Statistiques

Cours · mathématiques (Tronc Commun Sciences, Maroc), chapitre 15 · Maroc, Tronc Commun Sciences · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Les statistiques ont pour but de recueillir, d'organiser et d'analyser des données afin d'en dégager des informations utiles. Dans ce chapitre de tronc commun, on apprend à classer des données dans des tableaux d'effectifs et de fréquences, à les représenter graphiquement, puis à les résumer à l'aide de quelques nombres clés : les paramètres de position (moyenne, médiane, mode) qui indiquent où se situent les valeurs, et les paramètres de dispersion (étendue, variance, écart-type) qui mesurent à quel point elles sont étalées. Ces outils sont à la base de toute étude statistique et préparent l'analyse de données rencontrée dans les sciences expérimentales et économiques.

15.1 Vocabulaire de la statistique

Définition 15.1Population, individu, caractère

Une étude statistique porte sur un ensemble d'objets appelé la population ; chaque élément de cette population est un individu (ou unité statistique). Le caractère (ou variable statistique) est la propriété observée sur chaque individu, et les valeurs prises par ce caractère sont appelées modalités.

Exemple 15.2

Si l'on étudie les notes d'une classe de $40$ élèves, la population est l'ensemble des $40$ élèves, un individu est un élève, le caractère est « la note obtenue » et les modalités sont les différentes notes observées.

Définition 15.3Caractère qualitatif et quantitatif

On distingue deux grands types de caractères :

Un caractère est qualitatif lorsque ses modalités ne sont pas des nombres (couleur des yeux, sport pratiqué, sexe).
Un caractère est quantitatif lorsque ses modalités sont des nombres. Il est alors :

discret si les valeurs sont isolées, le plus souvent entières (nombre d'enfants par foyer, nombre de frères et sœurs) ;
continu si les valeurs peuvent être quelconques dans un intervalle ; on les regroupe alors en classes $[a, b [$ (taille en cm, masse en kg, durée en heures).

Important

Seuls les caractères quantitatifs permettent de calculer des paramètres comme la moyenne ou l'écart-type. Pour un caractère qualitatif, on se limite aux effectifs, aux fréquences et au mode.

15.2 Effectifs et fréquences

Définition 15.4Effectif et fréquence

Soit une population de taille $N$ répartie selon les modalités $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{p}$ .

L'effectif $n_{i}$ d'une modalité $x_{i}$ est le nombre d'individus présentant cette modalité. L'effectif total vaut $N = n_{1} + n_{2} + \dots + n_{p}$ .
La fréquence de la modalité $x_{i}$ est le quotient $f_{i} = \frac{n _{i}}{N}$ . C'est la proportion d'individus possédant cette modalité.

Propriété

Les fréquences vérifient toujours :

$0 \leq f_{i} \leq 1 et f_{1} + f_{2} + \dots + f_{p} = 1.$

On exprime souvent une fréquence en pourcentage en la multipliant par $100$ .

Exemple 15.5

On a relevé le nombre de frères et sœurs de $25$ élèves. Le tableau des effectifs et des fréquences est :

Nombre $x_{i}$	$0$	$1$	$2$	$3$	Total
Effectif $n_{i}$	$5$	$10$	$7$	$3$	$25$
Fréquence $f_{i}$	$0, 20$	$0, 40$	$0, 28$	$0, 12$	$1$

Par exemple $f_{2} = \frac{7}{25} = 0, 28$ , soit $28 %$ des élèves.

15.3 Effectifs et fréquences cumulés

Définition 15.6Cumuls croissants

Lorsque le caractère est quantitatif et que les modalités sont rangées dans l'ordre croissant :

l'effectif cumulé croissant d'une modalité est la somme des effectifs des modalités qui lui sont inférieures ou égales ;
la fréquence cumulée croissante est la somme des fréquences correspondantes.

La fréquence cumulée croissante répond à la question « quelle proportion d'individus ont une valeur $\leq x_{i}$ ? ».

Exemple 15.7

En reprenant l'exemple précédent :

$x_{i}$	$0$	$1$	$2$	$3$
Effectif cumulé	$5$	$15$	$22$	$25$
Fréquence cumulée	$0, 20$	$0, 60$	$0, 88$	$1$

Ainsi $88 %$ des élèves ont au plus $2$ frères et sœurs.

15.4 Représentations graphiques

Méthode : Choisir le bon graphique

Le type de représentation dépend de la nature du caractère :

Diagramme en bâtons : caractère quantitatif discret. Chaque modalité est représentée par un segment vertical dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif (ou à la fréquence).
Diagramme circulaire (« camembert ») : caractère qualitatif ou discret. Chaque modalité occupe un secteur dont l'angle est proportionnel à l'effectif : $α_{i} = f_{i} \times 36 0^{\circ}$ .
Histogramme : caractère quantitatif continu, dont les données sont regroupées en classes. L'aire de chaque rectangle est proportionnelle à l'effectif de la classe.
Polygone des effectifs : ligne brisée reliant les sommets des bâtons ou les milieux des sommets des rectangles d'un histogramme.

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