Nombres réels et suites numériques

Cours · mathématiques (PTSI), chapitre 5 · CPGE PTSI (1re année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une suite qui converge vers ℓ : à partir d'un certain rang, tous ses termes restent dans la bande de largeur 2ε.

5.1 Introduction et motivation

L'objectif de ce chapitre est de donner une base solide à l'étude des suites réelles, notamment les suites définies par une relation de récurrence. Le point d'appui de toute la théorie est une propriété de $R$ invisible au lycée et pourtant fondamentale : la propriété de la borne supérieure. C'est elle qui distingue $R$ de $Q$ , elle qui garantit qu'une suite croissante et majorée converge, elle qui fournira au chapitre suivant le théorème des valeurs intermédiaires.

Dans l'étude des suites, on distinguera nettement deux registres :

les aspects qualitatifs : monotonie, convergence, divergence ;
les aspects quantitatifs : majoration, encadrement, vitesse de convergence ou de divergence.

Savoir qu'une suite converge est une chose ; savoir à quelle vitesse elle approche sa limite en est une autre — c'est cette seconde question qui gouverne l'efficacité des algorithmes numériques.

5.2 Propriété de la borne supérieure

5.2.1 Borne supérieure, borne inférieure

Définition 5.1Borne supérieure, borne inférieure

Soit $X$ une partie non vide de $R$ .

La borne supérieure de $X$ , notée $sup X$ , est le plus petit des majorants de $X$ , lorsqu'il existe.
La borne inférieure de $X$ , notée $in f X$ , est le plus grand des minorants de $X$ , lorsqu'il existe.

Proposition 5.2Caractérisation de la borne supérieure

$M = sup X$ si et seulement si :

$M$ est un majorant : $\forall x \in X, x \leq M$ ;
aucun réel plus petit n'en est un : $\forall ε > 0, \exists x \in X, x > M - ε$ .

Caractérisation analogue pour $in f X$ avec $\forall ε > 0, \exists x \in X, x < m + ε$ .

◆Théorème 5.3Propriété de la borne supérieure (admise)

Toute partie de $R$ non vide et majorée admet une borne supérieure. Toute partie non vide et minorée admet une borne inférieure.

iRemarqueConvention pour les parties non majorées

Conformément au programme, on convient que $sup X = + \infty$ si $X$ est non majorée (et de même $in f X = - \infty$ si $X$ n'est pas minorée). Cette convention permet d'énoncer uniformément certains résultats — ainsi, pour toute partie non vide $X$ de $R$ , l'écriture $sup X$ a toujours un sens, fini ou infini.

Attention

Ne pas confondre borne supérieure et maximum : le maximum est un majorant qui appartient à $X$ . Ainsi $X = [0, 1 [$ admet $sup X = 1$ , mais pas de maximum. Lorsque le maximum existe, il est égal à la borne supérieure. C'est précisément parce que le sup existe toujours (pour une partie non vide majorée) qu'il est l'outil central de l'analyse.

Exemple 5.4

$X = {1 - \frac{1}{n} : n \in N^{*}}$ : $in f X = min X = 0$ et $sup X = 1$ , non atteint. (Pour le voir : $1$ majore $X$ , et pour tout $ε > 0$ , $1 - \frac{1}{n} > 1 - ε$ dès que $n > \frac{1}{ε}$ .)
$X = {x \in Q : x^{2} < 2}$ : $sup X = 2$ . Cette partie de $Q$ , non vide et majorée, n'a pas de borne supérieure dans $Q$ : la propriété de la borne supérieure est bien une spécificité de $R$ .

5.2.2 Caractérisation des intervalles

◆Théorème 5.5Caractérisation des intervalles de

R

Une partie $X$ de $R$ est un intervalle si et seulement si :

$\forall a, b \in X, a \leq b ⟹ [a, b] \subset X,$

c'est-à-dire si $X$ contient tout réel compris entre deux de ses éléments.

Démonstration (Idée de la démonstration)

Le sens direct est immédiat. Réciproquement, si $X$ (non vide, et par exemple bornée) vérifie cette propriété, on pose $m = in f X$ et $M = sup X$ : la propriété entraîne $] m, M [\subset X \subset [m, M]$ , donc $X$ est l'un des quatre intervalles d'extrémités $m$ et $M$ . Les cas non bornés se traitent de même avec $\pm \infty$ .

