Transformations du plan

Cours · mathématiques (Tronc Commun Sciences, Maroc), chapitre 11 · Maroc, Tronc Commun Sciences · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une transformation du plan est un procédé géométrique qui, à chaque point $M$ du plan, associe un unique point $M^{'}$ appelé son image. On note souvent une transformation par une lettre, par exemple $t$ , $s$ , $r$ ou $h$ , et on écrit $M^{'} = t (M)$ . Transformer une figure, c'est transformer chacun de ses points. Ce chapitre présente les transformations usuelles du plan étudiées au Tronc Commun : la translation, la symétrie centrale, la symétrie axiale, la rotation et l'homothétie. On insistera sur la construction de l'image d'un point ou d'une figure, et sur les propriétés conservées par chaque transformation (alignement, distances, parallélisme, mesures d'angles).

11.1 La translation

Définition 11.1Translation

Soit $u$ un vecteur du plan. La translation de vecteur $u$ , notée $t_{u}$ , est la transformation qui à tout point $M$ associe l'unique point $M^{'}$ tel que :

$M M^{'} = u .$

Le point $M^{'}$ est appelé l'image de $M$ par la translation $t_{u}$ .

Exemple 11.2

Si $u = 0$ , alors pour tout point $M$ on a $M M^{'} = 0$ , donc $M^{'} = M$ : la translation de vecteur nul est l'identité (chaque point est sa propre image).

Propriété : Caractérisation par les vecteurs

Soit $t_{u}$ la translation de vecteur $u$ . Si $A^{'}$ et $B^{'}$ sont les images respectives de deux points $A$ et $B$ , alors :

$A^{'} B^{'} = A B .$

Autrement dit, une translation conserve les vecteurs : le quadrilatère $A B B^{'} A^{'}$ est un parallélogramme.

Méthode : Construire l'image d'un point

Pour construire l'image $M^{'}$ d'un point $M$ par $t_{u}$ , on reporte le vecteur $u$ à partir de $M$ : on trace, à partir de $M$ , un segment de même longueur, de même direction et de même sens que $u$ . L'extrémité obtenue est $M^{'}$ .

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