Ensembles de nombres

Cours · mathématiques (Tronc Commun Sciences, Maroc), chapitre 1 · Maroc, Tronc Commun Sciences · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Pour mesurer, compter, partager ou repérer, on a besoin de différentes sortes de nombres. Les mathématiciens ont construit progressivement plusieurs ensembles de nombres, emboîtés les uns dans les autres : les entiers naturels $N$ , les entiers relatifs $Z$ , les nombres décimaux $D$ , les nombres rationnels $Q$ et enfin les nombres réels $R$ . Ce chapitre présente ces ensembles et leurs notations, puis les outils qui permettent de travailler dans $R$ : les intervalles, la valeur absolue, les puissances, les racines carrées et l'approximation décimale.

1.1 Les ensembles de nombres

Définition 1.1Les cinq ensembles de nombres

On utilise les ensembles suivants :

$N$ : l'ensemble des entiers naturels ${0, 1, 2, 3, \dots}$ .
$Z$ : l'ensemble des entiers relatifs ${\dots, - 2, - 1, 0, 1, 2, \dots}$ .
$D$ : l'ensemble des nombres décimaux, c'est-à-dire les nombres qui s'écrivent $\frac{a}{1 0 ^{n}}$ avec $a \in Z$ et $n \in N$ .
$Q$ : l'ensemble des nombres rationnels, c'est-à-dire les nombres qui s'écrivent $\frac{a}{b}$ avec $a \in Z$ et $b \in Z^{*}$ .
$R$ : l'ensemble des nombres réels, qui regroupe tous les nombres précédents ainsi que les nombres irrationnels.

Important

Ces ensembles sont emboîtés : tout entier naturel est un entier relatif, tout entier relatif est décimal, tout décimal est rationnel, et tout rationnel est réel. On écrit cette chaîne d'inclusions :

$N \subset Z \subset D \subset Q \subset R .$

Définition 1.2Notations utiles

On note avec une étoile l'ensemble privé de $0$ , et avec un signe les nombres positifs ou négatifs :

$R^{*}$ désigne $R$ privé de $0$ , de même $N^{*}$ , $Z^{*}$ , $Q^{*}$ .
$R_{+}$ désigne l'ensemble des réels positifs ou nuls, et $R_{-}$ celui des réels négatifs ou nuls.
$R_{+}^{*}$ désigne les réels strictement positifs, et $R_{-}^{*}$ les réels strictement négatifs.

1.2 Décimaux, rationnels et irrationnels

Définition 1.3Nombre rationnel

Un nombre rationnel est un quotient de deux entiers : il s'écrit $\frac{a}{b}$ avec $a \in Z$ et $b \in Z^{*}$ . Un même rationnel admet plusieurs écritures, par exemple $\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9}$ .

Exemple 1.4

$\frac{7}{2} = 3, 5$ est rationnel et décimal. $\frac{1}{3} = 0, 333 \dots$ est rationnel mais n'est pas décimal : son écriture décimale est illimitée. Tout entier est rationnel, car $n = \frac{n}{1}$ .

Propriété : Reconnaître un nombre décimal

Un nombre rationnel est décimal si et seulement si, une fois la fraction rendue irréductible, son dénominateur ne contient que les facteurs premiers $2$ et $5$ . Ainsi $\frac{3}{20} = 0, 15$ est décimal (car $20 = 2^{2} \times 5$ ), tandis que $\frac{5}{6}$ ne l'est pas (car $6 = 2 \times 3$ ).

Définition 1.5Nombre irrationnel

Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel : il ne peut s'écrire sous la forme d'aucun quotient d'entiers. Son écriture décimale est illimitée et non périodique.

Exemple 1.6

$2$ , $3$ et $π$ sont des nombres irrationnels. Par exemple, on peut montrer que $2$ n'est égal à aucune fraction $\frac{a}{b}$ , son écriture $2 = 1, 41421356 \dots$ ne se répète jamais.

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