Calcul matriciel et systèmes linéaires

Cours complet · mathématiques (PTSI), chapitre 7 · CPGE PTSI (1re année)

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<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>7.1 Introduction et motivation

Ce chapitre est une initiation au calcul matriciel, avec un triple objectif : préparer l'étude géométrique de l'algèbre linéaire menée au second semestre, revenir sur les systèmes linéaires du chapitre 2 avec un langage plus puissant, et découvrir un calcul aux règles nouvelles — produit non commutatif, diviseurs de zéro, éléments nilpotents : autant de pièges qui deviennent ici concrets.

Inventées par Cayley et Sylvester au XIX^e siècle comme simple notation pour les systèmes linéaires, les matrices sont devenues le langage universel du calcul scientifique : une image numérique est une matrice de pixels, un réseau social une matrice d'adjacence, et l'algorithme PageRank de Google un calcul de puissances de matrice. Dans tout le chapitre, $K$ désigne $R$ ou $C$ .

7.2 Opérations sur les matrices

7.2.1 L'espace des matrices

Définition 7.1Matrices

Soient $n, p \in N^{*}$ . Une matrice à $n$ lignes et $p$ colonnes à coefficients dans $K$ est un tableau rectangulaire

$A = (a_{i, j})_{1 \leq i \leq n 1 \leq j \leq p} = a_{1, 1} a_{2, 1} ⋮ a_{n, 1} a_{1, 2} a_{2, 2} a_{n, 2} \dots \dots \dots a_{1, p} a_{2, p} ⋮ a_{n, p},$

où $a_{i, j} \in K$ est le coefficient situé à la ligne $i$ et à la colonne $j$ . Leur ensemble est noté $M_{n, p} (K)$ . Cas particuliers : les matrices colonnes ( $p = 1$ ), les matrices lignes ( $n = 1$ ), et les matrices carrées ( $n = p$ ), dont l'ensemble est noté $M_{n} (K)$ .

Définition 7.2Combinaisons linéaires

On définit sur $M_{n, p} (K)$ l'addition et la multiplication par un scalaire, coefficient par coefficient :

$(A + B)_{i, j} = a_{i, j} + b_{i, j}, (λ A)_{i, j} = λ a_{i, j} (λ \in K) .$

L'addition est associative, commutative, de neutre la matrice nulle $0_{n, p}$ , et toute matrice $A$ admet une opposée $- A$ ; on peut donc former des combinaisons linéaires $λ A + μ B$ de matrices de même taille.

Définition 7.3Matrices élémentaires

Pour $1 \leq i \leq n$ et $1 \leq j \leq p$ , la matrice élémentaire $E_{i, j} \in M_{n, p} (K)$ est la matrice dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui de la ligne $i$ et de la colonne $j$ , qui vaut $1$ .

Proposition 7.4

Toute matrice de $M_{n, p} (K)$ est combinaison linéaire de matrices élémentaires, de façon unique :

$A = i = 1 \sum n j = 1 \sum p a_{i, j} E_{i, j} .$

Les $E_{i, j}$ jouent pour les matrices le rôle que jouent les chiffres pour les nombres : une « base » de décomposition (le mot prendra son sens précis au second semestre).

7.2.2 Produit matriciel

Définition 7.5Produit matriciel

Soient $A = (a_{i, k}) \in M_{n, p} (K)$ et $B = (b_{k, j}) \in M_{p, q} (K)$ — le nombre de colonnes de $A$ doit égaler le nombre de lignes de $B$ . Le produit $A B \in M_{n, q} (K)$ est défini par :

$(A B)_{i, j} = k = 1 \sum p a_{i, k} b_{k, j} :$

le coefficient $(i, j)$ s'obtient en parcourant la ligne $i$ de $A$ et la colonne $j$ de $B$ .

Exemple 7.6

$(1324) (0110) = (2413)$ mais $(0110) (1324) = (3142)$ : multiplier à droite par la matrice d'échange permute les colonnes, à gauche les lignes — et le produit n'est pas commutatif !

