Géométrie dans l'espace
Cours · mathématiques (Tronc Commun Sciences, Maroc), chapitre 12 · Maroc, Tronc Commun Sciences · le début du chapitre, la suite sur Adloun
La géométrie dans l'espace prolonge la géométrie plane à un univers à trois dimensions. On y manipule des points, des droites et des plans, mais leurs positions relatives sont plus riches que dans le plan : deux droites peuvent ne jamais se rencontrer sans être parallèles, une droite peut « traverser » ou « longer » un plan, deux plans peuvent se couper selon une droite entière. Ce chapitre de Tronc Commun met en place les règles d'incidence, l'étude systématique des positions relatives, les théorèmes de parallélisme et d'orthogonalité, puis leur application aux sections planes des solides usuels (cube, pyramide). La maîtrise de ces notions et l'habitude de raisonner sur une figure en perspective sont indispensables pour la suite (vecteurs et produit scalaire dans l'espace).
12.1 Règles d'incidence
L'espace est l'ensemble de tous les points. Droites et plans en sont des sous-ensembles particuliers. Les règles d'incidence décrivent comment ces objets se déterminent les uns les autres.
Un point est un objet sans dimension, noté par une lettre majuscule (, , …). Une droite est un ensemble infini de points alignés. Un plan est une « surface » plate illimitée dans deux directions. On dit que des points sont coplanaires s'ils appartiennent à un même plan, et alignés s'ils appartiennent à une même droite.
Propriété : Règles fondamentales d'incidence
- Par deux points distincts et passe une unique droite, notée .
- Par trois points non alignés passe un unique plan.
- Si deux points distincts et d'une droite appartiennent à un plan , alors la droite est entièrement contenue dans .
- L'intersection de deux plans distincts non parallèles est une droite.
- Dans un plan de l'espace, toutes les règles de la géométrie plane restent valables.
Un plan peut être déterminé de plusieurs façons équivalentes : par trois points non alignés ; par une droite et un point extérieur à cette droite ; par deux droites sécantes ; par deux droites strictement parallèles.
Dans le cube , les points , , , définissent la face inférieure : c'est un plan, noté ou . Les points , et ne sont pas alignés et déterminent eux aussi un plan, , qui coupe le cube en diagonale.
12.2 Positions relatives de deux droites
Dans le plan, deux droites sont soit sécantes, soit parallèles. Dans l'espace apparaît un troisième cas : elles peuvent ne pas être coplanaires.
Deux droites de l'espace sont dites coplanaires lorsqu'il existe un plan les contenant toutes les deux. Dans le cas contraire, elles sont dites non coplanaires.
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