Analyse asymptotique

Cours complet · mathématiques (PTSI), chapitre 8 · CPGE PTSI (1re année)

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<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>8.1 Introduction et motivation

L'objectif de ce chapitre est d'introduire les techniques asymptotiques fondamentales, dans les cadres continu (fonctions) et discret (suites). Il s'agit de répondre à des questions du type : à quoi ressemble $f (x)$ quand $x$ s'approche de $a$ ? à quelle vitesse $u_{n}$ tend-elle vers sa limite ? — la problématique de la vitesse de convergence, introduite au premier semestre lors de l'étude des suites et des fonctions de la variable réelle (chapitres 5 et 6), trouve ici ses outils définitifs. C'est pourquoi ce chapitre ouvre le second semestre : il fournit des outils efficaces dont toute la suite de l'analyse fera usage.

Les développements limités sont les principaux outils du calcul asymptotique : on les traite d'abord pour les fonctions, afin d'en disposer au plus tôt. La priorité est donnée à la pratique : il faut connaître les développements usuels et savoir mener rapidement des calculs simples — les situations dont la gestion manuelle ne relèverait que de la technicité se traitent à l'aide d'outils logiciels. Les fonctions et suites sont à valeurs réelles ou complexes, le cas réel jouant le rôle prépondérant.

8.2 Relations de comparaison : cas des fonctions

8.2.1 Domination, négligeabilité, équivalence

Définition 8.1Les trois relations de comparaison

Soient $f$ et $g$ définies au voisinage de $a \in R$ , la fonction $g$ ne s'annulant pas au voisinage de $a$ (sauf peut-être en $a$ ). On dit que :

$f$ est dominée par $g$ en $a$ , noté $f (x) x \to a = O (g (x))$ , si le quotient $\frac{f}{g}$ est borné au voisinage de $a$ ;
$f$ est négligeable devant $g$ en $a$ , noté $f (x) x \to a = o (g (x))$ , si $\frac{f ( x )}{g ( x )} x \to a 0$ ;
$f$ est équivalente à $g$ en $a$ , noté $f (x) x \to a \sim g (x)$ , si $\frac{f ( x )}{g ( x )} x \to a 1$ .

Proposition 8.2Liens entre les relations

$f \sim g ⟺ f = g + o (g), f \sim g ⟹ f = O (g), f = o (g) ⟹ f = O (g) .$

ImportantLa forme

f = g + o (g)

: la bonne écriture pour calculer

L'équivalence $f a \sim g$ se lit de deux façons : $\frac{f}{g} \to 1$ (commode pour vérifier), et

$f (x) = g (x) + o (g (x)) (commode pour calculer) :$

« $f$ , c'est $g$ plus une erreur négligeable devant $g$ ». C'est cette seconde forme — une égalité qu'on peut substituer, additionner, intégrer dans un calcul — qui fait tout le travail dans la pratique, et que généraliseront les développements limités.

Exemple 8.3

$sin x 0 \sim x$ (taux d'accroissement de $sin$ en $0$ ) ; $x^{2} + 3 x + \infty \sim x^{2}$ mais $x^{2} + 3 x 0 \sim 3 x$ : toujours préciser le point ! Un polynôme est équivalent à son terme de plus haut degré en $\pm \infty$ , de plus bas degré en $0$ .

iRemarqueÉtude locale en

a \neq = 0

Pour étudier $f$ au voisinage de $a$ réel non nul, on se ramène systématiquement en $0$ : on pose $x = a + h$ et on étudie $h \mapsto f (a + h)$ quand $h \to 0$ . Tous les outils (équivalents usuels, développements limités) sont calibrés en $0$ .

Proposition 8.4Croissances comparées en langage

o

Pour $α, β, γ > 0$ :

$ln^{β} (x) + \infty = o (x^{α}), x^{α} + \infty = o (e^{γ x}), ∣ ln x ∣^{β} 0^{+} = o (x^{- α}) .$

(Ce sont les croissances comparées du chapitre 4, réécrites avec le symbole $o$ .)

