Géométrie du plan et de l'espace

Cours · mathématiques (PTSI), chapitre 9 · CPGE PTSI (1re année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Un cube et le plan passant par trois de ses sommets.

9.1 Introduction et motivation

À l'issue de la terminale, nous connaissons le plan et l'espace euclidiens en tant qu'ensembles de points, la façon d'associer à deux points $A$ et $B$ le vecteur $A B$ , ainsi que les propriétés opératoires usuelles. À ce titre, nous utiliserons librement la notation

$B = A + u, e ˊ quivalente a ˋ A B = u .$

Ce chapitre prolonge cette étude en y ajoutant de nouveaux modes de repérage (coordonnées polaires dans le plan, cylindriques dans l'espace) et surtout trois produits qui encodent les notions métriques :

le produit scalaire, qui mesure longueurs, angles et orthogonalité ;
le produit mixte dans le plan et le produit vectoriel dans l'espace, qui mesurent aires et détectent la colinéarité ;
le produit mixte dans l'espace, qui mesure des volumes et détecte la coplanarité.

Ces outils permettent une étude complète des droites, cercles, plans et sphères. Ce chapitre illustre géométriquement la théorie des systèmes linéaires du chapitre 7 (une droite de l'espace est l'intersection de deux plans, donc l'ensemble des solutions d'un système !) et prépare l'intuition des espaces vectoriels abstraits du chapitre 11 : la notation $Vect (u)$ introduite ici y deviendra un objet central. Enfin, l'expression du produit mixte dans une base orthonormée directe annonce le déterminant, étudié systématiquement au chapitre 13. Le maître mot est : faire de nombreuses figures, en dimension 2 comme en dimension 3.

Partie A — Géométrie du plan

Dans toute cette partie, le plan $P$ est muni d'un repère orthonormé (on dit aussi orthonormal) $(O, , )$ , supposé direct lorsque l'orientation intervient : l'angle de $$ vers $$ vaut $+ \frac{π}{2}$ (sens trigonométrique, inverse des aiguilles d'une montre).

9.3 Modes de repérage dans le plan

9.3.1 Coordonnées cartésiennes

Définition 9.1Coordonnées cartésiennes

Tout point $M$ du plan s'écrit de manière unique $M = O + x  + y $ , c'est-à-dire $O M = x  + y $ . Le couple $(x, y) \in R^{2}$ est le couple des coordonnées cartésiennes de $M$ dans le repère $(O, , )$ . De même, tout vecteur $u$ du plan s'écrit de manière unique $u = x  + y $ : on note $u (x, y)$ ou $u (x y)$ .

iRemarque

Ce mode de repérage identifie le plan à $R^{2}$ , exactement comme le chapitre 3 l'identifiait à $C$ : le point $M (x, y)$ correspond à l'affixe $z = x + i y$ . Les deux points de vue s'éclairent mutuellement et nous passerons de l'un à l'autre sans hésiter.

9.3.2 Coordonnées polaires

Définition 9.2Coordonnées polaires

Soit $M$ un point du plan distinct de $O$ . Un couple $(r, θ) \in] 0, + \infty [\times R$ est un couple de coordonnées polaires de $M$ si :

$O M = r u_{r}, o u ˋ u_{r} = cos θ  + sin θ ,$

autrement dit si $r = O M$ et si $θ$ est une mesure de l'angle $(, O M)$ . Le lien avec les coordonnées cartésiennes est :

$x = r cos θ, y = r sin θ .$

Le vecteur $u_{θ} = - sin θ  + cos θ $ , obtenu en tournant $u_{r}$ d'un angle $\frac{π}{2}$ , complète $u_{r}$ en une base orthonormée directe $(u_{r}, u_{θ})$ : c'est la base polaire au point $M$ , celle qu'emploient la mécanique et les sciences industrielles (notations $u_{r}$ , $u_{θ}$ des cours de physique).

iRemarqueNon-unicité

Les coordonnées polaires d'un point $M \neq = O$ ne sont pas uniques : si $(r, θ)$ convient, alors $(r, θ + 2 k π)$ convient pour tout $k \in Z$ . Le rayon $r = O M$ est en revanche déterminé, et l'angle $θ$ l'est modulo $2 π$ : c'est exactement la situation module--argument du chapitre 3, puisque $z = x + i y = r e^{i θ}$ . Le point $O$ est à part : $r = 0$ et $θ$ quelconque.

