Limites, continuité, dérivabilité

Cours · mathématiques (PTSI), chapitre 6 · CPGE PTSI (1re année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Théorème des valeurs intermédiaires : une fonction continue sur [a, b] atteint la valeur k en un point c.

6.1 Introduction et motivation

Ce chapitre démontre les théorèmes de base relatifs aux fonctions réelles d'une variable réelle — ceux-là mêmes qui avaient été admis au chapitre 4 pour les besoins du calcul. Dans de nombreuses questions de nature qualitative, on visualise une fonction par son graphe : cet aspect géométrique sera souligné par de nombreuses figures.

Dans tout le chapitre, $I$ désigne un intervalle de $R$ non vide et non réduit à un point, et les fonctions sont à valeurs réelles (sauf dans les brèves sections consacrées aux fonctions complexes).

Définition 6.1Propriété vraie au voisinage d'un point

Soit $a$ fini ou infini — on écrira $a \in R$ , simple abréviation pour « $a \in R$ ou $a = \pm \infty$ ». On dit qu'une propriété portant sur $f : I \to R$ est vraie au voisinage de $a$ si elle est vraie sur l'intersection de $I$ avec : un intervalle ouvert centré en $a$ si $a \in R$ ; un intervalle $] A, + \infty [$ si $a = + \infty$ ; un intervalle $] - \infty, A [$ si $a = - \infty$ .

L'étude des suites récurrentes $u_{n + 1} = f (u_{n})$ sera l'occasion d'introduire la vitesse de convergence (lente, géométrique, quadratique) et la méthode de Newton ; celle de la dérivabilité, de présenter la discrétisation à travers la méthode d'Euler.

6.2 Limite d'une fonction en un point

6.2.1 Définitions

Définition 6.2Limite finie ou infinie en un point

Soient $a \in R$ un point de $I$ ou une extrémité de $I$ , et $ℓ \in R$ . On dit que $f$ admet $ℓ$ pour limite en $a$ , et on note $f (x) x \to a ℓ$ ou $lim_{x \to a} f (x) = ℓ$ , si :

cas $a \in R$ : $\forall ε > 0, \exists η > 0, \forall x \in I, ∣ x - a ∣ \leq η ⟹ ∣ f (x) - ℓ ∣ \leq ε$ ;
cas $a = + \infty$ : $\forall ε > 0, \exists A \in R, \forall x \in I, x \geq A ⟹ ∣ f (x) - ℓ ∣ \leq ε$ .

Les limites infinies se définissent de même : $f (x) \to + \infty$ en $a \in R$ signifie $\forall B, \exists η > 0, \forall x \in I, ∣ x - a ∣ \leq η \Rightarrow f (x) \geq B$ . (Toutes les définitions sont énoncées avec des inégalités larges, comme pour les suites.)

Proposition 6.3Premières propriétés

Unicité : si $f$ admet une limite en $a$ , celle-ci est unique.
Si $f$ est définie en $a$ et possède une limite en $a$ , alors $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ (en effet, $x = a$ est autorisé dans la définition, donc $∣ f (a) - ℓ ∣ \leq ε$ pour tout $ε$ ).
Si $f$ possède une limite finie en $a$ , alors $f$ est bornée au voisinage de $a$ .

Définition 6.4Limites à droite et à gauche

La limite à droite de $f$ en $a$ est, lorsqu'elle existe, la limite en $a$ de la restriction de $f$ à $I \cap] a, + \infty [$ ; on la note $x \to a x > a lim f (x)$ ou $x \to a^{+} lim f (x)$ . Définition analogue à gauche.

Exemple 6.5

La fonction partie entière vérifie $x \to 1^{-} lim ⌊ x ⌋ = 0$ et $x \to 1^{+} lim ⌊ x ⌋ = 1$ : pas de limite en $1$ , mais des limites à gauche et à droite distinctes (le graphe « saute »).

6.2.2 Image d'une suite

Proposition 6.6Image d'une suite par une fonction admettant une limite

Si $f$ admet $ℓ \in R$ pour limite en $a$ , alors pour toute suite $(x_{n})$ d'éléments de $I$ telle que $x_{n} \to a$ , on a $f (x_{n}) \to ℓ$ .

Démonstration (Démonstration (cas

a

ℓ

réels))

Soit $ε > 0$ et $η$ associé par la définition de la limite. Comme $x_{n} \to a$ , on a $∣ x_{n} - a ∣ \leq η$ à partir d'un rang $N$ , donc $∣ f (x_{n}) - ℓ ∣ \leq ε$ pour $n \geq N$ .

Important

Usage principal, par contraposée : prouver qu'une limite n'existe pas en exhibant deux suites $x_{n} \to a$ et $y_{n} \to a$ avec $f (x_{n})$ et $f (y_{n})$ de limites différentes — si $f$ admettait une limite $ℓ$ en $a$ , les deux suites images tendraient vers ce même $ℓ$ . Ainsi $x \mapsto sin \frac{1}{x}$ n'a pas de limite en $0$ : prendre $x_{n} = \frac{1}{2 nπ + π /2}$ (valeurs $1$ ) et $y_{n} = \frac{1}{2 nπ}$ (valeurs $0$ ).

