Droites dans le plan

Cours · mathématiques (Tronc Commun Sciences, Maroc), chapitre 6 · Maroc, Tronc Commun Sciences · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La droite est l'objet géométrique le plus simple du plan, mais sa traduction en langage des coordonnées et des vecteurs est l'un des outils les plus puissants du tronc commun. Dans un repère $(O, i, j)$ , une droite peut être décrite de plusieurs façons équivalentes : par un point et une direction, par une équation cartésienne $a x + b y + c = 0$ , ou par une équation réduite $y = m x + p$ . Ce chapitre met en place ces différentes caractérisations, introduit le vecteur directeur et le coefficient directeur, puis en déduit des critères simples pour reconnaître le parallélisme et étudier les positions relatives de deux droites.

6.1 Caractérisation d'une droite par un point et un vecteur directeur

Définition 6.1Vecteur directeur

On dit qu'un vecteur non nul $u$ est un vecteur directeur d'une droite $(D)$ lorsque sa direction est celle de $(D)$ , c'est-à-dire lorsqu'il existe deux points distincts $A$ et $B$ de $(D)$ tels que $u = A B$ .

Important

Une droite admet une infinité de vecteurs directeurs : si $u$ en est un, alors tout vecteur $k u$ (avec $k \neq = 0$ ) en est aussi un. Tous les vecteurs directeurs d'une même droite sont colinéaires entre eux.

Propriété : Droite définie par un point et un vecteur directeur

Soient $A$ un point du plan et $u$ un vecteur non nul. Il existe une unique droite $(D)$ passant par $A$ et de vecteur directeur $u$ . Un point $M$ appartient à $(D)$ si et seulement si le vecteur $A M$ est colinéaire à $u$ :

$M \in (D) ⟺ \exists t \in R, A M = t u .$

Exemple 6.2

La droite passant par $A (1, 2)$ et de vecteur directeur $u (3, - 1)$ est l'ensemble des points $M (x, y)$ tels que $A M = t u$ , soit $x - 1 = 3 t$ et $y - 2 = - t$ . En éliminant le paramètre $t$ , on retrouvera l'équation de la droite.

6.2 Équation cartésienne d'une droite

◆Théorème 6.3Équation cartésienne

Dans un repère $(O, i, j)$ , toute droite $(D)$ admet une équation de la forme :

$a x + b y + c = 0, avec (a, b) \neq = (0, 0) .$

Cette équation est appelée une équation cartésienne de $(D)$ . Réciproquement, tout ensemble de points $M (x, y)$ vérifiant une telle équation est une droite.

Propriété : Vecteur directeur lu sur l'équation cartésienne

Si $(D)$ a pour équation cartésienne $a x + b y + c = 0$ , alors le vecteur

$u (- b, a)$

est un vecteur directeur de $(D)$ .

Important

L'équation cartésienne d'une droite n'est pas unique : en multipliant les coefficients $a$ , $b$ , $c$ par un même réel non nul, on obtient une équation de la même droite. Par exemple $2 x - y + 4 = 0$ et $- 4 x + 2 y - 8 = 0$ décrivent la même droite.

Méthode : Trouver une équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur directeur

Soit $(D)$ passant par $A (x_{A}, y_{A})$ et de vecteur directeur $u (α, β)$ . Un point $M (x, y)$ appartient à $(D)$ si et seulement si $A M$ et $u$ sont colinéaires, c'est-à-dire si leur déterminant est nul :

$x - x_{A} y - y_{A} α β = 0 ⟺ β (x - x_{A}) - α (y - y_{A}) = 0.$

On développe ensuite pour obtenir une équation de la forme $a x + b y + c = 0$ .

Exemple 6.4

Reprenons $A (1, 2)$ et $u (3, - 1)$ . Le déterminant de $A M (x - 1, y - 2)$ et de $u (3, - 1)$ donne :

$(- 1) (x - 1) - 3 (y - 2) = 0 ⟺ - x - 3 y + 7 = 0,$

soit l'équation cartésienne $x + 3 y - 7 = 0$ .

6.3 Équation réduite et coefficient directeur

Définition 6.5Équation réduite

Une droite non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation de la forme :

$y = m x + p .$

Cette équation est appelée équation réduite de la droite. Le réel $m$ est le coefficient directeur (ou pente) et le réel $p$ est l'ordonnée à l'origine : c'est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.

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