Généralités sur les fonctions

Cours · mathématiques (Tronc Commun Sciences, Maroc), chapitre 3 · Maroc, Tronc Commun Sciences · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La notion de fonction est l'un des outils les plus importants des mathématiques : elle permet de décrire la dépendance d'une grandeur par rapport à une autre. Ce chapitre du tronc commun scientifique pose les bases de l'étude des fonctions numériques : ensemble de définition, image et antécédent, représentation graphique, sens de variation, parité et extremums. Il se termine par l'étude des fonctions de référence (affine, carré, inverse et racine carrée), dont la connaissance des variations et des courbes est indispensable pour aborder les chapitres suivants.

3.1 Notion de fonction numérique

Définition 3.1Fonction numérique

Une fonction numérique $f$ d'une variable réelle est un procédé qui, à chaque réel $x$ d'une partie $D$ de $R$ , associe au plus un réel noté $f (x)$ . On écrit :

$f : x ⟼ f (x) .$

Le réel $f (x)$ est appelé l'image de $x$ par $f$ .

Définition 3.2Ensemble de définition

L'ensemble de définition de $f$ , noté $D_{f}$ , est l'ensemble des réels $x$ qui possèdent une image par $f$ :

$D_{f} = {x \in R ∣ f (x) existe} .$

Important

Pour déterminer $D_{f}$ , on exclut les valeurs de $x$ qui rendent un calcul impossible :

un dénominateur ne doit pas être nul ;
l'expression sous une racine carrée doit être positive ou nulle.

Exemple 3.3

Soit $f (x) = \frac{1}{x - 2}$ . La fonction n'est pas définie lorsque $x - 2 = 0$ , c'est-à-dire $x = 2$ . Donc $D_{f} = R ∖ {2} =] - \infty, 2 [\cup] 2, + \infty [$ .

Soit $g (x) = x - 3$ . Il faut $x - 3 \geq 0$ , soit $x \geq 3$ . Donc $D_{g} = [3, + \infty [$ .

3.2 Image et antécédent

Définition 3.4Antécédent

Soit $f$ une fonction et $y$ un réel. Un antécédent de $y$ par $f$ est tout réel $x$ de $D_{f}$ tel que $f (x) = y$ .

Important

Un réel $x$ a au plus une image par $f$ . En revanche, un réel $y$ peut avoir plusieurs antécédents, un seul, ou aucun.

Exemple 3.5

Soit $f (x) = x^{2}$ . L'image de $- 3$ est $f (- 3) = 9$ . Pour chercher les antécédents de $9$ , on résout $x^{2} = 9$ , ce qui donne $x = 3$ ou $x = - 3$ : le réel $9$ admet donc deux antécédents. Le réel $- 4$ , lui, n'admet aucun antécédent par $f$ car $x^{2} \geq 0$ .

3.3 Représentation graphique

Définition 3.6Courbe représentative

Dans un repère $(O, i, j)$ , la courbe représentative de $f$ , notée $C_{f}$ , est l'ensemble des points $M (x; y)$ tels que :

$x \in D_{f} et y = f (x) .$

Propriété : Lecture graphique

Sur la courbe $C_{f}$ :

l'image de $x$ se lit en ordonnée du point de $C_{f}$ d'abscisse $x$ ;
les antécédents d'un réel $y$ sont les abscisses des points de $C_{f}$ d'ordonnée $y$ ;
une courbe représente une fonction si et seulement si toute droite verticale la coupe en au plus un point.

3.4 Sens de variation (monotonie)

Définition 3.7Fonction croissante, décroissante

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ .

$f$ est croissante sur $I$ si elle conserve l'ordre : pour tous $a, b \in I$ , si $a \leq b$ alors $f (a) \leq f (b)$ .
$f$ est décroissante sur $I$ si elle inverse l'ordre : pour tous $a, b \in I$ , si $a \leq b$ alors $f (a) \geq f (b)$ .
$f$ est constante sur $I$ si $f (a) = f (b)$ pour tous $a, b \in I$ .

Une fonction croissante ou décroissante sur $I$ est dite monotone sur $I$ .

Définition 3.8Taux de variation

Soit $f$ une fonction et $a, b$ deux réels distincts de $D_{f}$ . Le taux de variation (ou taux d'accroissement) de $f$ entre $a$ et $b$ est le quotient :

$T = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} .$

Propriété : Sens de variation et taux de variation

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . Pour tous réels distincts $a$ et $b$ de $I$ :

$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} \geq 0$ ;
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} \leq 0$ .

Les inégalités strictes correspondent à la stricte monotonie.

Méthode : Étudier le sens de variation par le taux de variation

Pour étudier le sens de variation de $f (x) = x^{2}$ sur $[0, + \infty [$ , on calcule le taux de variation entre deux réels $a$ et $b$ positifs distincts :

$\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} = \frac{b ^{2} - a ^{2}}{b - a} = \frac{( b - a ) ( b + a )}{b - a} = a + b .$

Comme $a \geq 0$ et $b \geq 0$ , on a $a + b \geq 0$ , donc $f$ est croissante sur $[0, + \infty [$ .

3.5 Parité d'une fonction

Définition 3.9Fonction paire, fonction impaire

Soit $f$ une fonction dont l'ensemble de définition $D_{f}$ est symétrique par rapport à $0$ (c'est-à-dire que $- x \in D_{f}$ dès que $x \in D_{f}$ ).

$f$ est paire si pour tout $x \in D_{f}$ : $f (- x) = f (x)$ .
$f$ est impaire si pour tout $x \in D_{f}$ : $f (- x) = - f (x)$ .

Propriété : Interprétation graphique

Dans un repère orthogonal :

la courbe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées $(O y)$ ;
la courbe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine $O$ du repère.

La suite du cours est sur Adloun

Le chapitre en entier, formules et figures comprises, avec le tuteur, les fiches, les QCM et les exercices.

Lire la suite du cours

En accès libre, sans inscription.

Lire la suite du cours →