Calcul matriciel et systèmes linéaires

Cours · mathématiques (PTSI), chapitre 7 · CPGE PTSI (1re année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une matrice échelonnée par le pivot de Gauss : pivots sur la diagonale, zéros en dessous.

7.1 Introduction et motivation

Ce chapitre est une initiation au calcul matriciel, avec un triple objectif : préparer l'étude géométrique de l'algèbre linéaire menée au second semestre, revenir sur les systèmes linéaires du chapitre 2 avec un langage plus puissant, et découvrir un calcul aux règles nouvelles — produit non commutatif, diviseurs de zéro, éléments nilpotents : autant de pièges qui deviennent ici concrets.

Inventées par Cayley et Sylvester au XIX^e siècle comme simple notation pour les systèmes linéaires, les matrices sont devenues le langage universel du calcul scientifique : une image numérique est une matrice de pixels, un réseau social une matrice d'adjacence, et l'algorithme PageRank de Google un calcul de puissances de matrice. Dans tout le chapitre, $K$ désigne $R$ ou $C$ .

7.2 Opérations sur les matrices

7.2.1 L'espace des matrices

Définition 7.1Matrices

Soient $n, p \in N^{*}$ . Une matrice à $n$ lignes et $p$ colonnes à coefficients dans $K$ est un tableau rectangulaire

$A = (a_{i, j})_{1 \leq i \leq n 1 \leq j \leq p} = a_{1, 1} a_{2, 1} ⋮ a_{n, 1} a_{1, 2} a_{2, 2} a_{n, 2} \dots \dots \dots a_{1, p} a_{2, p} ⋮ a_{n, p},$

où $a_{i, j} \in K$ est le coefficient situé à la ligne $i$ et à la colonne $j$ . Leur ensemble est noté $M_{n, p} (K)$ . Cas particuliers : les matrices colonnes ( $p = 1$ ), les matrices lignes ( $n = 1$ ), et les matrices carrées ( $n = p$ ), dont l'ensemble est noté $M_{n} (K)$ .

Définition 7.2Combinaisons linéaires

On définit sur $M_{n, p} (K)$ l'addition et la multiplication par un scalaire, coefficient par coefficient :

$(A + B)_{i, j} = a_{i, j} + b_{i, j}, (λ A)_{i, j} = λ a_{i, j} (λ \in K) .$

L'addition est associative, commutative, de neutre la matrice nulle $0_{n, p}$ , et toute matrice $A$ admet une opposée $- A$ ; on peut donc former des combinaisons linéaires $λ A + μ B$ de matrices de même taille.

Définition 7.3Matrices élémentaires

Pour $1 \leq i \leq n$ et $1 \leq j \leq p$ , la matrice élémentaire $E_{i, j} \in M_{n, p} (K)$ est la matrice dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui de la ligne $i$ et de la colonne $j$ , qui vaut $1$ .

Proposition 7.4

Toute matrice de $M_{n, p} (K)$ est combinaison linéaire de matrices élémentaires, de façon unique :

$A = i = 1 \sum n j = 1 \sum p a_{i, j} E_{i, j} .$

Les $E_{i, j}$ jouent pour les matrices le rôle que jouent les chiffres pour les nombres : une « base » de décomposition (le mot prendra son sens précis au second semestre).

7.2.2 Produit matriciel

Définition 7.5Produit matriciel

Soient $A = (a_{i, k}) \in M_{n, p} (K)$ et $B = (b_{k, j}) \in M_{p, q} (K)$ — le nombre de colonnes de $A$ doit égaler le nombre de lignes de $B$ . Le produit $A B \in M_{n, q} (K)$ est défini par :

$(A B)_{i, j} = k = 1 \sum p a_{i, k} b_{k, j} :$

le coefficient $(i, j)$ s'obtient en parcourant la ligne $i$ de $A$ et la colonne $j$ de $B$ .

Exemple 7.6

$(1324) (0110) = (2413)$ mais $(0110) (1324) = (3142)$ : multiplier à droite par la matrice d'échange permute les colonnes, à gauche les lignes — et le produit n'est pas commutatif !

Proposition 7.7Le produit

A X

: combinaison des colonnes

Soit $A \in M_{n, p} (K)$ de colonnes $C_{1}, \dots, C_{p}$ , et $X = x_{1} ⋮ x_{p}$ une matrice colonne. Alors :

$A X = x_{1} C_{1} + x_{2} C_{2} + \dots + x_{p} C_{p} :$

$A X$ est la combinaison linéaire des colonnes de $A$ à coefficients les composantes de $X$ . Ce point de vue « par colonnes » est la clé de la théorie des systèmes linéaires.

◆Théorème 7.8Propriétés du produit

Sous réserve de compatibilité des tailles :

Bilinéarité : $A (λ B + μ C) = λ A B + μ A C$ et $(λ A + μ B) C = λ A C + μ B C$ ;
Associativité : $(A B) C = A (B C)$ .

Démonstration (Démonstration de l'associativité)

Comparons les coefficients, en échangeant deux sommes finies (chapitre 2) :

$((A B) C)_{i, j} = l \sum (A B)_{i, l} c_{l, j} = l \sum k \sum a_{i, k} b_{k, l} c_{l, j} = k \sum a_{i, k} l \sum b_{k, l} c_{l, j} = (A (B C))_{i, j} .$

Définition 7.9Symbole de Kronecker

Pour des indices $i, j$ , le symbole de Kronecker est défini par :

$δ_{i, j} = {10 si i = j, si i \neq = j .$

Ainsi la matrice identité (ci-dessous) s'écrit $I_{n} = (δ_{i, j})$ .

Proposition 7.10Produit de matrices élémentaires

Pour $E_{i, j} \in M_{n, p} (K)$ et $E_{k, l} \in M_{p, q} (K)$ :

$E_{i, j} E_{k, l} = δ_{j, k} E_{i, l} :$

le produit est nul sauf si les indices « intérieurs » se raccordent ( $j = k$ ), auquel cas il vaut $E_{i, l}$ .

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