Analyse asymptotique

Cours · mathématiques (PTSI), chapitre 8 · CPGE PTSI (1re année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La fonction sinus et ses approximations de Taylor d'ordre 1 et 3 au voisinage de 0.

8.1 Introduction et motivation

L'objectif de ce chapitre est d'introduire les techniques asymptotiques fondamentales, dans les cadres continu (fonctions) et discret (suites). Il s'agit de répondre à des questions du type : à quoi ressemble $f (x)$ quand $x$ s'approche de $a$ ? à quelle vitesse $u_{n}$ tend-elle vers sa limite ? — la problématique de la vitesse de convergence, introduite au premier semestre lors de l'étude des suites et des fonctions de la variable réelle (chapitres 5 et 6), trouve ici ses outils définitifs. C'est pourquoi ce chapitre ouvre le second semestre : il fournit des outils efficaces dont toute la suite de l'analyse fera usage.

Les développements limités sont les principaux outils du calcul asymptotique : on les traite d'abord pour les fonctions, afin d'en disposer au plus tôt. La priorité est donnée à la pratique : il faut connaître les développements usuels et savoir mener rapidement des calculs simples — les situations dont la gestion manuelle ne relèverait que de la technicité se traitent à l'aide d'outils logiciels. Les fonctions et suites sont à valeurs réelles ou complexes, le cas réel jouant le rôle prépondérant.

8.2 Relations de comparaison : cas des fonctions

8.2.1 Domination, négligeabilité, équivalence

Définition 8.1Les trois relations de comparaison

Soient $f$ et $g$ définies au voisinage de $a \in R$ , la fonction $g$ ne s'annulant pas au voisinage de $a$ (sauf peut-être en $a$ ). On dit que :

$f$ est dominée par $g$ en $a$ , noté $f (x) x \to a = O (g (x))$ , si le quotient $\frac{f}{g}$ est borné au voisinage de $a$ ;
$f$ est négligeable devant $g$ en $a$ , noté $f (x) x \to a = o (g (x))$ , si $\frac{f ( x )}{g ( x )} x \to a 0$ ;
$f$ est équivalente à $g$ en $a$ , noté $f (x) x \to a \sim g (x)$ , si $\frac{f ( x )}{g ( x )} x \to a 1$ .

Proposition 8.2Liens entre les relations

$f \sim g ⟺ f = g + o (g), f \sim g ⟹ f = O (g), f = o (g) ⟹ f = O (g) .$

ImportantLa forme

f = g + o (g)

: la bonne écriture pour calculer

L'équivalence $f a \sim g$ se lit de deux façons : $\frac{f}{g} \to 1$ (commode pour vérifier), et

$f (x) = g (x) + o (g (x)) (commode pour calculer) :$

« $f$ , c'est $g$ plus une erreur négligeable devant $g$ ». C'est cette seconde forme — une égalité qu'on peut substituer, additionner, intégrer dans un calcul — qui fait tout le travail dans la pratique, et que généraliseront les développements limités.

Exemple 8.3

$sin x 0 \sim x$ (taux d'accroissement de $sin$ en $0$ ) ; $x^{2} + 3 x + \infty \sim x^{2}$ mais $x^{2} + 3 x 0 \sim 3 x$ : toujours préciser le point ! Un polynôme est équivalent à son terme de plus haut degré en $\pm \infty$ , de plus bas degré en $0$ .

iRemarqueÉtude locale en

a \neq = 0

Pour étudier $f$ au voisinage de $a$ réel non nul, on se ramène systématiquement en $0$ : on pose $x = a + h$ et on étudie $h \mapsto f (a + h)$ quand $h \to 0$ . Tous les outils (équivalents usuels, développements limités) sont calibrés en $0$ .

Proposition 8.4Croissances comparées en langage

o

Pour $α, β, γ > 0$ :

$ln^{β} (x) + \infty = o (x^{α}), x^{α} + \infty = o (e^{γ x}), ∣ ln x ∣^{β} 0^{+} = o (x^{- α}) .$

(Ce sont les croissances comparées du chapitre 4, réécrites avec le symbole $o$ .)

8.2.2 Règles de calcul

◆Théorème 8.5Manipulation des équivalents

Si $f_{1} \sim g_{1}$ et $f_{2} \sim g_{2}$ en $a$ :

$f_{1} f_{2} \sim g_{1} g_{2}, \frac{f _{1}}{f _{2}} \sim \frac{g _{1}}{g _{2}}, f_{1}^{p} \sim g_{1}^{p} (p \in Z, et p \in R si f_{1} > 0) .$

Les symboles $o$ et $O$ se manipulent par les règles usuelles : $o (g) + o (g) = o (g)$ , $λ o (g) = o (g)$ , $f \cdot o (g) = o (f g)$ , $o (o (g)) = o (g)$ , et $o (g)$ absorbe tout $o (h)$ dès que $h = O (g)$ .

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