Proposition 7.7Le produit

A X

: combinaison des colonnes

Soit $A \in M_{n, p} (K)$ de colonnes $C_{1}, \dots, C_{p}$ , et $X = x_{1} ⋮ x_{p}$ une matrice colonne. Alors :

$A X = x_{1} C_{1} + x_{2} C_{2} + \dots + x_{p} C_{p} :$

$A X$ est la combinaison linéaire des colonnes de $A$ à coefficients les composantes de $X$ . Ce point de vue « par colonnes » est la clé de la théorie des systèmes linéaires.

◆Théorème 7.8Propriétés du produit

Sous réserve de compatibilité des tailles :

Bilinéarité : $A (λ B + μ C) = λ A B + μ A C$ et $(λ A + μ B) C = λ A C + μ B C$ ;
Associativité : $(A B) C = A (B C)$ .

Démonstration (Démonstration de l'associativité)

Comparons les coefficients, en échangeant deux sommes finies (chapitre 2) :

$((A B) C)_{i, j} = l \sum (A B)_{i, l} c_{l, j} = l \sum k \sum a_{i, k} b_{k, l} c_{l, j} = k \sum a_{i, k} l \sum b_{k, l} c_{l, j} = (A (B C))_{i, j} .$

Définition 7.9Symbole de Kronecker

Pour des indices $i, j$ , le symbole de Kronecker est défini par :

$δ_{i, j} = {10 si i = j, si i \neq = j .$

Ainsi la matrice identité (ci-dessous) s'écrit $I_{n} = (δ_{i, j})$ .

Proposition 7.10Produit de matrices élémentaires

Pour $E_{i, j} \in M_{n, p} (K)$ et $E_{k, l} \in M_{p, q} (K)$ :

$E_{i, j} E_{k, l} = δ_{j, k} E_{i, l} :$

le produit est nul sauf si les indices « intérieurs » se raccordent ( $j = k$ ), auquel cas il vaut $E_{i, l}$ .

Démonstration

$(E_{i, j} E_{k, l})_{r, s} = \sum_{m} (E_{i, j})_{r, m} (E_{k, l})_{m, s} = \sum_{m} δ_{r, i} δ_{m, j} δ_{m, k} δ_{s, l}$ : la somme vaut $δ_{r, i} δ_{j, k} δ_{s, l}$ , qui est le coefficient $(r, s)$ de $δ_{j, k} E_{i, l}$ .

7.2.3 Transposée

Définition 7.11Transposée

La transposée de $A = (a_{i, j}) \in M_{n, p} (K)$ est la matrice $A^{⊤} \in M_{p, n} (K)$ de coefficients :

$(A^{⊤})_{i, j} = a_{j, i} :$

les lignes de $A$ deviennent les colonnes de $A^{⊤}$ (symétrie par rapport à la diagonale).

Proposition 7.12Opérations sur les transposées

Sous réserve de compatibilité :

$(λ A + μ B)^{⊤} = λ A^{⊤} + μ B^{⊤}, (A^{⊤})^{⊤} = A, (A B)^{⊤} = B^{⊤} A^{⊤} :$

la transposée d'un produit est le produit des transposées dans l'ordre inverse (on retrouvera le même renversement pour l'inverse d'un produit de matrices).

Démonstration (Démonstration de la formule du produit)

$((A B)^{⊤})_{i, j} = (A B)_{j, i} = k \sum a_{j, k} b_{k, i} = k \sum (B^{⊤})_{i, k} (A^{⊤})_{k, j} = (B^{⊤} A^{⊤})_{i, j} .$

7.3 Opérations élémentaires et produit matriciel

Définition 7.13Opérations élémentaires (rappel du chapitre 2)

Les opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice sont : l'échange $L_{i} \leftrightarrow L_{j}$ , la dilatation $L_{i} \leftarrow λ L_{i}$ ( $λ \neq = 0$ ), et la transvection $L_{i} \leftarrow L_{i} + λ L_{j}$ ( $i \neq = j$ ). Opérations analogues sur les colonnes.

