Limites, continuité, dérivabilité

• Unicité : si $f$ admet une limite en $a$, celle-ci est unique.
• Si $f$ est définie en $a$ et possède une limite en $a$, alors ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$ (en effet, $x=a$ est autorisé dans la définition, donc $|f(a)-\ell |\le \epsilon$ pour tout $\epsilon$).
• Si $f$ possède une limite finie en $a$, alors $f$ est bornée au voisinage de $a$.

La fonction partie entière vérifie $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\lfloor x\rfloor =0$ et $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\lfloor x\rfloor =1$ : pas de limite en $1$, mais des limites à gauche et à droite distinctes (le graphe « saute »).

Si $f$ admet $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$ pour limite en $a$, alors pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $I$ telle que $x_n\to a$, on a $f(x_n)\to \ell$.

Les théorèmes vus pour les suites se transposent aux fonctions (démonstrations analogues, résultats admis) : combinaison linéaire, produit, quotient (avec les mêmes formes indéterminées), et de plus la composition : si $f(x)\underset{x\to a}{\to }b$ et $g(y)\underset{y\to b}{\to }\ell$, alors $g(f(x))\underset{x\to a}{\to }\ell$.

• Passage à la limite : si $f\le g$ au voisinage de $a$ et si les deux limites existent, ${\lim }_{a}f\le {\lim }_{a}g$.
• Encadrement : si $g\le f\le h$ au voisinage de $a$ et $g,h\to \ell$ (finie), alors $f\to \ell$.
• Minoration (resp. majoration) : si $f\ge g$ au voisinage de $a$ et $g\to +\infty$, alors $f\to +\infty$ (resp. $f\le h\to -\infty \Rightarrow f\to -\infty$).

Soit $f$ croissante sur $]a,b[$ (avec $a,b\in \overline{\mathbb{R}}$). Alors $f$ admet en $b$ une limite à gauche, finie si $f$ est majorée (et égale à $\sup f$), égale à $+\infty$ sinon ; et de même en $a$ à droite. En particulier, une fonction monotone admet en tout point intérieur une limite à gauche et une limite à droite finies. (Démonstration non exigible.)

$f(x)=x\ln x$ se prolonge par continuité en $0$ par $\tilde{f}(0)=0$ (croissances comparées). De même $x\mapsto \frac{\sin x}{x}$ se prolonge en $0$ par la valeur $1$ : en effet $\frac{\sin x-\sin 0}{x-0}$ est un taux d'accroissement, de limite ${\sin }^{\prime }(0)=\cos 0=1$.

La continuité en $a$ étant définie par $f(x)\underset{x\to a}{\to }f(a)$, la proposition « image d'une suite » s'applique : si $f$ est continue en $a$, alors pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $I$ convergeant vers $a$, la suite $(f(x_n))$ converge vers $f(a)$. C'est exactement ce qui justifie le théorème « limite et point fixe » du chapitre précédent : si $u_{n+1}=f(u_n)$ et $u_n\to \ell$ avec $f$ continue en $\ell$, alors $f(u_n)\to f(\ell )$, d'où $\ell =f(\ell )$ — ce sens direct suffit.

Combinaisons linéaires, produits, quotients (dénominateur non nul) et composées de fonctions continues en un point sont continus en ce point. Toutes les fonctions usuelles (polynômes, fractions rationnelles, $\exp$, $\ln$, puissances, fonctions trigonométriques et hyperboliques et leurs réciproques) sont continues sur leur domaine.

Soit $f$ continue sur un intervalle $I$, et $a,b\in I$. Alors $f$ prend toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ : pour tout $y$ entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c$ entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=y$.

La figure montre que le « $c$ » du TVI n'a aucune raison d'être unique : une fonction continue peut traverser plusieurs fois le niveau $y$. La dichotomie de la démonstration est aussi un algorithme : elle divise l'incertitude par $2$ à chaque étape — environ $3,3$ étapes par décimale gagnée (convergence géométrique de raison $\frac{1}{2}$).

L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Si de plus $f$ est strictement monotone et continue sur $I$ d'extrémités $a$ et $b$, alors $f(I)$ est l'intervalle d'extrémités ${\lim }_{a}f$ et ${\lim }_{b}f$, de même nature (ouvert/fermé) que $I$.

Tout polynôme réel de degré impair admet au moins une racine réelle : ses limites en $\pm \infty$ sont $-\infty$ et $+\infty$ (ou l'inverse), donc il prend des valeurs des deux signes, et le TVI conclut.