8.2.2 Règles de calcul

◆Théorème 8.5Manipulation des équivalents

Si $f_{1} \sim g_{1}$ et $f_{2} \sim g_{2}$ en $a$ :

$f_{1} f_{2} \sim g_{1} g_{2}, \frac{f _{1}}{f _{2}} \sim \frac{g _{1}}{g _{2}}, f_{1}^{p} \sim g_{1}^{p} (p \in Z, et p \in R si f_{1} > 0) .$

Les symboles $o$ et $O$ se manipulent par les règles usuelles : $o (g) + o (g) = o (g)$ , $λ o (g) = o (g)$ , $f \cdot o (g) = o (f g)$ , $o (o (g)) = o (g)$ , et $o (g)$ absorbe tout $o (h)$ dès que $h = O (g)$ .

AttentionLes deux interdits majeurs

On n'additionne pas des équivalents : $x + x^{2} \sim x$ et $- x \sim - x + x^{3}$ en $0$ , mais la « somme » donnerait $x^{2} \sim x^{3}$ — faux ! En cas de somme, repasser par la forme $g + o (g)$ ou par les développements limités.
On ne compose pas par $exp$ (ni $ln$ sans précaution) : $x + 1 \sim x$ en $+ \infty$ , mais $e^{x + 1} = e \cdot e^{x} \neq \sim e^{x}$ . (Pour $ln$ : si $f \sim g$ et $g \to ℓ \neq = 1$ avec $ℓ \in] 0, + \infty]$ , alors $ln f \sim ln g$ — utilisable, mais à justifier.)

Proposition 8.6Équivalent par encadrement

Si $f \leq g \leq h$ au voisinage de $a$ et si $f (x) a \sim h (x)$ , alors $g (x) a \sim f (x)$ .

Démonstration

Au voisinage de $a$ (où l'on peut supposer $f > 0$ , quitte à changer les signes) : $\frac{f}{f} \leq \frac{g}{f} \leq \frac{h}{f}$ , et les deux extrêmes tendent vers $1$ (le second car $h \sim f$ ) : le théorème d'encadrement conclut.

Exemple 8.7

En $+ \infty$ : $x - 1 \leq ⌊ x ⌋ \leq x$ et $x - 1 \sim x$ , donc $⌊ x ⌋ + \infty \sim x$ .

Proposition 8.8Propriétés conservées par équivalence

Si $f a \sim g$ , alors :

$f$ et $g$ ont même signe au voisinage de $a$ ;
$f$ admet une limite en $a$ si et seulement si $g$ en admet une, et c'est la même.

C'est ce qui fait des équivalents l'outil roi du calcul de limites : on remplace chaque facteur par un équivalent plus simple.

8.3 Développements limités

8.3.1 Définition et premières propriétés

Définition 8.9Développement limité

$f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $0$ (en abrégé $DL_{n} (0)$ ) s'il existe des constantes $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ telles que, au voisinage de $0$ :

$f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n} + o (x^{n}) .$

Le polynôme $a_{0} + \dots + a_{n} x^{n}$ est la partie régulière. En un point $a$ quelconque, le $DL_{n} (a)$ de $f$ se ramène au $DL_{n} (0)$ de $h \mapsto f (a + h)$ : $f (a + h) = a_{0} + a_{1} h + \dots + a_{n} h^{n} + o (h^{n})$ .

◆Théorème 8.10Unicité et troncature

Si $f$ admet un $DL_{n}$ , ses coefficients sont uniques. De plus, $f$ admet alors un $DL_{p}$ pour tout $p \leq n$ , obtenu en tronquant la partie régulière à l'ordre $p$ .

Démonstration (Démonstration de l'unicité)

Si $\sum a_{k} x^{k} + o (x^{n}) = \sum b_{k} x^{k} + o (x^{n})$ , on fait $x \to 0$ : $a_{0} = b_{0}$ . On retranche, on divise par $x$ , et on recommence : $a_{1} = b_{1}$ , etc. — chaque coefficient est déterminé par un passage à la limite.