◆Théorème 7.14Interprétation matricielle

Effectuer une opération élémentaire sur les lignes de $A$ revient à multiplier $A$ à gauche par une matrice carrée inversible ; sur les colonnes, à multiplier à droite. Précisément, l'opération sur les lignes s'obtient en multipliant à gauche par la matrice obtenue en effectuant la même opération sur $I_{n}$ :

$L_{i} \leftrightarrow L_{j} : P_{i, j} = I_{n} - E_{i, i} - E_{j, j} + E_{i, j} + E_{j, i}, L_{i} \leftarrow λ L_{i} : D_{i} (λ) = I_{n} + (λ - 1) E_{i, i},$

$L_{i} \leftarrow L_{i} + λ L_{j} : T_{i, j} (λ) = I_{n} + λ E_{i, j} .$

Ces trois matrices sont inversibles : $P_{i, j}^{- 1} = P_{i, j}$ , $D_{i} (λ)^{- 1} = D_{i} (\frac{1}{λ})$ , $T_{i, j} (λ)^{- 1} = T_{i, j} (- λ)$ — chaque opération élémentaire se défait par une opération élémentaire.

Exemple 7.15

Pour $n = 2$ : $T_{1, 2} (λ) = (10 λ 1)$ , et

$(10 λ 1) (a c b d) = (a + λ c c b + λ d d) :$

c'est bien $L_{1} \leftarrow L_{1} + λ L_{2}$ .

7.4 Systèmes linéaires

7.4.1 Écriture matricielle

Définition 7.16Écriture

A X = B

Le système linéaire de $n$ équations à $p$ inconnues

$⎩ ⎨ ⎧ a_{1, 1} x_{1} + \dots + a_{1, p} x_{p} = b_{1} ⋮ a_{n, 1} x_{1} + \dots + a_{n, p} x_{p} = b_{n}$

s'écrit matriciellement $A X = B$ , avec $A \in M_{n, p} (K)$ (la matrice des coefficients), $X \in M_{p, 1} (K)$ (la colonne des inconnues) et $B \in M_{n, 1} (K)$ (le second membre). Le système homogène associé est $A X = 0$ . Le système est compatible s'il admet au moins une solution.

◆Théorème 7.17Compatibilité

Le système $A X = B$ est compatible si et seulement si $B$ est combinaison linéaire des colonnes de $A$ .

Démonstration

C'est une simple relecture : $A X = x_{1} C_{1} + \dots + x_{p} C_{p}$ , donc une solution $X$ existe si et seulement si $B$ s'écrit comme combinaison des colonnes.

◆Théorème 7.18Structure de l'ensemble des solutions

Soit $A X = B$ un système compatible, et $X_{0}$ une solution particulière. Les solutions sont exactement les

$X = X_{0} + Y, Y parcourant les solutions du syst e ˋ me homog e ˋ ne A Y = 0.$

Démonstration

$A X = B ⟺ A (X - X_{0}) = A X - A X_{0} = B - B = 0 ⟺ X - X_{0}$ est solution du système homogène.

iRemarque

C'est la troisième apparition de la structure « solution générale $=$ particulière $+$ homogène » : équations différentielles linéaires (chapitre 4), suites arithmético-géométriques (chapitre 5), systèmes linéaires. Le second semestre dévoilera le concept unificateur : la linéarité.

7.4.2 L'algorithme du pivot, revisité

ImportantPivot de Gauss en termes matriciels

L'algorithme du pivot du chapitre 2 se relit ainsi : on multiplie $A$ et $B$ à gauche par une suite de matrices d'opérations élémentaires, ce qui remplace le système par un système équivalent (les matrices d'opérations sont inversibles), jusqu'à obtenir un système échelonné que l'on résout en remontant. En pratique, on travaille sur la matrice augmentée $(A ∣ B)$ .

Exemple 7.19Résolution complète

Résolvons $A X = B$ avec $A = 112123145$ et $B = 112$ :

$112123145112 L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1} L_{3} \leftarrow L_{3} - 2 L_{1} 100111133100 L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2} 100110130100 .$

Le système est compatible (pas de ligne $0 = c \neq = 0$ ), avec l'inconnue $z$ libre : $y = - 3 z$ , puis $x = 1 - y - z = 1 + 2 z$ . L'ensemble des solutions est

$⎩ ⎨ ⎧ 100 + z 2 - 3 1 : z \in K ⎭ ⎬ ⎫ :$

une solution particulière, plus la droite des solutions du système homogène — la structure annoncée.

