Polynômes

Cours · mathématiques (Tronc Commun Sciences, Maroc), chapitre 13 · Maroc, Tronc Commun Sciences · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Les polynômes occupent une place centrale dans tout le programme de Tronc Commun : ils interviennent dès que l'on manipule des expressions algébriques, que l'on développe ou que l'on factorise. Ce chapitre met en place le vocabulaire (monôme, degré, coefficients), les opérations sur les polynômes, les identités remarquables et les techniques de factorisation. On apprend enfin à utiliser la notion de racine pour factoriser par $(x - a)$ et à dresser le tableau de signes d'un binôme ou d'un trinôme, outil indispensable pour résoudre inéquations et étudier les fonctions.

13.1 Monômes et polynômes

Définition 13.1Monôme

On appelle monôme en la variable $x$ toute expression de la forme $a x^{n}$ où $a$ est un nombre réel appelé coefficient et $n$ un entier naturel appelé degré du monôme (lorsque $a \neq = 0$ ).

Exemple 13.2

$3 x^{2}$ est un monôme de coefficient $3$ et de degré $2$ . Le nombre $- 5$ est un monôme de degré $0$ (car $- 5 = - 5 x^{0}$ ). En revanche $\frac{2}{x}$ et $x$ ne sont pas des monômes.

Définition 13.3Polynôme

Un polynôme en $x$ est une somme de monômes. Il s'écrit sous la forme

$P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0},$

où les nombres réels $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ sont les coefficients du polynôme. Lorsque $a_{n} \neq = 0$ , l'entier $n$ est le degré de $P$ , noté $de g P$ , et $a_{n}$ est appelé coefficient dominant. Le terme $a_{0}$ est le terme constant.

Exemple 13.4

Pour $P (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + x - 7$ : le degré est $3$ , le coefficient dominant est $2$ , le terme constant est $- 7$ . Un polynôme de degré $1$ comme $3 x + 5$ est appelé binôme du premier degré ; un polynôme de degré $2$ comme $x^{2} - 3 x + 2$ est appelé trinôme du second degré.

Important

Deux polynômes sont égaux si et seulement s'ils ont le même degré et les mêmes coefficients pour chaque puissance de $x$ . Cette propriété, appelée identification, permet de déterminer des coefficients inconnus en égalant les termes de même degré.

13.2 Opérations sur les polynômes

Propriété : Somme et différence

Pour additionner (ou soustraire) deux polynômes, on regroupe et on ajoute (ou retranche) les coefficients des monômes de même degré.

$de g (P + Q) \leq max (de g P, de g Q) .$

Exemple 13.5

Avec $P (x) = 2 x^{2} + 3 x - 1$ et $Q (x) = x^{2} - 5 x + 4$ :

$P (x) + Q (x) = 3 x^{2} - 2 x + 3, P (x) - Q (x) = x^{2} + 8 x - 5.$

Propriété : Produit

Pour multiplier deux polynômes, on développe en multipliant chaque monôme de l'un par chaque monôme de l'autre, puis on réduit les termes semblables. On a alors

$de g (P \times Q) = de g P + de g Q .$

On rappelle la règle sur les puissances : $x^{m} \times x^{n} = x^{m + n}$ .

Exemple 13.6

$(2 x - 1) (x^{2} + 3 x - 2) = 2 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x - x^{2} - 3 x + 2 = 2 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x + 2.$

13.3 Identités remarquables

Propriété : Les trois identités remarquables

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ :

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ ;
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ ;
$(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ .

Exemple 13.7

$(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ .
$(2 x - 5)^{2} = 4 x^{2} - 20 x + 25$ .
$(3 x - 1) (3 x + 1) = 9 x^{2} - 1$ .

Important

Les identités remarquables se lisent dans les deux sens. De gauche à droite, elles servent à développer ; de droite à gauche, elles servent à factoriser. Reconnaître la forme $a^{2} - b^{2}$ ou $a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$ dans une expression est l'une des clés de la factorisation.

13.4 Factorisation d'un polynôme

Factoriser un polynôme, c'est l'écrire sous la forme d'un produit de polynômes de degrés plus petits. Trois techniques principales se combinent.

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