Proposition 8.11Conséquences immédiates

Signe local : si $a_{p}$ est le premier coefficient non nul, alors $f (x) 0 \sim a_{p} x^{p}$ : au voisinage de $0$ , $f$ a le signe de $a_{p} x^{p}$ .
Parité : si $f$ est paire (resp. impaire), son $DL$ en $0$ ne contient que des puissances paires (resp. impaires) — conséquence de l'unicité appliquée à $f (- x) = \pm f (x)$ .
Dérivabilité : $f$ est dérivable en $0$ si et seulement si $f$ admet un $DL_{1} (0)$ , et alors $f (x) = f (0) + f^{'} (0) x + o (x)$ (chapitre 6).

8.3.2 Formule de Taylor-Young et développements usuels

◆Théorème 8.12Formule de Taylor-Young

Si $f$ est de classe $C^{n}$ au voisinage de $a$ , alors $f$ admet un $DL_{n} (a)$ donné par ses dérivées :

$f (a + h) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} h^{k} + o (h^{n}) .$

ImportantDéveloppements limités usuels en

0

(à connaître parfaitement)

$e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \dots + \frac{x ^{n}}{n !} + o (x^{n})$

$sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \dots + (- 1)^{p} \frac{x ^{2 p + 1}}{( 2 p + 1 )!} + o (x^{2 p + 2})$

$cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} - \dots + (- 1)^{p} \frac{x ^{2 p}}{( 2 p )!} + o (x^{2 p + 1})$

$sh x = x + \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} + \dots + o (x^{2 p + 2}), ch x = 1 + \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} + \dots + o (x^{2 p + 1})$

$\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + \dots + x^{n} + o (x^{n}), ln (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - \dots + (- 1)^{n + 1} \frac{x ^{n}}{n} + o (x^{n})$

$(1 + x)^{α} = 1 + α x + \frac{α ( α - 1 )}{2 !} x^{2} + \dots + \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - n + 1 )}{n !} x^{n} + o (x^{n})$

$Arctan x = x - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{5}}{5} - \dots + o (x^{2 p + 2}), tan x = x + \frac{x ^{3}}{3} + o (x^{3}) (ordre 3 exigible) .$

iRemarque

Tout se retient à partir de quelques souches : $e^{x}$ donne $sin$ , $cos$ , $sh$ , $ch$ (tri des termes) ; $\frac{1}{1 - x}$ est la somme géométrique du chapitre 2 ; $ln (1 + x)$ et $Arctan$ s'obtiennent en primitivant $\frac{1}{1 + x}$ et $\frac{1}{1 + x ^{2}}$ ; $(1 + x)^{α}$ généralise le binôme. Noter les cas particuliers utiles de $(1 + x)^{α}$ : $1 + x = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x ^{2}}{8} + o (x^{2})$ et $\frac{1}{1 + x} = 1 - x + x^{2} + o (x^{2})$ .

8.3.3 Opérations sur les développements limités

◆Théorème 8.13Opérations

Si $f$ et $g$ admettent des $DL_{n} (0)$ de parties régulières $P$ et $Q$ :

Combinaison linéaire : $λ f + μg$ admet le $DL_{n}$ de partie régulière $λ P + μ Q$ ;
Produit : $f g$ admet le $DL_{n}$ de partie régulière $P Q$ tronquée à l'ordre $n$ ;
Quotient : si $g (0) \neq = 0$ , $\frac{f}{g}$ admet un $DL_{n}$ , qu'on calcule en composant avec $\frac{1}{1 - u}$ (écrire $g = g (0) (1 - u)$ avec $u \to 0$ ) ;
Primitivation : si $F^{'} = f$ , alors $F$ admet un $DL_{n + 1}$ obtenu en primitivant terme à terme : $F (x) = F (0) + a_{0} x + \frac{a _{1}}{2} x^{2} + \dots + \frac{a _{n}}{n + 1} x^{n + 1} + o (x^{n + 1})$ .

La composition se pratique sur des exemples simples ( $u \to 0$ obligatoire : on substitue le $DL$ de $u$ et on tronque) ; aucun résultat général n'est exigible.

