Arithmétique dans N

Cours · mathématiques (Tronc Commun Sciences, Maroc), chapitre 14 · Maroc, Tronc Commun Sciences · le début du chapitre, la suite sur Adloun

L'arithmétique est l'étude des nombres entiers et de leurs propriétés. Ce chapitre se place dans l'ensemble $N$ des entiers naturels et met en place les outils de base du tronc commun : les multiples et les diviseurs, les critères de divisibilité, les nombres premiers et la décomposition en facteurs premiers, puis le PGCD et le PPCM de deux entiers. Ces notions, simples mais essentielles, permettent en particulier de simplifier les fractions et de les rendre irréductibles.

14.1 Multiples et diviseurs dans N

Définition 14.1Multiple et diviseur

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels avec $b \neq = 0$ . On dit que $b$ divise $a$ , et on note $b ∣ a$ , s'il existe un entier naturel $k$ tel que $a = b \times k$ . On dit alors que $b$ est un diviseur de $a$ , et que $a$ est un multiple de $b$ .

Exemple 14.2

$4 ∣ 12$ car $12 = 4 \times 3$ . Les diviseurs de $12$ sont $1, 2, 3, 4, 6, 12$ , et ses premiers multiples sont $0, 12, 24, 36, 48, \dots$ Tout entier non nul divise $0$ , et $1$ divise tout entier naturel.

Propriété : Propriétés des multiples et diviseurs

Pour tous entiers naturels $a$ , $b$ , $c$ :

$a ∣ a$ , et $1 ∣ a$ , et $a ∣ 0$ .
Si $a ∣ b$ et $b ∣ c$ , alors $a ∣ c$ .
Si $a ∣ b$ et $a ∣ c$ , alors $a ∣ (b + c)$ et $a ∣ (b - c)$ (lorsque $b \geq c$ ).
Si $a ∣ b$ et $b \neq = 0$ , alors $a \leq b$ : un entier non nul possède un nombre fini de diviseurs.

Important

Les diviseurs d'un entier se trouvent toujours « par paires ». Pour $36$ , on a $1 \times 36$ , $2 \times 18$ , $3 \times 12$ , $4 \times 9$ , $6 \times 6$ : il suffit donc de tester les diviseurs jusqu'à $36 = 6$ pour les obtenir tous.

14.2 Critères de divisibilité

Propriété : Critères de divisibilité

Un entier naturel est divisible :

par $2$ si son chiffre des unités est $0, 2, 4, 6$ ou $8$ (le nombre est pair) ;
par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$ ;
par $10$ si son chiffre des unités est $0$ ;
par $4$ si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par $4$ ;
par $3$ si la somme de ses chiffres est divisible par $3$ ;
par $9$ si la somme de ses chiffres est divisible par $9$ .

Exemple 14.3

Considérons $n = 5238$ .

Son chiffre des unités est $8$ , donc $n$ est divisible par $2$ , mais pas par $5$ ni par $10$ .
Ses deux derniers chiffres forment $38$ , qui n'est pas divisible par $4$ : $n$ ne l'est pas non plus.
La somme de ses chiffres est $5 + 2 + 3 + 8 = 18$ , divisible par $3$ et par $9$ : donc $n$ est divisible par $3$ et par $9$ .

Méthode : Utiliser les critères

Pour étudier la divisibilité d'un grand nombre, on applique les critères plutôt que d'effectuer la division. Par exemple, pour $7425$ : la somme des chiffres est $7 + 4 + 2 + 5 = 18$ (divisible par $9$ donc par $3$ ), et le chiffre des unités est $5$ (divisible par $5$ ). On en déduit immédiatement que $7425$ est divisible par $3$ , $9$ et $5$ , sans aucun calcul de division.

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