Toute fonction continue sur un segment $[a,b]$ est bornée et atteint ses bornes : il existe $c,d\in [a,b]$ tels que $f(c)=\underset{[a,b]}{\inf }f$ et $f(d)={\sup }_{[a,b]}f$. En conséquence, l'image d'un segment par une fonction continue est un segment : $f([a,b])=\left[\min f,\max f\right]$.

La démonstration de ce théorème est hors programme : elle repose sur des outils d'extraction de sous-suites qui ne figurent pas au programme de PTSI. On l'admet, et on retient surtout son mode d'emploi : continue sur un segment $\Rightarrow$ min et max existent — c'est l'argument d'existence par excellence en optimisation.

Soit $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $J=f(I)$, et sa réciproque $f^{-1}:J\to I$ est continue sur $J$ et strictement monotone, de même sens de variation que $f$. (Démonstration non exigible.)

C'est ce théorème qui fonde rigoureusement les constructions du chapitre 4 : $\ln$ (réciproque de $\exp$), $\mathrm{Arcsin}$, $\mathrm{Arccos}$, $\mathrm{Arctan}$, et les racines $n$-ièmes $x\mapsto x^{1/n}$.

Pour $f:I\to \mathbb{C}$, les définitions de limite et de continuité s'étendent en remplaçant la valeur absolue par le module, et :

$$f\text{ admet pour limite }\ell \text{ en }a⟺\mathrm{Re}f\to \mathrm{Re}\ell \text{ et }\mathrm{Im}f\to \mathrm{Im}\ell \text{en }a.$$

Les opérations (combinaison linéaire, produit, quotient) restent valables ; les énoncés liés à l'ordre (TVI, limite monotone, bornes atteintes au sens de l'ordre) n'ont pas d'analogue.

$f$ est dérivable en $a$ si et seulement s'il existe un réel $\alpha$ et une fonction $\epsilon$ de limite nulle en $0$ tels que, pour tout $h$ tel que $a+h\in I$ :

$$f(a+h)=f(a)+\alpha h+h\epsilon (h).$$

Dans ce cas $\alpha =f^{\prime }(a)$. Autrement dit : au voisinage de $a$, $f$ est approchée par sa fonction affine tangente, avec une erreur négligeable devant $h$.

Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$. La réciproque est fausse : $x\mapsto |x|$ est continue en $0$, dérivable à gauche (de dérivée $-1$) et à droite (de dérivée $+1$), mais pas dérivable en $0$.

Géométrique : $f^{\prime }(a)$ est la pente de la tangente au graphe au point $(a,f(a))$, position limite des sécantes ; équation : $y=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$. Cinématique : si $f(t)$ est la position d'un mobile à l'instant $t$, le taux d'accroissement est la vitesse moyenne entre $a$ et $x$, et $f^{\prime }(a)$ est la vitesse instantanée en $a$.

Si $u,v$ sont dérivables en $a$ (resp. sur $I$) :

$$(\lambda u+\mu v{)}^{\prime }=\lambda u^{\prime }+\mu v^{\prime },(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime },{\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}(v(a)\ne 0),$$

et si $g$ est dérivable en $u(a)$ : $(g\circ u{)}^{\prime }(a)=u^{\prime }(a)g^{\prime }(u(a))$. Enfin, si $f$ est bijective, dérivable en $a$ avec $f^{\prime }(a)\ne 0$, et si $f^{-1}$ est continue, alors $f^{-1}$ est dérivable en $b=f(a)$ et :

$${\left(f^{-1}\right)}^{\prime }(b)=\frac{1}{f^{\prime }(a)}=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(b))}.$$

Tangente au graphe d'une réciproque : le graphe de $f^{-1}$ étant le symétrique de celui de $f$ par rapport à la première bissectrice, la tangente en $(b,a)$ au graphe de $f^{-1}$ est la symétrique de la tangente en $(a,b)$ au graphe de $f$ — d'où la pente $\frac{1}{f^{\prime }(a)}$, et une tangente verticale lorsque $f^{\prime }(a)=0$ (par exemple $x\mapsto x^{1/3}$ en $0$, réciproque de $x\mapsto x^3$).

