Suites numériques et modèles discrets

Cours complet · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 1 · terminale, option mathématiques complémentaires

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Une population de bactéries que l'on compte chaque heure, le capital d'un compte rémunéré chaque année, la concentration d'un médicament relevée à chaque prise : ces grandeurs ne varient pas continûment sous notre regard, nous les observons à intervalles réguliers. Une suite est exactement cela — une grandeur indexée par les étapes successives d'une observation. C'est le premier des deux langages de la modélisation ; l'autre, celui des fonctions, viendra au chapitre suivant, et tout l'intérêt sera de les mettre en regard.

Problématique. Que devient une suite quand $n$ devient grand ? Comment reconnaître, dans un énoncé, le modèle qui convient — et comment lire son comportement sans calculer mille termes ?

1.1 Le comportement d'une suite quand $n$ devient grand

1.1.1 Une approche intuitive de la limite

Le programme est explicite : la notion de limite fait l'objet d'une approche intuitive, et sa formalisation n'est pas exigible. Nous décrivons donc un comportement, appuyé sur les valeurs et sur le graphique.

Définition 1.1Limite d'une suite, approche intuitive

Soit $(u_{n})$ une suite numérique.

$(u_{n})$ a pour limite le réel $ℓ$ lorsque les termes $u_{n}$ deviennent, et restent, aussi proches de $ℓ$ que l'on veut dès que $n$ est assez grand. On note $n \to + \infty lim u_{n} = ℓ$ et l'on dit que la suite converge vers $ℓ$ .
$(u_{n})$ a pour limite $+ \infty$ lorsque ses termes finissent par dépasser n'importe quel seuil fixé à l'avance, et à rester au-dessus. On note $n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$ .
Une suite qui ne converge pas est dite divergente : soit parce qu'elle tend vers $\pm \infty$ , soit parce qu'elle n'a pas de limite du tout.

Proposition 1.2Opérations sur les limites (admises)

Les règles de calcul sur les limites de sommes, de produits et de quotients sont celles rencontrées en première, et sont admises. Elles laissent subsister quatre formes indéterminées, où le seul énoncé des limites ne permet pas de conclure :

$\infty - \infty, 0 \times \infty, \frac{\infty}{\infty}, \frac{0}{0} .$

Devant l'une d'elles, il faut transformer l'écriture : factoriser par le terme dominant, simplifier, ou reconnaître une forme connue.

Proposition 1.3Comparaison et théorème des gendarmes

Soient $(u_{n})$ , $(v_{n})$ , $(w_{n})$ trois suites.

Si $u_{n} \leq v_{n}$ à partir d'un certain rang et si $lim u_{n} = + \infty$ , alors $lim v_{n} = + \infty$ .
Si $u_{n} \leq v_{n}$ à partir d'un certain rang et si les deux suites convergent, alors $lim u_{n} \leq lim v_{n}$ : le passage à la limite conserve les inégalités larges, mais pas les strictes.
Théorème des gendarmes : si $u_{n} \leq v_{n} \leq w_{n}$ à partir d'un certain rang et si $(u_{n})$ et $(w_{n})$ convergent vers la même limite $ℓ$ , alors $(v_{n})$ converge aussi vers $ℓ$ .

Exemple 1.4Une inégalité stricte qui ne survit pas

Pour tout $n \geq 1$ , on a $0 < \frac{1}{n}$ , inégalité stricte à chaque rang. Pourtant $lim \frac{1}{n} = 0$ : à la limite, l'inégalité stricte est devenue une égalité. C'est la raison pour laquelle on n'écrit jamais $lim u_{n} < lim v_{n}$ à partir de $u_{n} < v_{n}$ .

1.2 Les suites géométriques

1.2.1 Limite d'une suite géométrique

◆Théorème 1.5Limite de

q^{n}

pour

q > 0

Soit $q$ un réel strictement positif. La suite $(q^{n})$ a le comportement suivant :

$n \to + \infty lim q^{n} = ⎩ ⎨ ⎧ + \infty 10 si q > 1, si q = 1, si 0 < q < 1.$

Par conséquent, une suite géométrique $u_{n} = u_{0} q^{n}$ de raison $q > 0$ et de premier terme $u_{0} \neq = 0$ converge si et seulement si $0 < q \leq 1$ .

1.2.2 Somme des termes d'une suite géométrique

◆Théorème 1.6Somme des premiers termes

Pour $q \neq = 1$ et $n \in N$ :

$1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q} .$

Si $0 < q < 1$ , alors $q^{n + 1} \to 0$ , et donc

$n \to + \infty lim (1 + q + q^{2} + \dots + q^{n}) = \frac{1}{1 - q} .$

Démonstration ((exigible))

Notons $S_{n} = 1 + q + \dots + q^{n}$ . En multipliant par $q$ :

$q S_{n} = q + q^{2} + \dots + q^{n + 1} .$

Les deux sommes ont tous leurs termes communs sauf le premier de l'une et le dernier de l'autre ; en soustrayant :

$S_{n} - q S_{n} = 1 - q^{n + 1}, soit (1 - q) S_{n} = 1 - q^{n + 1} .$

Comme $q \neq = 1$ , on peut diviser par $1 - q$ , ce qui donne la formule. Si de plus $0 < q < 1$ , le théorème précédent donne $q^{n + 1} \to 0$ , d'où $S_{n} \to \frac{1}{1 - q}$ .

1.3 Les suites arithmético-géométriques

Beaucoup de modèles combinent un facteur multiplicatif et un apport constant : une population qui se renouvelle et que l'on complète chaque année, un capital qui produit des intérêts et auquel on ajoute un versement, une concentration qui décroît et que l'on réalimente à chaque prise. Toutes conduisent à la même forme.