Exemple 9.3Conversions

Le point $M (- 1, 3)$ vérifie $r = 1 + 3 = 2$ et $cos θ = - \frac{1}{2}$ , $sin θ = \frac{3}{2}$ , donc $θ \equiv \frac{2 π}{3} [2 π]$ : un couple de coordonnées polaires est $(2, \frac{2 π}{3})$ . Inversement, le point de coordonnées polaires $(4, - \frac{π}{6})$ a pour coordonnées cartésiennes $(4 cos \frac{π}{6}, - 4 sin \frac{π}{6}) = (23, - 2)$ .

9.4 Produit scalaire dans le plan

9.4.1 Norme euclidienne

Définition 9.4Norme euclidienne

La norme euclidienne du vecteur $u (x, y)$ est le réel positif :

$∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} .$

iRemarqueInterprétation en termes de distance

Si $u = A B$ , alors $∥ u ∥ = A B$ est la distance de $A$ à $B$ : pour $A (x_{A}, y_{A})$ et $B (x_{B}, y_{B})$ ,

$A B = A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} .$

C'est le théorème de Pythagore, et c'est aussi le module $∣ b - a ∣$ des affixes du chapitre 3. Un vecteur de norme $1$ est dit unitaire.

9.4.2 Définition géométrique du produit scalaire

Définition 9.5Produit scalaire

Soient $u$ et $v$ deux vecteurs du plan. Leur produit scalaire est le réel :

$u \cdot v = ⎩ ⎨ ⎧ ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos (u, v) 0 si u \neq = 0 et v \neq = 0, si u = 0 ou v = 0 .$

iRemarque

Le cosinus ne dépend ni de l'orientation choisie ni du représentant de l'angle ( $cos (- α) = cos α$ ) : le produit scalaire est défini sans ambiguïté, avant même d'orienter le plan. Son signe se lit sur l'angle : $u \cdot v > 0$ pour un angle aigu, $< 0$ pour un angle obtus, $= 0$ pour un angle droit.

Proposition 9.6Interprétation en termes de projection orthogonale

Soient $u = A B \neq = 0$ et $v = A C$ . Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(A B)$ , alors :

$u \cdot v = A B \cdot A H = {A B \times A H - A B \times A H si A B et A H sont de m e ˆ me sens, sinon .$

Autrement dit : projeter orthogonalement l'un des vecteurs sur la direction de l'autre ne change pas le produit scalaire.

Démonstration

Si $v = 0$ , les deux membres sont nuls. Sinon, notons $α$ l'angle géométrique en $A$ . Dans le triangle rectangle $A H C$ : si $α$ est aigu, $A H = A C cos α$ et $A H$ est du sens de $A B$ , donc $u \cdot v = A B \times A C cos α = A B \times A H$ ; si $α$ est obtus, $cos α = - cos (π - α) < 0$ et $A H = A C cos (π - α)$ avec $A H$ de sens contraire, d'où le signe $-$ ; si $α = \frac{π}{2}$ , tout est nul.

9.4.3 Bilinéarité et symétrie

Proposition 9.7Symétrie et bilinéarité

Pour tous vecteurs $u$ , $v$ , $w$ du plan et tous réels $λ$ , $μ$ :

symétrie : $u \cdot v = v \cdot u$ ;
linéarité à droite : $u \cdot (λ v + μ w) = λ (u \cdot v) + μ (u \cdot w)$ ;
linéarité à gauche : $(λ u + μ v) \cdot w = λ (u \cdot w) + μ (v \cdot w)$ .