7.5 L'ensemble des matrices carrées

7.5.1 Règles de calcul dans $M_{n} (K)$

Définition 7.20Matrice identité, matrices scalaires

La matrice identité $I_{n} = (δ_{i, j}) \in M_{n} (K)$ a des $1$ sur la diagonale et des $0$ ailleurs ; elle vérifie $A I_{n} = I_{n} A = A$ pour toute $A \in M_{n} (K)$ . Les matrices scalaires sont les $λ I_{n}$ , $λ \in K$ .

◆Théorème 7.21Calcul dans

M_{n} (K)

Dans $M_{n} (K)$ , l'addition et le produit vérifient les règles usuelles du calcul (associativité, distributivité, neutres $0_{n}$ et $I_{n}$ ). Pour $n \geq 2$ , ce calcul est :

non commutatif : $E_{1, 2} E_{2, 1} = E_{1, 1} \neq = E_{2, 2} = E_{2, 1} E_{1, 2}$ ;
avec diviseurs de zéro : par exemple $E_{1, 1} E_{2, 2} = 0$ avec $E_{1, 1}, E_{2, 2} \neq = 0$ , et même des éléments nilpotents non nuls : $E_{1, 2}^{2} = 0$ .

Attention

Conséquences pratiques, à graver : $A B = 0$ n'implique pas $A = 0$ ou $B = 0$ ; $A B = A C$ n'implique pas $B = C$ ; et une équation comme $M^{2} = 0$ a une infinité de solutions non nulles. L'ensemble $M_{n} (K)$ est le laboratoire de tous ces contre-exemples.

Définition 7.22Matrices symétriques et antisymétriques

Une matrice $A \in M_{n} (K)$ est symétrique si $A^{⊤} = A$ , antisymétrique si $A^{⊤} = - A$ (sa diagonale est alors nulle). On note $S_{n} (K)$ et $A_{n} (K)$ ces deux ensembles — stables par combinaisons linéaires, mais pas par produit !

◆Théorème 7.23Formule du binôme

Si $A, B \in M_{n} (K)$ commutent ( $A B = B A$ ), alors pour tout $m \in N$ :

$(A + B)^{m} = k = 0 \sum m (k m) A^{k} B^{m - k},$

et de même $A^{m} - B^{m} = (A - B) \sum_{k = 0}^{m - 1} A^{k} B^{m - 1 - k}$ . (L'hypothèse $A B = B A$ est indispensable.)

ImportantMéthode : puissances de

A = λ I_{n} + N

avec

N

nilpotent

Comme $λ I_{n}$ commute avec tout, le binôme s'applique :

$A^{m} = k = 0 \sum m (k m) λ^{m - k} N^{k},$

et la somme s'arrête dès que $N^{k} = 0$ : si $N^{r} = 0$ , seuls les termes $k < r$ subsistent. C'est l'outil de calcul de puissances le plus utilisé du chapitre (voir exercice résolu 4).

Proposition 7.24Produits de matrices diagonales et triangulaires

Le produit de deux matrices diagonales est diagonal : $diag (λ_{1}, \dots, λ_{n}) diag (μ_{1}, \dots, μ_{n}) = diag (λ_{1} μ_{1}, \dots, λ_{n} μ_{n})$ ; en particulier $diag (λ_{i})^{m} = diag (λ_{i}^{m})$ .
Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieur, et sa diagonale est le produit des diagonales ( $a_{i, i} b_{i, i}$ ). Énoncé analogue pour les triangulaires inférieures.

7.5.2 Matrices inversibles, groupe linéaire

Définition 7.25Matrice inversible, groupe linéaire

$A \in M_{n} (K)$ est inversible s'il existe $B \in M_{n} (K)$ telle que $A B = B A = I_{n}$ ; $B$ est alors unique, notée $A^{- 1}$ . L'ensemble des matrices inversibles est un groupe pour le produit — on vérifie les propriétés lui conférant cette structure (associativité, neutre $I_{n}$ , inverses), la théorie générale des groupes étant hors programme : c'est le groupe linéaire, noté $GL_{n} (K)$ .

