Trigonométrie 1

Cours · mathématiques (Tronc Commun Sciences, Maroc), chapitre 7 · Maroc, Tronc Commun Sciences · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La trigonométrie étudie les relations entre les angles et les longueurs. Dans ce chapitre du tronc commun scientifique, on introduit une nouvelle unité de mesure des angles, le radian, puis on construit le cercle trigonométrique qui permet de repérer un angle par un point et de définir les lignes trigonométriques $cos x$ , $sin x$ et $tan x$ pour un réel $x$ quelconque. On dégage enfin les valeurs remarquables, les relations fondamentales et les formules des angles associés, outils indispensables pour la résolution d'équations et l'étude des fonctions trigonométriques.

7.1 Le radian et la mesure des angles

Définition 7.1Radian

Le radian (symbole rad) est la mesure d'un angle au centre d'un cercle qui intercepte un arc dont la longueur est égale au rayon de ce cercle. Un angle plein vaut $2 π$ radians, ce qui correspond à $360°$ .

Propriété : Conversion degré–radian

La mesure $α$ en degrés et la mesure $x$ en radians d'un même angle sont proportionnelles :

$\frac{x}{π} = \frac{α}{180} .$

On passe donc des degrés aux radians en multipliant par $\frac{π}{180}$ , et des radians aux degrés en multipliant par $\frac{180}{π}$ .

Exemple 7.2

Quelques conversions usuelles :

$30° = 30 \times \frac{π}{180} = \frac{π}{6}$ rad ;
$45° = \frac{π}{4}$ rad ; $60° = \frac{π}{3}$ rad ; $90° = \frac{π}{2}$ rad ;
$180° = π$ rad ; $360° = 2 π$ rad.

Important

Le radian est l'unité de référence en analyse : c'est avec des angles en radians que les formules de dérivation des fonctions $sin$ et $cos$ prennent leur forme la plus simple. Sauf mention contraire, un angle est toujours exprimé en radians.

7.2 Le cercle trigonométrique

Définition 7.3Cercle trigonométrique

Le plan étant muni d'un repère orthonormé direct $(O, , )$ , on appelle cercle trigonométrique le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ , orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre, appelé sens positif).

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