Si $f$ est dérivable en $a$, si $a$ est un point intérieur à $I$, et si $f$ admet un extremum local en $a$, alors :

$$f^{\prime }(a)=0.$$

Soit $f$ continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$, telle que $f(a)=f(b)$. Alors il existe $c\in ]a,b[$ tel que :

$$f^{\prime }(c)=0.$$

Soit $f$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$. Il existe $c\in ]a,b[$ tel que :

$$f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a).$$

Géométrique : il existe un point du graphe où la tangente est parallèle à la corde joignant les extrémités. Cinématique : sur un trajet, il existe un instant où la vitesse instantanée égale la vitesse moyenne — c'est le principe des radars « tronçon ».

Si $f$ est dérivable sur $I$ et si $|f^{\prime }|\le K$ sur $I$, alors :

$$\forall x,y\in I,|f(y)-f(x)|\le K|y-x|.$$

L'IAF transforme une information locale (une borne sur la dérivée) en un contrôle global des écarts : c'est l'outil de prédilection pour majorer une erreur ou comparer deux valeurs d'une fonction.

$|\sin x-\sin y|\le |x-y|$ pour tous réels $x,y$ (car $|\cos |\le 1$). De même $|\mathrm{Arctan}x-\mathrm{Arctan}y|\le |x-y|$ (car $|{\mathrm{Arctan}}^{\prime }|=\frac{1}{1+x^2}\le 1$).

Soit $f$ continue sur $I$, dérivable sur l'intérieur de $I$.

• $f$ est constante sur $I$ $⟺$ $f^{\prime }=0$ ;
• $f$ est croissante $⟺$ $f^{\prime }\ge 0$ (décroissante $⟺f^{\prime }\le 0$) ;
• si $f^{\prime }\ge 0$ et si $f^{\prime }$ ne s'annule sur aucun intervalle non trivial (par exemple : zéros isolés), alors $f$ est strictement croissante.

Soit $f$ continue sur $I$, dérivable sur $I\setminus \{a\}$, telle que $f^{\prime }(x)\underset{x\to a,x\ne a}{\to }\ell \in \mathbb{R}$. Alors $f$ est dérivable en $a$, avec $f^{\prime }(a)=\ell$, et $f^{\prime }$ est continue en $a$. Extension : si $\ell =\pm \infty$, alors $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\to \pm \infty$ (tangente verticale, $f$ non dérivable en $a$).

Soit $f(x)=x^2\ln x$ pour $x>0$, prolongée par $f(0)=0$. Elle est continue en $0$ ($x^2\ln x\to 0$), dérivable sur $]0,+\infty [$ avec $f^{\prime }(x)=2x\ln x+x\to 0$ : par le théorème, $f$ est dérivable en $0$, $f^{\prime }(0)=0$, et $f^{\prime }$ est continue en $0$ — le prolongement est de classe ${\mathcal{C}}^1$.

Combinaisons linéaires, produits, quotients (dénominateur ne s'annulant pas), composées et réciproques (lorsque $f^{\prime }$ ne s'annule pas) de fonctions de classe ${\mathcal{C}}^k$ sont de classe ${\mathcal{C}}^k$ (démonstrations relatives à la composition et à la réciproque non exigibles). Pour le produit, on dispose de la formule de Leibniz :

$$(fg{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(k)}{g}^{(n-k)}.$$

Toutes les fonctions usuelles sont ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur leur domaine. Calcul par Leibniz, presque tous les termes étant nuls :

$${\left(x^2{e}^x\right)}^{(n)}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)x^2{e}^x+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)(2x)e^x+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)(2)e^x=\left(x^2+2nx+n(n-1)\right)e^x.$$

Pour $f:I\to \mathbb{C}$ : $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si $\mathrm{Re}f$ et $\mathrm{Im}f$ le sont, et alors $f^{\prime }=(\mathrm{Re}f{)}^{\prime }+i(\mathrm{Im}f{)}^{\prime }$. Les opérations s'étendent. Attention : Rolle et l'EAF tombent en défaut dans $\mathbb{C}$ (la fonction $t\mapsto e^{it}$ vérifie $f(0)=f(2\pi )$ mais $|f^{\prime }|=1$ ne s'annule jamais). En revanche, l'inégalité des accroissements finis subsiste : si $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ et $|f^{\prime }|\le K$ sur $I$, alors $|f(y)-f(x)|\le K|y-x|$ pour tous $x,y$ de $I$ — l'inégalité résulte d'une majoration d'intégrale, $\left|{\int }_a^b{f}^{\prime }\right|\le {\int }_a^b|f^{\prime }|$, qui sera justifiée dans le chapitre d'intégration.