6.2.3 Opérations et comparaison

◆Théorème 6.7Opérations sur les limites

Les théorèmes vus pour les suites se transposent aux fonctions (démonstrations analogues, résultats admis) : combinaison linéaire, produit, quotient (avec les mêmes formes indéterminées), et de plus la composition : si $f (x) x \to a b$ et $g (y) y \to b ℓ$ , alors $g (f (x)) x \to a ℓ$ .

◆Théorème 6.8Limites et inégalités

Passage à la limite : si $f \leq g$ au voisinage de $a$ et si les deux limites existent, $lim_{a} f \leq lim_{a} g$ .
Encadrement : si $g \leq f \leq h$ au voisinage de $a$ et $g, h \to ℓ$ (finie), alors $f \to ℓ$ .
Minoration (resp. majoration) : si $f \geq g$ au voisinage de $a$ et $g \to + \infty$ , alors $f \to + \infty$ (resp. $f \leq h \to - \infty \Rightarrow f \to - \infty$ ).

◆Théorème 6.9Théorème de la limite monotone

Soit $f$ croissante sur $] a, b [$ (avec $a, b \in R$ ). Alors $f$ admet en $b$ une limite à gauche, finie si $f$ est majorée (et égale à $sup f$ ), égale à $+ \infty$ sinon ; et de même en $a$ à droite. En particulier, une fonction monotone admet en tout point intérieur une limite à gauche et une limite à droite finies. (Démonstration non exigible.)

6.3 Continuité en un point

Définition 6.10Continuité en un point

Soit $a \in I$ . La fonction $f$ est continue en $a$ si $f (x) x \to a f (a)$ , c'est-à-dire :

$\forall ε > 0, \exists η > 0, \forall x \in I, ∣ x - a ∣ \leq η ⟹ ∣ f (x) - f (a) ∣ \leq ε .$

On définit de même la continuité à gauche et à droite ; $f$ est continue en $a$ si et seulement si elle l'est à gauche et à droite.

Définition 6.11Prolongement par continuité

Si $a$ est une extrémité de $I$ n'appartenant pas à $I$ et si $f$ admet une limite finie $ℓ$ en $a$ , la fonction $f ~$ définie sur $I \cup {a}$ par $f ~ = f$ sur $I$ et $f ~ (a) = ℓ$ est continue en $a$ : c'est le prolongement par continuité de $f$ en $a$ .

Exemple 6.12

$f (x) = x ln x$ se prolonge par continuité en $0$ par $f ~ (0) = 0$ (croissances comparées). De même $x \mapsto \frac{sin x}{x}$ se prolonge en $0$ par la valeur $1$ : en effet $\frac{s i n x - s i n 0}{x - 0}$ est un taux d'accroissement, de limite $sin^{'} (0) = cos 0 = 1$ .

iRemarque

La continuité en $a$ étant définie par $f (x) x \to a f (a)$ , la proposition « image d'une suite » s'applique : si $f$ est continue en $a$ , alors pour toute suite $(x_{n})$ d'éléments de $I$ convergeant vers $a$ , la suite $(f (x_{n}))$ converge vers $f (a)$ . C'est exactement ce qui justifie le théorème « limite et point fixe » du chapitre précédent : si $u_{n + 1} = f (u_{n})$ et $u_{n} \to ℓ$ avec $f$ continue en $ℓ$ , alors $f (u_{n}) \to f (ℓ)$ , d'où $ℓ = f (ℓ)$ — ce sens direct suffit.

Proposition 6.13Opérations

Combinaisons linéaires, produits, quotients (dénominateur non nul) et composées de fonctions continues en un point sont continus en ce point. Toutes les fonctions usuelles (polynômes, fractions rationnelles, $exp$ , $ln$ , puissances, fonctions trigonométriques et hyperboliques et leurs réciproques) sont continues sur leur domaine.

6.4 Continuité sur un intervalle

6.4.1 Théorème des valeurs intermédiaires

Définition 6.14

$f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$ .

◆Théorème 6.15Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ , et $a, b \in I$ . Alors $f$ prend toute valeur comprise entre $f (a)$ et $f (b)$ : pour tout $y$ entre $f (a)$ et $f (b)$ , il existe $c$ entre $a$ et $b$ tel que $f (c) = y$ .

Exercices du chapitre

Fonctions monotones : des sauts, et rien d'autre corrigé
Le théorème des cordes corrigé
Le principe de Fermat et la loi de Snell-Descartes corrigé
Le théorème de Darboux : une dérivée ne saute jamais corrigé
Le théorème de Rolle compte les zéros corrigé
Une vitesse limite impose une pente asymptotique corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre