Le produit scalaire

Cours · mathématiques (Tronc Commun Sciences, Maroc), chapitre 9 · Maroc, Tronc Commun Sciences · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le produit scalaire est une opération qui, à deux vecteurs du plan, associe un nombre réel. Contrairement à l'addition de vecteurs ou à la multiplication par un réel, son résultat n'est pas un vecteur mais un scalaire : c'est de là que vient son nom. Cet outil, introduit en Tronc Commun, relie la géométrie des longueurs et des angles au calcul algébrique. Il permet de mesurer des longueurs, de déterminer des angles et, surtout, de traduire simplement l'orthogonalité de deux directions. Ce chapitre en présente les différentes expressions, ses propriétés de calcul, ainsi que ses premières applications.

9.1 Définition à partir des normes et de l'angle

Définition 9.1Produit scalaire de deux vecteurs

Soient $u$ et $v$ deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de $u$ et $v$ le nombre réel, noté $u \cdot v$ , défini par :

si $u \neq = 0$ et $v \neq = 0$ : $u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times cos ((u, v))$ ;
si $u = 0$ ou $v = 0$ : $u \cdot v = 0$ .

Ici $∥ u ∥$ et $∥ v ∥$ désignent les normes (longueurs) des vecteurs, et $(u, v)$ l'angle géométrique qu'ils forment.

Important

Le signe du produit scalaire dépend uniquement de l'angle, car les normes sont toujours positives :

$u \cdot v > 0$ lorsque l'angle est aigu ( $cos > 0$ ) ;
$u \cdot v < 0$ lorsque l'angle est obtus ( $cos < 0$ ) ;
$u \cdot v = 0$ lorsque l'angle est droit ( $cos = 0$ ).

Exemple 9.2

Soient deux vecteurs tels que $∥ u ∥ = 3$ , $∥ v ∥ = 4$ et $(u, v) = 6 0^{\circ}$ . Alors :

$u \cdot v = 3 \times 4 \times cos (6 0^{\circ}) = 12 \times \frac{1}{2} = 6.$

9.2 Expression à l'aide de la projection

Propriété : Produit scalaire et projeté orthogonal

Soient $u = A B$ et $v = A C$ deux vecteurs non nuls. Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(A B)$ . Alors :

$u \cdot v = A B \cdot A H .$

Ce produit vaut $A B \times A H$ si $A H$ et $A B$ ont le même sens, et $- A B \times A H$ s'ils sont de sens contraires.

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