, D) = \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ .

9.13.4 Intersections de plans

Proposition 9.62Position relative de deux plans

Deux plans $P$ et $P^{'}$ de vecteurs normaux $n$ et $n^{'}$ sont :

parallèles si $n$ et $n^{'}$ sont colinéaires — alors $P \cap P^{'} = \emptyset$ (strictement parallèles) ou $P = P^{'}$ (confondus) ;
sécants sinon — alors $P \cap P^{'}$ est une droite, dirigée par $n \land n^{'}$ .

iRemarqueIntersection de plusieurs plans et systèmes linéaires

Chercher l'intersection de $p$ plans, c'est résoudre un système linéaire de $p$ équations à 3 inconnues : le chapitre 7 (méthode du pivot) fournit l'algorithme, et la géométrie fournit l'interprétation. Pour trois plans, tous les cas se présentent : un point unique (système de Cramer, rang 3), une droite commune (rang 2, système compatible), un plan commun (rang 1), ou une intersection vide (système incompatible : plans parallèles deux à deux, ou formant un « toit » — trois droites d'intersection parallèles).

Exemple 9.63Trois plans, trois configurations

Résolvons par le pivot les trois systèmes ( $P_{1} \cap P_{2} \cap P_{3}$ ) :

${x + y + z = 1, x - y + 2 z = 0, x + z = 2}$ : le pivot conduit à l'unique solution $(5, - 1, - 3)$ — les trois plans se coupent en un point.
${x + y + z = 1, x - y + 2 z = 0, 2 x + 3 z = 1}$ : la troisième équation est la somme des deux premières — l'intersection est la droite de l'exemple précédent.
${x + y + z = 1, x - y + 2 z = 0, 2 x + 3 z = 5}$ : la somme des deux premières donne $2 x + 3 z = 1 \neq = 5$ — intersection vide.

9.14 Sphères

Proposition 9.64Équation cartésienne d'une sphère

La sphère $S$ de centre $Ω (a, b, c)$ et de rayon $R \geq 0$ , ensemble des points $M$ tels que $Ω M = R$ , a pour équation en repère orthonormé :

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2} .$

Comme pour les cercles, une équation $x^{2} + y^{2} + z^{2} + α x + β y + γ z + δ = 0$ se met sous forme canonique et définit une sphère, un point ou l'ensemble vide. La sphère de diamètre $[A B]$ est caractérisée par $M A \cdot M B = 0$ (même démonstration que dans le plan).

Proposition 9.65Intersection d'un plan et d'une sphère

Soient $S$ la sphère de centre $Ω$ et de rayon $R$ , $P$ un plan, $d = d (Ω, P)$ et $H$ le projeté orthogonal de $Ω$ sur $P$ .

Si $d > R$ : $P \cap S = \emptyset$ .
Si $d = R$ : $P \cap S = {H}$ (plan tangent).
Si $d < R$ : $P \cap S$ est le cercle du plan $P$ de centre $H$ et de rayon $R^{2} - d^{2}$ .

Démonstration

Pour $M \in P$ , Pythagore dans le triangle $Ω H M$ rectangle en $H$ donne $Ω M^{2} = d^{2} + H M^{2}$ , donc $M \in S ⟺ H M^{2} = R^{2} - d^{2}$ : vide si $d > R$ , réduit à $H$ si $d = R$ , cercle de centre $H$ et de rayon $R^{2} - d^{2}$ (tracé dans $P$ ) si $d < R$ .

Exemple 9.66Intersections d'une sphère

Soit $S : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 z = 3$ , c'est-à-dire $x^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} = 4$ : centre $Ω (0, 0, 1)$ , rayon $2$ .

Avec le plan $P : z = 2$ : $d (Ω, P) = 1 < 2$ , l'intersection est le cercle du plan $z = 2$ de centre $H (0, 0, 2)$ et de rayon $4 - 1 = 3$ (équation $x^{2} + y^{2} = 3$ dans ce plan).
Avec la droite $D$ passant par $O$ dirigée par $u (1, 0, 0)$ (l'axe $O x$ ) : on reporte le paramétrage $(t, 0, 0)$ dans l'équation : $t^{2} + 1 = 4$ , d'où $t = \pm 3$ : deux points $(\pm 3, 0, 0)$ . Pour une droite, la discussion se fait comme pour le cercle : selon le signe du discriminant de l'équation du second degré en $t$ , la droite est sécante (2 points), tangente (1 point) ou extérieure (0 point) — ce que gouverne la comparaison de $d (Ω, D)$ à $R$ .

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