ImportantMéthode : prévoir l'ordre, factoriser le terme prépondérant

Avant tout calcul, prévoir l'ordre nécessaire : dans un quotient ou une différence, des termes peuvent se simplifier et faire perdre des ordres — on factorise par le terme prépondérant pour anticiper. Exemple : pour $\frac{s i n x - x}{x ^{3}}$ , il faut $sin x$ à l'ordre $3$ (le terme $x$ disparaît) ; pour un dénominateur $\sim x^{2}$ , prendre deux ordres de plus au numérateur.

Exemple 8.14Produit et composition

$DL_{3} (0)$ de $e^{x} sin x$ : en tronquant le produit à l'ordre $3$ ,

$(1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{6}) (x - \frac{x ^{3}}{6}) = x + x^{2} + (\frac{1}{2} - \frac{1}{6}) x^{3} + o (x^{3}) = x + x^{2} + \frac{x ^{3}}{3} + o (x^{3}) .$

$DL_{2} (0)$ de $e^{c o s x}$ (composition) : $cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})$ , donc

$e^{c o s x} = e \cdot e^{- x^{2} /2 + o (x^{2})} = e (1 - \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})) = e - \frac{e}{2} x^{2} + o (x^{2})$

— on a substitué $u = - \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2}) \to 0$ dans $e^{u} = 1 + u + o (u)$ . Toujours se ramener à une quantité qui tend vers $0$ avant de composer.

8.3.4 Applications à l'étude locale

ImportantLes quatre applications des

DL

Équivalents et limites : le premier terme non nul du $DL$ donne l'équivalent : $f (x) - P_{p - 1} (x) \sim a_{p} x^{p}$ .
Tangente et position relative : si $f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{p} x^{p} + o (x^{p})$ ( $p \geq 2$ , $a_{p} \neq = 0$ ), la tangente en $0$ est $y = a_{0} + a_{1} x$ , et la position de la courbe par rapport à elle est donnée par le signe de $a_{p} x^{p}$ (au-dessus si $a_{p} x^{p} > 0$ , traversée — point d'inflexion — si $p$ impair).
Asymptotes : si $f (x) = a x + b + \frac{c}{x} + o (\frac{1}{x})$ en $\pm \infty$ (étudier $f (x) - a x - b$ , ou poser $u = \frac{1}{x}$ ), la droite $y = a x + b$ est asymptote, et le signe de $\frac{c}{x}$ donne la position.
Extremums (ordre 2) : en un point intérieur $a$ avec $f^{'} (a) = 0$ : si $f^{''} (a) > 0$ , minimum local ; si $f^{''} (a) < 0$ , maximum local (condition suffisante) ; réciproquement, un minimum local impose $f^{''} (a) \geq 0$ (condition nécessaire). Si $f^{''} (a) = 0$ , l'ordre 2 ne conclut pas (penser à $x^{3}$ et $x^{4}$ ).

8.4 Relations de comparaison : cas des suites

Définition 8.15Comparaison de suites

Les définitions s'adaptent mot pour mot aux suites ( $n \to + \infty$ , $v_{n} \neq = 0$ à partir d'un certain rang) :

$u_{n} = O (v_{n}) (\frac{u _{n}}{v _{n}} born e ˊ e), u_{n} = o (v_{n}) (\frac{u _{n}}{v _{n}} \to 0), u_{n} \sim v_{n} (\frac{u _{n}}{v _{n}} \to 1),$

avec les mêmes règles (produits, quotients, puissances, encadrement, conservation du signe et de la limite) et les mêmes interdits (sommes, composition par $exp$ ). Les croissances comparées s'écrivent : $ln^{β} n = o (n^{α})$ , $n^{α} = o (e^{γ n})$ , et aussi $a^{n} = o (n!)$ , $n! = o (n^{n})$ .

Exemple 8.16

$n + 1 - n = \frac{1}{n + 1 + n} \sim \frac{1}{2 n}$ ; $sin \frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}$ (composer un $DL$ avec la suite $\frac{1}{n} \to 0$ est, lui, parfaitement licite).

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