On résume les deux derniers points en disant que le produit scalaire est bilinéaire.

iRemarque

La symétrie est immédiate sur la définition. La bilinéarité, elle, n'a rien d'évident à partir de la formule $∥ u ∥∥ v ∥ cos (u, v)$ ; on peut la justifier grâce à l'interprétation par projection (la projection orthogonale respecte sommes et multiples de vecteurs), mais la démonstration n'est pas exigible. Grâce à la symétrie, il suffit d'ailleurs d'établir la linéarité d'un seul côté.

9.4.4 Expression en base orthonormée

◆Théorème 9.8Expression du produit scalaire en base orthonormée

Dans une base orthonormée $(, )$ , si $u (x, y)$ et $v (x^{'}, y^{'})$ , alors :

$u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} .$

En particulier $u \cdot u = x^{2} + y^{2} = ∥ u ∥^{2}$ .

Démonstration

La base étant orthonormée, $ \cdot  =  \cdot  = 1$ (angle nul, normes $1$ ) et $ \cdot  = 0$ (angle droit). En développant par bilinéarité :

$u \cdot v = (x  + y ) \cdot (x^{'}  + y^{'} ) = x x^{'} ( \cdot ) + x y^{'} ( \cdot ) + y x^{'} ( \cdot ) + y y^{'} ( \cdot ) = x x^{'} + y y^{'} .∎$

Exemple 9.9

Avec $u (3, 1)$ et $v (1, 2)$ : $u \cdot v = 3 + 2 = 5$ , $∥ u ∥ = 10$ , $∥ v ∥ = 5$ , d'où :

$cos (u, v) = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ ∥ v ∥} = \frac{5}{50} = \frac{2}{2},$

et l'angle géométrique entre $u$ et $v$ vaut $\frac{π}{4}$ . C'est la méthode de calcul d'un angle.

9.4.5 Identité remarquable et polarisation

Proposition 9.10Identité remarquable et formule de polarisation

Pour tous vecteurs $u$ et $v$ :

$∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + ∥ v ∥^{2} + 2 u \cdot v,$

d'où la formule de polarisation, qui exprime le produit scalaire à l'aide de normes seules :

$u \cdot v = \frac{1}{2} (∥ u + v ∥^{2} - ∥ u ∥^{2} - ∥ v ∥^{2}) .$

Démonstration

Par bilinéarité et symétrie :

$∥ u + v ∥^{2} = (u + v) \cdot (u + v) = u \cdot u + 2 u \cdot v + v \cdot v,$

puis on isole $u \cdot v$ .

iRemarque

On développe de même $∥ u - v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + ∥ v ∥^{2} - 2 u \cdot v$ : c'est le théorème d'Al-Kashi en germe. Ces identités sont l'analogue vectoriel de $(a \pm b)^{2}$ : on calcule avec les normes et les produits scalaires comme avec des carrés et des produits de réels.

9.4.6 Orthogonalité

Définition 9.11Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs $u$ et $v$ sont orthogonaux lorsque $u \cdot v = 0$ . On note $u ⊥ v$ .

Proposition 9.12Caractérisation de l'orthogonalité

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur angle est droit. Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. En coordonnées dans une base orthonormée :

$u (x, y) ⊥ v (x^{'}, y^{'}) ⟺ x x^{'} + y y^{'} = 0.$

Exemple 9.13

Le vecteur $v (- y, x)$ est orthogonal à $u (x, y)$ : en effet $x (- y) + y x = 0$ . C'est le vecteur $u$ « tourné d'un quart de tour direct » — en affixes, c'est la multiplication par $i$ du chapitre 3. Ce procédé, constamment utilisé, transforme un vecteur directeur en vecteur normal et réciproquement.

Important

Retenons les trois usages du produit scalaire : calculer une longueur ( $∥ u ∥^{2} = u \cdot u$ ), calculer un angle ( $cos = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥∥ v ∥}$ ), caractériser l'orthogonalité ( $u \cdot v = 0$ ).