Proposition 7.26Règles d'inversion

Si $A, B \in GL_{n} (K)$ et $λ \in K^{*}$ :

$(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}, (A^{- 1})^{- 1} = A, (λ A)^{- 1} = \frac{1}{λ} A^{- 1}, (A^{⊤})^{- 1} = (A^{- 1})^{⊤} .$

Démonstration (Démonstration pour la transposée)

En transposant $A A^{- 1} = I_{n}$ : $(A^{- 1})^{⊤} A^{⊤} = I_{n}^{⊤} = I_{n}$ , et de même de l'autre côté — donc $A^{⊤}$ est inversible, d'inverse $(A^{- 1})^{⊤}$ .

Exemple 7.27Le cas

2 \times 2

$A = (a c b d)$ est inversible si et seulement si $a d - b c \neq = 0$ , et alors :

$A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a) .$

(Vérification directe : $A (d - c - b a) = (a d - b c) I_{2}$ . Si $a d - b c = 0$ , les colonnes de $A$ sont proportionnelles et $A X = (0 1)$ , par exemple, ne peut être compatible pour toute valeur — $A$ n'est pas inversible.) Le nombre $a d - b c$ est le déterminant, dont la théorie générale viendra plus tard.

◆Théorème 7.28Inversibilité et systèmes

Soit $A \in M_{n} (K)$ . Les opérations élémentaires préservent l'inversibilité (multiplier par des matrices inversibles ne la change pas), et :

$A \in GL_{n} (K) ⟺ le syst e ˋ me A X = Y a une unique solution pour tout Y (alors X = A^{- 1} Y) .$

ImportantMéthodes de calcul de l'inverse

Par le système : on résout $A X = Y$ d'inconnue $X$ , à second membre $Y$ générique ; si la solution s'écrit $X = B Y$ , alors $A^{- 1} = B$ .
Par opérations élémentaires (Gauss-Jordan) : on juxtapose $(A ∣ I_{n})$ et l'on applique des opérations sur les lignes jusqu'à transformer $A$ en $I_{n}$ ; le bloc de droite devient alors $A^{- 1}$ : $(A ∣ I_{n}) \to (I_{n} ∣ A^{- 1})$ . En effet, les opérations cumulées reviennent à multiplier à gauche par $A^{- 1}$ .

Toute technicité est exclue : sur des matrices $2 \times 2$ ou $3 \times 3$ , les deux méthodes aboutissent en quelques lignes (exercice résolu 5).

◆Théorème 7.29Matrices triangulaires inversibles

Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls. Dans ce cas, son inverse est triangulaire de même type (supérieure ou inférieure), de diagonale $(\frac{1}{a _{1, 1}}, \dots, \frac{1}{a _{n, n}})$ .

Démonstration (Idée de la démonstration)

Pour une triangulaire supérieure à diagonale non nulle, le système $A X = Y$ se résout en remontant : la dernière équation donne $x_{n} = y_{n} / a_{n, n}$ , puis chaque équation donne $x_{i}$ en fonction de $y_{i}, x_{i + 1}, \dots, x_{n}$ : solution unique, qui dépend de $y_{i}, \dots, y_{n}$ seulement — d'où l'inversibilité et la forme triangulaire de l'inverse. Si un coefficient diagonal $a_{i, i}$ est nul, on peut construire une solution non nulle du système homogène (en partant de l'indice $i$ ), ce qui interdit l'inversibilité.

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Calcul matriciel et systèmes linéaires

<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>7.1 Introduction et motivation

7.2 Opérations sur les matrices

7.2.1 L'espace des matrices

7.2.2 Produit matriciel

7.2.3 Transposée

7.3 Opérations élémentaires et produit matriciel

7.4 Systèmes linéaires

7.4.1 Écriture matricielle

7.4.2 L'algorithme du pivot, revisité

7.5 L'ensemble des matrices carrées

7.5.1 Règles de calcul dans Mn​(K)

7.5.2 Matrices inversibles, groupe linéaire

7.5.1 Règles de calcul dans $M_{n} (K)$