Fonctions de deux variables

Cours complet · mathématiques (PTSI), chapitre 18 · CPGE PTSI (1re année)

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<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>18.1 Introduction et motivation

Température au point $(x, y)$ d'une plaque, altitude d'un relief, profit selon deux paramètres de production : les fonctions de deux variables sont partout. Ce chapitre — dont le contenu sera entièrement repris dans un cadre plus général en seconde année — vise à familiariser avec les calculs sur les dérivées partielles, notamment la règle de la chaîne, et à développer une vision géométrique : surfaces, plans tangents, lignes de niveau, gradient. Le point de vue est essentiellement pratique : toute extension théorique est hors programme, et l'on calcule, on visualise, on optimise.

18.2 Ouverts de $R^{2}$ , fonctions continues

Définition 18.1Boules et ouverts

On munit $R^{2}$ de la norme euclidienne canonique $∥ (x, y) ∥ = x^{2} + y^{2}$ (chapitre 9, géométrie du plan). La boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r > 0$ est $B (a, r) = {m \in R^{2} : ∥ m - a ∥ < r}$ (un disque sans son bord). Une partie $U \subset R^{2}$ est un ouvert si chacun de ses points est le centre d'une boule incluse dans $U$ : aucun point n'est « au bord » — on peut bouger dans toutes les directions en restant dans $U$ .

Exemple 18.2

$R^{2}$ , une boule ouverte, un demi-plan ${x > 0}$ , un produit d'intervalles ouverts sont des ouverts ; un disque fermé, une droite, ne le sont pas (les points du bord n'ont aucune marge). Les ouverts sont le bon cadre du calcul différentiel : pour dériver en un point, il faut pouvoir l'approcher de partout.

Définition 18.3Continuité, surface représentative

Une fonction $f : U \to R$ ( $U$ ouvert) est continue en $a \in U$ si $f (m) \to f (a)$ quand $∥ m - a ∥ \to 0$ . (La notion est introduite uniquement en vue du calcul différentiel : son étude n'est pas un objectif du programme.) La représentation graphique de $f$ est la surface d'équation $z = f (x, y)$ de $R^{3}$ — le relief dont $f$ est la carte d'altitudes ; les lignes de niveau ${f (x, y) = c}$ en sont les courbes d'altitude constante, comme sur une carte topographique.

18.3 Dérivées partielles

Définition 18.4Dérivées partielles

Les dérivées partielles de $f$ en $(x_{0}, y_{0})$ sont les dérivées des fonctions partielles, obtenues en figeant une variable :

$\frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) = h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + h , y _{0} ) - f ( x _{0} , y _{0} )}{h}, \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0}) = k \to 0 lim \frac{f ( x _{0} , y _{0} + k ) - f ( x _{0} , y _{0} )}{k} .$

En pratique : pour calculer $\frac{\partial f}{\partial x}$ , on dérive par rapport à $x$ en traitant $y$ comme une constante — tout le savoir-faire du chapitre 4 s'applique tel quel.

Attention

L'existence des dérivées partielles n'entraîne pas la continuité : la fonction valant $\frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}$ hors de l'origine et $0$ en $(0, 0)$ a des dérivées partielles nulles en $(0, 0)$ (les fonctions partielles y sont nulles), mais vaut $\frac{1}{2}$ sur toute la droite $y = x$ : elle n'est pas continue à l'origine. Les deux axes ne voient pas tout le plan — d'où la définition suivante.

Définition 18.5Classe

C^{1}

$f$ est de classe $C^{1}$ sur l'ouvert $U$ si ses deux dérivées partielles existent et sont continues sur $U$ . (La notion de fonction différentiable est hors programme : $C^{1}$ est notre cadre de travail, et toutes les fonctions usuelles construites par sommes, produits, quotients et composées y sont.)

◆Théorème 18.6Développement limité à l'ordre 1

Si $f$ est de classe $C^{1}$ au voisinage de $(x_{0}, y_{0})$ , alors (démonstration hors programme) :

$f (x_{0} + h, y_{0} + k) = f (x_{0}, y_{0}) + \frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) h + \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0}) k + o (∥ (h, k) ∥) .$

C'est l'approximation linéaire de l'accroissement $f (x_{0} + h, y_{0} + k) - f (x_{0}, y_{0})$ — l'analogue exact du $DL_{1}$ du chapitre 8, avec deux pentes au lieu d'une.

◆Théorème 18.7Plan tangent

L'équation

$z - z_{0} = \frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0}) (z_{0} = f (x_{0}, y_{0}))$

est celle du plan tangent en $(x_{0}, y_{0})$ à la surface $z = f (x, y)$ : le plan qui épouse la surface au premier ordre, comme la tangente épousait la courbe (chapitre 6).

Définition 18.8Gradient

Le gradient de $f$ (de classe $C^{1}$ ) en $(x_{0}, y_{0})$ est le vecteur

$\nabla f (x_{0}, y_{0}) = (\frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}), \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0})) \in R^{2} .$

Le développement limité s'écrit alors, pour $u = (h, k)$ :

$f ((x_{0}, y_{0}) + u) = f (x_{0}, y_{0}) + \nabla f (x_{0}, y_{0}) \cdot u + o (∥ u ∥)$

— le produit scalaire du chapitre 9 entre en scène.

◆Théorème 18.9Le gradient, direction de plus forte pente

Parmi tous les vecteurs unitaires $u$ , l'accroissement au premier ordre $\nabla f (a) \cdot u$ est maximal lorsque $u$ pointe dans la direction de $\nabla f (a)$ (et vaut alors $∥\nabla f (a) ∥$ ).

Démonstration

Par la définition géométrique du produit scalaire (chapitre 9), $\nabla f (a) \cdot u = ∥\nabla f (a) ∥ ∥ u ∥ cos θ \leq ∥\nabla f (a) ∥$ (car $∥ u ∥ = 1$ et $cos θ \leq 1$ ), avec égalité si et seulement si $θ = 0$ , c'est-à-dire $u$ positivement colinéaire à $\nabla f (a)$ . Le gradient pointe vers la montée la plus raide — et $- \nabla f$ vers la descente la plus raide : c'est le principe de la descente de gradient, l'algorithme au cœur de l'optimisation et de l'apprentissage automatique.

18.4 Dérivées partielles et composées

Définition 18.10Dérivée selon un vecteur

La dérivée de $f$ en $a$ selon le vecteur $u = (h, k)$ est $D_{u} f (a) = lim_{t \to 0} \frac{f ( a + t u ) - f ( a )}{t}$ . Pour $f$ de classe $C^{1}$ , le développement limité donne immédiatement :

$D_{u} f (a) = \nabla f (a) \cdot u = \frac{\partial f}{\partial x} (a) h + \frac{\partial f}{\partial y} (a) k$

(les dérivées partielles sont les cas $u = (1, 0)$ et $u = (0, 1)$ ).

◆Théorème 18.11Règle de la chaîne

Si $x, y : I \to R$ sont de classe $C^{1}$ et $f$ de classe $C^{1}$ , alors $g : t \mapsto f (x (t), y (t))$ est de classe $C^{1}$ et :

$g^{'} (t) = \frac{\partial f}{\partial x} (x (t), y (t)) x^{'} (t) + \frac{\partial f}{\partial y} (x (t), y (t)) y^{'} (t) .$

Interprétation géométrique : le long de l'arc $γ (t) = (x (t), y (t))$ , de vecteur vitesse $γ^{'} (t) = (x^{'} (t), y^{'} (t))$ :

$(f \circ γ)^{'} (t) = \nabla f (γ (t)) \cdot γ^{'} (t)$

— la variation de l'altitude le long du chemin est le produit scalaire du gradient par la vitesse.

◆Théorème 18.12Le gradient est orthogonal aux lignes de niveau

Si $γ$ est un arc $C^{1}$ tracé dans une ligne de niveau de $f$ (c'est-à-dire $f \circ γ$ constante), alors

$\nabla f (γ (t)) \cdot γ^{'} (t) = 0 :$

le gradient est orthogonal à la tangente de toute ligne de niveau. (Dériver la constante $f \circ γ$ par la règle de la chaîne.) Sur une carte topographique : la plus grande pente est perpendiculaire aux courbes de niveau — le skieur le sait.

Proposition 18.13Composée à deux variables

Sous les hypothèses appropriées ( $φ$ , $ψ$ , $f$ de classe $C^{1}$ ), la fonction $g (u, v) = f (φ (u, v), ψ (u, v))$ est de classe $C^{1}$ et :

$\frac{\partial g}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x} (φ, ψ) \frac{\partial φ}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y} (φ, ψ) \frac{\partial ψ}{\partial u}, et de m e ˆ me pour \frac{\partial g}{\partial v}$

— chaque variable intermédiaire transmet sa contribution (l'exemple roi : les coordonnées polaires, exercice 7).

18.5 Extremums

Définition 18.14Extremums, points critiques

$f$ admet en $a$ un maximum (resp. minimum) local si $f (m) \leq f (a)$ (resp. $\geq$ ) pour tout $m$ assez proche de $a$ ; global si la comparaison vaut sur tout le domaine. Un point critique de $f$ (de classe $C^{1}$ sur un ouvert) est un point où le gradient s'annule :

$\nabla f (a) = (0, 0) ⟺ \frac{\partial f}{\partial x} (a) = \frac{\partial f}{\partial y} (a) = 0.$

◆Théorème 18.15Condition nécessaire d'extremum

Si $f$ , de classe $C^{1}$ sur un ouvert $U$ , admet un extremum local en $a \in U$ , alors $a$ est un point critique de $f$ .

Démonstration

La fonction partielle $x \mapsto f (x, y_{0})$ admet un extremum local en $x_{0}$ , point intérieur : sa dérivée $\frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0})$ s'annule (chapitre 6). De même pour $y$ . (L'hypothèse d'ouvert est essentielle : sur un domaine avec bord, l'extremum peut être au bord sans gradient nul — penser au maximum de $x$ sur un disque fermé.)

AttentionLa réciproque est fausse : les cols

Un point critique n'est pas toujours un extremum : pour $f (x, y) = x^{2} - y^{2}$ , l'origine est critique, mais $f > 0$ le long de l'axe des $x$ et $f < 0$ le long de l'axe des $y$ — un point selle (ou col), comme un col de montagne : minimum dans une direction, maximum dans l'autre. Méthode : trouver les points critiques (système $\nabla f = 0$ ), puis étudier localement chacun (signe de $f (a + u) - f (a)$ , restrictions à des droites, forme canonique).

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