La projection dans le plan

Cours · mathématiques (Tronc Commun Sciences, Maroc), chapitre 8 · Maroc, Tronc Commun Sciences · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La projection est une transformation géométrique du plan qui consiste à « rabattre » chaque point sur une droite fixe, en suivant une direction donnée. C'est un outil fondamental de la géométrie du Tronc Commun : il permet de transporter des informations d'une droite vers une autre tout en conservant des propriétés essentielles (alignement, milieu, rapports de longueurs). La projection éclaire en particulier le célèbre théorème de Thalès, qui en devient une conséquence naturelle, et fournit, avec la projection orthogonale, le point de départ de la trigonométrie et du calcul de distances.

8.1 La projection sur une droite

Définition 8.1Projection sur une droite parallèlement à une direction

Soient $(D)$ et $(Δ)$ deux droites sécantes du plan. À tout point $M$ du plan, on associe le point $M^{'}$ défini comme l'intersection de la droite $(D)$ avec la parallèle à $(Δ)$ passant par $M$ . Le point $M^{'}$ est appelé le projeté de $M$ sur la droite $(D)$ parallèlement à la droite $(Δ)$ . La transformation $p$ qui à $M$ associe $M^{'}$ est la projection sur $(D)$ parallèlement à $(Δ)$ .

Important

Les deux droites $(D)$ et $(Δ)$ doivent être sécantes : si elles étaient parallèles, la construction n'aurait pas de sens (pas d'intersection unique). On dit que $(D)$ est la droite support (ou droite de projection) et que $(Δ)$ donne la direction de projection.

Propriété : Premières propriétés

Soit $p$ la projection sur $(D)$ parallèlement à $(Δ)$ .

Si $M$ appartient à $(D)$ , alors son projeté est lui-même : $p (M) = M$ . On dit que les points de $(D)$ sont invariants.
Deux points $M$ et $N$ ont le même projeté si et seulement si la droite $(M N)$ est parallèle à $(Δ)$ (ou $M = N$ ).
Projeter un projeté ne change rien : $p (p (M)) = p (M)$ . La projection est dite idempotente.

Exemple 8.2

Dans un repère, considérons $(D)$ l'axe des abscisses et $(Δ)$ l'axe des ordonnées (projection « verticale »). Le projeté du point $M (3; 5)$ sur $(D)$ parallèlement à $(Δ)$ est le point $M^{'} (3; 0)$ : on conserve l'abscisse et on annule l'ordonnée.

8.2 Conservation de l'alignement et du milieu

◆Théorème 8.3Conservation de l'alignement

La projection conserve l'alignement : si trois points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés, alors leurs projetés $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ sont alignés (ils appartiennent tous à $(D)$ ). Plus précisément, l'image par $p$ d'une droite non parallèle à $(Δ)$ est la droite $(D)$ tout entière, et l'image d'une droite parallèle à $(Δ)$ est un point unique de $(D)$ .

◆Théorème 8.4Conservation du milieu

La projection conserve le milieu : si $I$ est le milieu du segment $[A B]$ , alors le projeté $I^{'}$ de $I$ est le milieu du segment $[A^{'} B^{'}]$ .

Exemple 8.5

Si $A^{'}$ et $B^{'}$ sont les projetés de $A$ et $B$ , le projeté du milieu de $[A B]$ se construit simplement en prenant le milieu de $[A^{'} B^{'}]$ : on n'a pas besoin de projeter à nouveau. Cette propriété est très utile pour transporter des constructions d'une droite à l'autre.

8.3 Conservation du coefficient de colinéarité

C'est la propriété la plus puissante de la projection : elle conserve non seulement l'alignement, mais aussi les rapports dans lesquels les points se partagent.

◆Théorème 8.6Conservation du coefficient de colinéarité

Soient $A$ , $B$ , $C$ trois points dont les projetés respectifs sur $(D)$ parallèlement à $(Δ)$ sont $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ . Si

$A B = k A C (k \in R),$

alors les projetés vérifient le même coefficient :

$A^{'} B^{'} = k A^{'} C^{'} .$

Important

Autrement dit, la projection conserve le rapport algébrique $\frac{A ^{'} B ^{'}}{A ^{'} C ^{'}} = \frac{A B}{A C}$ . C'est ce résultat qui contient, à lui seul, le théorème de Thalès. La projection ne conserve pas les longueurs ni les angles en général ; elle ne conserve que les rapports de mesures algébriques portées par des droites de même direction.

Méthode : Calculer un rapport par projection

Pour déterminer dans quel rapport un point $C$ partage un segment, on peut projeter la configuration sur une droite bien choisie (par exemple un axe du repère) où les calculs de mesures algébriques sont immédiats. Le coefficient $k$ obtenu sur les projetés est exactement celui de la configuration de départ.

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