Séries numériques
Cours · mathématiques (PTSI), chapitre 17 · CPGE PTSI (1re année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun
17.1 Introduction et motivation
Que vaut ? Et ? Donner un sens à une somme infinie : tel est l'objet des séries, qui prolongent l'étude des suites numériques et offrent un terrain d'application royal à l'analyse asymptotique. Les objectifs majeurs portent sur les séries à termes positifs et la convergence absolue — pour laquelle on introduit aussi le vocabulaire de la sommabilité de la suite , sans aucun développement théorique : ce cadre restreint suffit à traiter toutes les séries de l'année, et prépare l'étude générale menée en deuxième année.
17.2 Convergence et divergence
À une suite de nombres complexes, on associe la suite de ses sommes partielles . La série converge si converge ; sa limite est alors la somme, notée . Sinon, la série diverge. La somme est linéaire : (séries convergentes).
Si converge, alors (car ). La réciproque est fausse (série harmonique !). Si , la série diverge grossièrement.
Si converge, son reste d'ordre est : il tend vers , et mesure l'erreur d'approximation de la somme par la somme partielle.
La suite et la série télescopique sont de même nature (les sommes partielles de la série valent ). Étudier une suite, c'est étudier une série, et réciproquement : les deux théories n'en font qu'une.