9.5 Produit mixte dans le plan orienté

9.5.1 Orientation du plan

iRemarqueOrientation

Orienter le plan, c'est choisir un sens de rotation positif : par convention, le sens trigonométrique (inverse des aiguilles d'une montre). Une base orthonormée $(, )$ est alors directe si l'on passe de $$ à $$ par un quart de tour dans le sens positif. La notion d'orientation est ici admise : nous nous appuyons sur l'intuition et sur les figures. Une fois le plan orienté, l'angle $(u, v)$ de deux vecteurs non nuls possède un signe, et $sin (u, v)$ a un sens (contrairement au produit scalaire, qui n'utilisait que le cosinus, insensible au signe de l'angle).

9.5.2 Définition géométrique

Définition 9.14Produit mixte dans le plan

Soient $u$ et $v$ deux vecteurs du plan orienté. Leur produit mixte (ou déterminant) est le réel :

$[u, v] = ⎩ ⎨ ⎧ ∥ u ∥ ∥ v ∥ sin (u, v) 0 si u \neq = 0 et v \neq = 0, si u = 0 ou v = 0 .$

Proposition 9.15Interprétation : aire orientée

$∣ [u, v] ∣$ est l'aire du parallélogramme construit sur $u$ et $v$ . Le signe de $[u, v]$ indique l'orientation du couple : positif si $(u, v)$ est direct (on tourne de $u$ vers $v$ dans le sens positif, par le plus court chemin), négatif sinon. On parle d'aire orientée.

Démonstration

Prenons pour base le côté porté par $u$ : sa longueur est $∥ u ∥$ , et la hauteur correspondante vaut $h = ∥ v ∥ ∣ sin θ ∣$ où $θ = (u, v)$ . L'aire du parallélogramme, base $\times$ hauteur, vaut donc $∥ u ∥ ∥ v ∥ ∣ sin θ ∣ = ∣ [u, v] ∣$ . Le signe de $sin θ$ est celui de l'angle orienté $θ$ , d'où l'interprétation du signe.

9.5.3 Propriétés

Proposition 9.16Bilinéarité et antisymétrie

Pour tous vecteurs $u$ , $v$ , $w$ et tous réels $λ$ , $μ$ :

antisymétrie : $[v, u] = - [u, v]$ ; en particulier $[u, u] = 0$ ;
bilinéarité : $[λ u + μ v, w] = λ [u, w] + μ [v, w]$ , et de même à droite.

iRemarque

L'antisymétrie vient de $sin (- θ) = - sin θ$ : échanger les deux vecteurs change l'orientation du couple, donc le signe de l'aire orientée. Comme pour le produit scalaire, la démonstration de la bilinéarité n'est pas exigible.

◆Théorème 9.17Expression en base orthonormée directe

Dans une base orthonormée directe $(, )$ , si $u (x, y)$ et $v (x^{'}, y^{'})$ , alors :

$[u, v] = x y^{'} - y x^{'} .$

On note aussi $[u, v] = x y x^{'} y^{'}$ (déterminant $2 \times 2$ , chapitre 13).

Démonstration

La base étant orthonormée directe, $[, ] = [, ] = 0$ et $[, ] = 1 \times 1 \times sin \frac{π}{2} = 1 = - [, ]$ . En développant par bilinéarité :

$[u, v] = x x^{'} [, ] + x y^{'} [, ] + y x^{'} [, ] + y y^{'} [, ] = x y^{'} - y x^{'} .∎$

Proposition 9.18Caractérisation de la colinéarité

Deux vecteurs $u$ et $v$ sont colinéaires si et seulement si $[u, v] = 0$ , c'est-à-dire, en base orthonormée directe, si et seulement si $x y^{'} - y x^{'} = 0$ .

Exercices du chapitre

Un cercle déguisé en équation polaire corrigé
Le théorème de Huygens, et les lignes de niveau de $\sum m_{i} M A_{i}^{2}$ corrigé
L'aire d'un polygone, par le produit mixte corrigé
Les deux bissectrices sont perpendiculaires corrigé
La tangente par dédoublement, et la puissance d'un point corrigé
La base locale des coordonnées cylindriques corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre