Exercices corrigés — Calcul matriciel et systèmes linéaires (mathématiques (PTSI))

24 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

A. Opérations sur les matrices

• Colonne fois ligne, et la projection sur une droite Exercice de TD
• Optique matricielle : l'ordre des facteurs est l'ordre de traversée Exercice de TD
• Symétrique plus antisymétrique, et le champ des vitesses d'un solide Exercice de TD
• Produits et non-commutativité Application directe du cours
• Transposée et symétrie Application directe du cours

B. Calculs de puissances

• La matrice de uns Exercice classique
• Les matrices de rotation Exercice classique
• Puissances par le binôme Application directe du cours
• La matrice de Fibonacci Application directe du cours

C. Systèmes linéaires

• Un inverse d'un seul côté suffit Exercice de TD
• Équilibrer une réaction, c'est résoudre un système homogène Exercice de TD
• La parabole par trois points Exercice classique
• Compatibilité et colonnes Application directe du cours
• Système avec discussion Application directe du cours
• Un système à paramètre Application directe du cours

D. Calcul dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ et inversibles

• Le centre : tester sur les matrices élémentaires Exercice de TD
• Les nombres complexes sont des matrices, et les rotations composent les angles Exercice de TD
• Un polynôme annulateur donne l'inverse et les puissances Exercice de TD
• Triangulaires : la nilpotence par décalage, et l'inverse en somme géométrique Exercice de TD
• Calcul d'inverse par Gauss-Jordan Application directe du cours
• Diviseurs de zéro et nilpotence Application directe du cours

E. Problèmes et applications

• Problème : la factorisation $LU$, ou le pivot de Gauss comme produit de matrices Exercice de TD
• Compter les chemins d'un graphe Application directe du cours
• Le modèle météo Application directe du cours

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