Définition 1.7Suite arithmético-géométrique

Une suite $(u_{n})$ est arithmético-géométrique lorsqu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $n$ :

$u_{n + 1} = a u_{n} + b .$

Le cas $a = 1$ redonne une suite arithmétique, le cas $b = 0$ une suite géométrique.

Méthode : Étudier une suite arithmético-géométrique

Le programme indique explicitement la marche à suivre.

Chercher la solution constante. On cherche le réel $c$ tel que la suite constante égale à $c$ vérifie la relation : $c = a c + b$ . Si $a \neq = 1$ , cette équation a une unique solution

$c = \frac{b}{1 - a} .$

Ce nombre $c$ est le point fixe : la valeur d'équilibre du modèle.

Se ramener à une suite géométrique. On pose $v_{n} = u_{n} - c$ . Alors

$v_{n + 1} = u_{n + 1} - c = (a u_{n} + b) - (a c + b) = a (u_{n} - c) = a v_{n},$

donc $(v_{n})$ est géométrique de raison $a$ .

Conclure. On en déduit $v_{n} = v_{0} a^{n}$ , puis

$u_{n} = c + (u_{0} - c) a^{n} .$

Le comportement se lit alors immédiatement : si $0 < a < 1$ , la suite converge vers $c$ quel que soit $u_{0}$ ; si $a > 1$ , elle s'en éloigne.

Exemple 1.8Une concentration médicamenteuse

Un patient reçoit chaque jour une dose apportant $20 mg$ de principe actif. Entre deux prises, l'organisme élimine $30 %$ de la quantité présente. On note $u_{n}$ la quantité (en mg) présente juste après la prise de rang $n$ , la première portant le rang $0$ , avec $u_{0} = 20$ .

Entre deux prises il reste $70 %$ de la quantité, puis on ajoute $20$ :

$u_{n + 1} = 0, 7 u_{n} + 20.$

Point fixe : $c = 0, 7 c + 20$ donne $0, 3 c = 20$ , soit $c = \frac{20}{0 , 3} \approx 66, 7$ .

Suite auxiliaire : $v_{n} = u_{n} - \frac{200}{3}$ est géométrique de raison $0, 7$ , avec $v_{0} = 20 - \frac{200}{3} = - \frac{140}{3}$ . Donc

$u_{n} = \frac{200}{3} - \frac{140}{3} \times 0, 7^{n} .$

Comme $0 < 0, 7 < 1$ , on a $0, 7^{n} \to 0$ et donc $u_{n} \to \frac{200}{3} \approx 66, 7 mg$ : la quantité présente dans l'organisme se stabilise, elle n'augmente pas indéfiniment. C'est le plateau recherché par la posologie.

1.4 Suites définies par une relation $u_{n + 1} = f (u_{n})$

Méthode : Représenter graphiquement une suite récurrente

Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ dans lui-même, et $u_{n + 1} = f (u_{n})$ .

Tracer la courbe de $f$ et la droite d'équation $y = x$ .
Placer $u_{0}$ sur l'axe des abscisses.
Monter verticalement jusqu'à la courbe : on lit $u_{1} = f (u_{0})$ en ordonnée.
Se déplacer horizontalement jusqu'à la droite $y = x$ : on reporte $u_{1}$ en abscisse.
Recommencer. La construction « en escalier » (ou « en escargot ») fait apparaître le comportement de la suite.

Les points d'intersection de la courbe et de la droite sont les points fixes de $f$ : ce sont les seules limites possibles d'une telle suite, si elle converge.

1.5 Algorithmique : la recherche de seuil

Méthode : Chercher le premier rang qui dépasse un seuil

Quand on ne sait pas combien d'étapes seront nécessaires, on utilise une boucle while : on avance tant que la condition d'arrêt n'est pas atteinte, et l'on compte les tours.


def seuil_concentration(cible):
    """Premier jour ou la quantite presente depasse `cible` (en mg).
    Modele : u_{n+1} = 0.7 * u_n + 20, avec u_0 = 20."""
    u = 20.0
    n = 0
    while u <= cible:
        u = 0.7 * u + 20      # on passe au jour suivant
        n = n + 1
    return n

print(seuil_concentration(60))   # 6
print(seuil_concentration(66))   # 12

Exemple 1.9Ce que l'algorithme dit, et ce qu'il ne dit pas

L'appel seuil_concentration(60) renvoie $6$ : il faut six jours pour dépasser $60 mg$ . Mais seuil_concentration(70) ne s'arrêterait jamais : la suite converge vers $\approx 66, 7$ et ne dépassera pas $70$ . Un programme de recherche de seuil ne termine que si l'on a d'abord établi, par le calcul, que le seuil est effectivement atteint.

1.6 Bilan

Proposition 1.10L'essentiel du chapitre

La limite est décrite de façon intuitive : ce que deviennent les termes quand $n$ grandit, sans jamais revenir en arrière.
Pour $q > 0$ : $q^{n} \to + \infty$ si $q > 1$ , $q^{n} \to 0$ si $0 < q < 1$ . Et pour $0 < q < 1$ , $1 + q + \dots + q^{n} \to \frac{1}{1 - q}$ .
Une suite arithmético-géométrique $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ s'étudie en trois temps : point fixe $c = \frac{b}{1 - a}$ , suite auxiliaire $v_{n} = u_{n} - c$ géométrique de raison $a$ , puis $u_{n} = c + (u_{0} - c) a^{n}$ .
Une suite $u_{n + 1} = f (u_{n})$ se lit graphiquement « en escalier » entre la courbe et la droite $y = x$ ; ses seules limites possibles sont les points fixes de $f$ .
Une recherche de seuil s'écrit avec une boucle while — à condition d'avoir vérifié que le seuil est atteignable.

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