Fonctions de deux variables

On munit ${\mathbb{R}}^2$ de la norme euclidienne canonique $\Vert (x,y)\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$ (chapitre 9, géométrie du plan). La boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r>0$ est $B(a,r)=\{m\in {\mathbb{R}}^2:\Vert m-a\Vert <r\}$ (un disque sans son bord). Une partie $U\subset {\mathbb{R}}^2$ est un ouvert si chacun de ses points est le centre d'une boule incluse dans $U$ : aucun point n'est « au bord » — on peut bouger dans toutes les directions en restant dans $U$.

Une fonction $f:U\to \mathbb{R}$ ($U$ ouvert) est continue en $a\in U$ si $f(m)\to f(a)$ quand $\Vert m-a\Vert \to 0$. (La notion est introduite uniquement en vue du calcul différentiel : son étude n'est pas un objectif du programme.) La représentation graphique de $f$ est la surface d'équation $z=f(x,y)$ de ${\mathbb{R}}^3$ — le relief dont $f$ est la carte d'altitudes ; les lignes de niveau $\{f(x,y)=c\}$ en sont les courbes d'altitude constante, comme sur une carte topographique.

Les dérivées partielles de $f$ en $(x_0,y_0)$ sont les dérivées des fonctions partielles, obtenues en figeant une variable :

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h},\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0)}{k}.$$

En pratique : pour calculer $\frac{\partial f}{\partial x}$, on dérive par rapport à $x$ en traitant $y$ comme une constante — tout le savoir-faire du chapitre 4 s'applique tel quel.