Trigonométrie 2

Cours · mathématiques (Tronc Commun Sciences, Maroc), chapitre 10 · Maroc, Tronc Commun Sciences · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Après avoir construit le cercle trigonométrique et défini le cosinus, le sinus et la tangente d'un nombre réel, on s'intéresse au problème inverse : connaissant la valeur d'une ligne trigonométrique, retrouver les angles qui la produisent. C'est l'objet de ce chapitre, consacré à la résolution des équations et des inéquations trigonométriques simples. La clé de toutes ces résolutions est la lecture sur le cercle trigonométrique, où chaque solution correspond à un point bien placé. On y exploite en permanence la périodicité ( $2 π$ pour le cosinus et le sinus, $π$ pour la tangente) et les symétries du cercle.

10.1 Rappels et conventions

Important

Sur le cercle trigonométrique, à tout réel $x$ on associe un unique point $M$ , mais à un même point $M$ correspondent une infinité de réels qui diffèrent d'un multiple de $2 π$ . Une équation trigonométrique a donc, en général, une infinité de solutions, que l'on décrit à l'aide d'un entier relatif $k \in Z$ .

Définition 10.1Équation trigonométrique

Une équation trigonométrique est une équation dont l'inconnue $x$ figure dans un cosinus, un sinus ou une tangente. La résoudre, c'est déterminer tous les réels $x$ qui la vérifient.

Dans tout le chapitre, $α$ désigne un angle particulier dont on connaît la valeur exacte de la ligne trigonométrique, et $k$ parcourt $Z$ .

10.2 Résolution de l'équation $cos x = a$

◆Théorème 10.2Équation

cos x = a

Soit $a$ un réel.

Si $∣ a ∣ > 1$ , l'équation $cos x = a$ n'a aucune solution (le cosinus est toujours compris entre $- 1$ et $1$ ).
Si $∣ a ∣ \leq 1$ , il existe un réel $α$ tel que $cos α = a$ , et les solutions sont :

$cos x = a ⟺ x = α + 2 k π ou x = - α + 2 k π, k \in Z .$

Important

Deux angles ont le même cosinus si et seulement s'ils sont égaux ou opposés (modulo $2 π$ ). Géométriquement, les solutions sont les abscisses des deux points du cercle situés sur la verticale d'abscisse $a$ : ils sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

Exemple 10.3

Résolvons $cos x = \frac{1}{2}$ . Comme $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ , on prend $α = \frac{π}{3}$ :

$x = \frac{π}{3} + 2 k π ou x = - \frac{π}{3} + 2 k π, k \in Z .$

Méthode : Résoudre $cos x = a$

Vérifier que $∣ a ∣ \leq 1$ ; sinon, conclure qu'il n'y a pas de solution.
Trouver un angle de référence $α$ tel que $cos α = a$ (à l'aide des valeurs remarquables : $0$ , $\frac{π}{6}$ , $\frac{π}{4}$ , $\frac{π}{3}$ , $\frac{π}{2}$ , $π$ ).
Écrire les deux familles de solutions $x = \pm α + 2 k π$ .

Exemple 10.4

Pour $cos x = - \frac{2}{2}$ , on cherche $α$ avec $cos α = - \frac{2}{2}$ : c'est $α = \frac{3 π}{4}$ . D'où

$x = \frac{3 π}{4} + 2 k π ou x = - \frac{3 π}{4} + 2 k π, k \in Z .$

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Trigonométrie 2

10.1 Rappels et conventions

10.2 Résolution de l'équation cosx=a

Méthode : Résoudre cosx=a

10.2 Résolution de l'équation $cos x = a$

Méthode : Résoudre $cos x = a$