Ordre dans R

Cours · mathématiques (Tronc Commun Sciences, Maroc), chapitre 2 · Maroc, Tronc Commun Sciences · le début du chapitre, la suite sur Adloun

L'ensemble $R$ des nombres réels n'est pas seulement un ensemble où l'on calcule : c'est un ensemble ordonné, dans lequel on peut comparer deux nombres et dire lequel est le plus grand. Ce chapitre du Tronc Commun précise les règles qui relient cet ordre aux opérations (addition, multiplication, passage à l'inverse), puis introduit les outils qui en découlent : les encadrements, la valeur absolue et la distance, les intervalles, la partie entière et enfin la comparaison d'un réel avec son carré et sa racine carrée. Ces notions sont fondamentales : elles servent partout, des inéquations à l'étude des fonctions.

2.1 Comparaison de deux réels

Définition 2.1Ordre dans

R

Soient $a$ et $b$ deux réels. On dit que $a$ est inférieur ou égal à $b$ , et on note $a \leq b$ , lorsque la différence $b - a$ est positive ou nulle :

$a \leq b ⟺ b - a \geq 0.$

On dit que $a$ est strictement inférieur à $b$ , noté $a < b$ , lorsque $b - a > 0$ .

Méthode : Comparer deux réels par le signe de la différence

Pour comparer deux réels $a$ et $b$ , on étudie le signe de la différence $a - b$ :

si $a - b > 0$ , alors $a > b$ ;
si $a - b < 0$ , alors $a < b$ ;
si $a - b = 0$ , alors $a = b$ .

Comparons par exemple $A = \frac{1}{3}$ et $B = \frac{2}{5}$ : $A - B = \frac{5 - 6}{15} = - \frac{1}{15} < 0$ , donc $A < B$ .

Exemple 2.2

Comparons $x^{2} + 1$ et $2 x$ pour tout réel $x$ . On calcule la différence :

$(x^{2} + 1) - 2 x = (x - 1)^{2} \geq 0,$

donc $x^{2} + 1 \geq 2 x$ pour tout réel $x$ , avec égalité si et seulement si $x = 1$ .

Propriété : Propriétés de l'ordre

Pour tous réels $a$ , $b$ et $c$ :

Réflexivité : $a \leq a$ .
Antisymétrie : si $a \leq b$ et $b \leq a$ , alors $a = b$ .
Transitivité : si $a \leq b$ et $b \leq c$ , alors $a \leq c$ .
Deux réels sont toujours comparables : on a $a \leq b$ ou $b \leq a$ (l'ordre est total).

2.2 Ordre et opérations

Propriété : Ordre et addition

Pour tous réels $a$ , $b$ et $c$ :

$a \leq b ⟺ a + c \leq b + c .$

On peut donc ajouter (ou retrancher) un même réel aux deux membres d'une inégalité sans changer son sens.

Propriété : Ordre et multiplication

Soient $a$ , $b$ deux réels tels que $a \leq b$ , et $c$ un réel.

Si $c > 0$ : $a c \leq b c$ (l'inégalité conserve son sens).
Si $c < 0$ : $a c \geq b c$ (l'inégalité change de sens).

Important

La règle à ne jamais oublier : multiplier (ou diviser) les deux membres d'une inégalité par un nombre strictement négatif renverse le sens de l'inégalité. Par exemple, de $- 2 < 3$ on déduit, en multipliant par $- 1$ , que $2 > - 3$ .

Propriété : Addition d'inégalités de même sens

Si $a \leq b$ et $c \leq d$ , alors :

$a + c \leq b + d .$

On peut additionner membre à membre deux inégalités de même sens. Attention : on ne peut pas les soustraire membre à membre.

Propriété : Produit d'inégalités entre réels positifs

Si $0 \leq a \leq b$ et $0 \leq c \leq d$ , alors :

$a c \leq b d .$

On peut multiplier membre à membre deux inégalités de même sens lorsque tous les termes sont positifs.

Propriété : Passage à l'inverse

Soient $a$ et $b$ deux réels non nuls et de même signe. Alors :

$a \leq b ⟺ \frac{1}{a} \geq \frac{1}{b} .$

Le passage à l'inverse change le sens de l'inégalité (pour des réels de même signe). Par exemple, $2 < 5$ donne $\frac{1}{2} > \frac{1}{5}$ .

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