Exercices corrigés — Analyse asymptotique (mathématiques (PTSI))

24 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

A. Relations de comparaison

• Un équivalent mesure une erreur relative : composer par $\exp$ et par $\ln$ Exercice de TD
• Une différence de logarithmes qui ne s'annule pas Application directe du cours

B. Calculs de développements limités

• $x/(e^x-1)$ : factoriser, inverser, et une parité cachée Exercice de TD
• Le développement de la tangente par son équation différentielle Exercice de TD
• L'embiellage : un DL par rapport à un petit paramètre Exercice de TD
• Développement limité d'un produit Application directe du cours
• Le $D{L}_3$ de la tangente, par quotient Application directe du cours
• Primitivation d'un développement limité Application directe du cours
• Le développement de $\ln (\cos x)$ Application directe du cours

C. Limites

• Prévoir l'ordre : deux infinis qui se compensent Exercice de TD
• Limites par équivalents Application directe du cours
• Une limite qui exige l'ordre 4 Application directe du cours
• Ramener l'infini en zéro Application directe du cours

D. Études locales : tangentes, asymptotes, extremums

• Au fond d'un puits de potentiel : l'approximation harmonique, et quand l'ordre deux se tait Exercice de TD
• Asymptotes : la variable $1/x$, et les deux côtés Exercice de TD
• Étude locale complète Application directe du cours
• Asymptote oblique Exercice classique
• Prolongement, dérivabilité et étude locale Application directe du cours
• Le maximum de $\ln x/x$, et ${\pi }^e<e^{\pi }$ Application directe du cours
• L'asymptote de $x^3/(x^2-1)$ Application directe du cours

E. Suites

• L'erreur de la méthode d'Euler est en $1/n$ Exercice de TD
• Une base qui tend vers 1, un exposant qui tend vers l'infini, et la loi des événements rares Exercice de TD
• Problème : la méthode de Newton converge quadratiquement Exercice de TD
• À quelle vitesse $n\sin (1/n)$ tend vers $1$ Application directe du cours

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