5.3 Généralités sur les suites réelles

Définition 5.6Suite réelle, modes de définition

Une suite réelle est une application $u : N \to R$ (éventuellement définie à partir d'un rang $n_{0}$ ), notée $(u_{n})_{n \in N}$ . Trois modes de définition usuels :

explicite : $u_{n} = f (n)$ , par exemple $u_{n} = \frac{n}{n + 1}$ ;
par récurrence : $u_{0}$ donné et $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , par exemple $u_{n + 1} = 2 + u_{n}$ ;
implicite : $u_{n}$ est défini comme solution d'une équation dépendant de $n$ , par exemple « $u_{n}$ est l'unique solution de $x^{5} + n x = 1$ ».

Définition 5.7Vocabulaire des suites

Une suite $(u_{n})$ est :

majorée (resp. minorée) s'il existe $M$ tel que $u_{n} \leq M$ pour tout $n$ (resp. $m \leq u_{n}$ ) ; bornée si elle est majorée et minorée ;
croissante si $u_{n + 1} \geq u_{n}$ pour tout $n$ , strictement croissante si $u_{n + 1} > u_{n}$ ; définitions analogues en décroissant ; (strictement) monotone dans les deux cas ;
stationnaire si elle est constante à partir d'un certain rang.

Proposition 5.8

$(u_{n})$ est bornée si et seulement si $(∣ u_{n} ∣)$ est majorée.

ImportantÉtudier la monotonie d'une suite

Deux réflexes : étudier le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ , ou, pour une suite à termes strictement positifs, comparer $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ à $1$ . Pour une suite explicite $u_{n} = f (n)$ , la monotonie de $f$ sur $[0, + \infty [$ suffit (chapitre précédent).

5.4 Limite d'une suite réelle

5.4.1 Définitions

Définition 5.9Limite finie, limite infinie

Soit $(u_{n})$ une suite réelle et $ℓ \in R$ .

$(u_{n})$ converge vers $ℓ$ si :

$\forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N, ∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq ε .$

On note $u_{n} ⟶ ℓ$ ou $lim u_{n} = ℓ$ . Une suite qui converge vers un réel est dite convergente, divergente sinon.

$(u_{n})$ tend vers $+ \infty$ si : $\forall A \in R, \exists N \in N, \forall n \geq N, u_{n} \geq A$ (définition analogue pour $- \infty$ ).

iRemarque

Les définitions sont énoncées avec des inégalités larges ( $∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq ε$ ), conformément au programme : on vérifie facilement qu'elles sont équivalentes aux versions avec inégalités strictes. La clé de la définition : quelle que soit la précision $ε$ exigée, tous les termes de la suite finissent par approcher $ℓ$ à $ε$ près.

◆Théorème 5.10Unicité de la limite

Si $(u_{n})$ admet une limite (finie ou infinie), celle-ci est unique.

Démonstration (Démonstration dans le cas de deux limites finies)

Supposons $u_{n} \to ℓ$ et $u_{n} \to ℓ^{'}$ avec $ℓ \neq = ℓ^{'}$ , et posons $ε = \frac{∣ ℓ - ℓ ^{'} ∣}{3} > 0$ . À partir d'un certain rang, $∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq ε$ et $∣ u_{n} - ℓ^{'} ∣ \leq ε$ , d'où par l'inégalité triangulaire :

$∣ ℓ - ℓ^{'} ∣ \leq ∣ ℓ - u_{n} ∣ + ∣ u_{n} - ℓ^{'} ∣ \leq 2 ε = \frac{2}{3} ∣ ℓ - ℓ^{'} ∣,$

ce qui est absurde puisque $∣ ℓ - ℓ^{'} ∣ > 0$ .

◆Théorème 5.11Toute suite convergente est bornée

Si $(u_{n})$ converge, alors $(u_{n})$ est bornée.

Démonstration

Avec $ε = 1$ : il existe $N$ tel que $∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq 1$ , donc $∣ u_{n} ∣ \leq ∣ ℓ ∣ + 1$ , pour tout $n \geq N$ . Alors $∣ u_{n} ∣ \leq max (∣ u_{0} ∣, \dots, ∣ u_{N - 1} ∣, ∣ ℓ ∣ + 1)$ pour tout $n$ : un maximum d'un nombre fini de réels majore la suite.

Attention

La réciproque est fausse : $u_{n} = (- 1)^{n}$ est bornée mais divergente (on le démontrera proprement avec les suites extraites).

Exercices du chapitre

La borne supérieure d'une somme de parties corrigé
Une suite définie implicitement corrigé
Le théorème de Cesàro corrigé
La moyenne arithmético-géométrique corrigé
Trois suites extraites suffisent corrigé
La méthode d'Euler est-elle stable ? corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre