Équations et inéquations

Cours · mathématiques (Tronc Commun Sciences, Maroc), chapitre 4 · Maroc, Tronc Commun Sciences · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Résoudre une équation, c'est déterminer toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie ; résoudre une inéquation, c'est trouver toutes celles qui satisfont une comparaison. Ce chapitre du Tronc Commun rassemble les techniques essentielles de résolution dans $R$ : équations du premier et du second degré, équations produit et quotient, inéquations et tableaux de signes, puis systèmes de deux équations à deux inconnues et systèmes d'inéquations. Ces outils sont fondamentaux : ils interviennent dans tous les autres chapitres (géométrie analytique, fonctions, trigonométrie) et constituent le langage de base de toute modélisation mathématique.

4.1 Vocabulaire et principes généraux

Définition 4.1Équation, inconnue, solution

Une équation d'inconnue $x$ est une égalité entre deux expressions dont l'une au moins dépend de $x$ . Une valeur de $x$ qui rend l'égalité vraie est une solution de l'équation. Résoudre l'équation, c'est déterminer l'ensemble de toutes ses solutions, noté $S$ .

Propriété : Équations équivalentes

Deux équations sont équivalentes lorsqu'elles ont le même ensemble de solutions. On obtient une équation équivalente lorsque :

on ajoute (ou retranche) un même nombre, ou une même expression, aux deux membres ;
on multiplie (ou divise) les deux membres par un même nombre non nul.

Ce sont ces opérations qui permettent d'isoler progressivement l'inconnue.

Important

Multiplier les deux membres par une quantité qui dépend de $x$ (ou qui peut être nulle) risque d'ajouter ou de perdre des solutions. Il faut alors préciser les conditions d'existence et vérifier les valeurs trouvées.

4.2 Équation du premier degré

Définition 4.2Équation du premier degré

Une équation du premier degré à une inconnue $x$ est une équation qui peut se ramener à la forme :

$a x + b = 0 avec a \neq = 0.$

◆Théorème 4.3Résolution

L'équation $a x + b = 0$ , avec $a \neq = 0$ , admet une unique solution :

$x = - \frac{b}{a}, donc S = {- \frac{b}{a}} .$

Propriété : Cas particuliers

Pour l'équation $a x + b = 0$ :

si $a \neq = 0$ : une unique solution $x = - \frac{b}{a}$ ;
si $a = 0$ et $b \neq = 0$ : aucune solution, $S = \emptyset$ ;
si $a = 0$ et $b = 0$ : tout réel est solution, $S = R$ .

Exemple 4.4

Résolvons $3 (x - 2) = 5 x + 4$ . On développe : $3 x - 6 = 5 x + 4$ , puis $3 x - 5 x = 4 + 6$ , soit $- 2 x = 10$ , d'où $x = - 5$ . Donc $S = {- 5}$ .

4.3 Équation du second degré

Définition 4.5Équation du second degré

Une équation du second degré à une inconnue $x$ est une équation qui se ramène à la forme :

$a x^{2} + b x + c = 0 avec a \neq = 0.$

Les réels $a$ , $b$ , $c$ sont les coefficients de l'équation.

Définition 4.6Discriminant

On appelle discriminant de l'équation $a x^{2} + b x + c = 0$ le nombre réel :

$Δ = b^{2} - 4 a c .$

◆Théorème 4.7Résolution par le discriminant

On considère l'équation $a x^{2} + b x + c = 0$ avec $a \neq = 0$ et $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

Si $Δ > 0$ : deux solutions réelles distinctes

$x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a} et x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a} .$

Si $Δ = 0$ : une unique solution (dite double)

$x_{0} = - \frac{b}{2 a} .$

Si $Δ < 0$ : aucune solution réelle, $S = \emptyset$ .

Exemple 4.8

Résolvons $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ . Ici $a = 2$ , $b = - 5$ , $c = 2$ , donc

$Δ = (- 5)^{2} - 4 \times 2 \times 2 = 25 - 16 = 9 > 0.$

Comme $Δ = 3$ , on obtient $x_{1} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$ et $x_{2} = \frac{5 + 3}{4} = 2$ . Donc $S = {\frac{1}{2}; 2}$ .

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