Suites numériques et modèles discrets

Cours · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 1 · terminale, option mathématiques complémentaires · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Diagramme en toile d'une suite récurrente qui converge vers le point fixe, intersection de la courbe et de la droite y = x.

Une population de bactéries que l'on compte chaque heure, le capital d'un compte rémunéré chaque année, la concentration d'un médicament relevée à chaque prise : ces grandeurs ne varient pas continûment sous notre regard, nous les observons à intervalles réguliers. Une suite est exactement cela — une grandeur indexée par les étapes successives d'une observation. C'est le premier des deux langages de la modélisation ; l'autre, celui des fonctions, viendra au chapitre suivant, et tout l'intérêt sera de les mettre en regard.

Problématique. Que devient une suite quand $n$ devient grand ? Comment reconnaître, dans un énoncé, le modèle qui convient — et comment lire son comportement sans calculer mille termes ?

1.1 Le comportement d'une suite quand $n$ devient grand

1.1.1 Une approche intuitive de la limite

Le programme est explicite : la notion de limite fait l'objet d'une approche intuitive, et sa formalisation n'est pas exigible. Nous décrivons donc un comportement, appuyé sur les valeurs et sur le graphique.

Définition 1.1Limite d'une suite, approche intuitive

Soit $(u_{n})$ une suite numérique.

$(u_{n})$ a pour limite le réel $ℓ$ lorsque les termes $u_{n}$ deviennent, et restent, aussi proches de $ℓ$ que l'on veut dès que $n$ est assez grand. On note $n \to + \infty lim u_{n} = ℓ$ et l'on dit que la suite converge vers $ℓ$ .
$(u_{n})$ a pour limite $+ \infty$ lorsque ses termes finissent par dépasser n'importe quel seuil fixé à l'avance, et à rester au-dessus. On note $n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$ .
Une suite qui ne converge pas est dite divergente : soit parce qu'elle tend vers $\pm \infty$ , soit parce qu'elle n'a pas de limite du tout.

Proposition 1.2Opérations sur les limites (admises)

Les règles de calcul sur les limites de sommes, de produits et de quotients sont celles rencontrées en première, et sont admises. Elles laissent subsister quatre formes indéterminées, où le seul énoncé des limites ne permet pas de conclure :

$\infty - \infty, 0 \times \infty, \frac{\infty}{\infty}, \frac{0}{0} .$

Devant l'une d'elles, il faut transformer l'écriture : factoriser par le terme dominant, simplifier, ou reconnaître une forme connue.

Proposition 1.3Comparaison et théorème des gendarmes

Soient $(u_{n})$ , $(v_{n})$ , $(w_{n})$ trois suites.

Si $u_{n} \leq v_{n}$ à partir d'un certain rang et si $lim u_{n} = + \infty$ , alors $lim v_{n} = + \infty$ .
Si $u_{n} \leq v_{n}$ à partir d'un certain rang et si les deux suites convergent, alors $lim u_{n} \leq lim v_{n}$ : le passage à la limite conserve les inégalités larges, mais pas les strictes.
Théorème des gendarmes : si $u_{n} \leq v_{n} \leq w_{n}$ à partir d'un certain rang et si $(u_{n})$ et $(w_{n})$ convergent vers la même limite $ℓ$ , alors $(v_{n})$ converge aussi vers $ℓ$ .

Exercices du chapitre

Une forme indéterminée (nappe phréatique) corrigé
Le théorème des gendarmes (surveillance épidémiologique) corrigé
Un plan d'épargne (un point fixe sans plateau) corrigé
Un stock de poissons (représentation en escalier) corrigé
Une épidémie entretenue par les importations corrigé
Problème — Le phosphore d'un lac (géosciences) corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre

Suites numériques et modèles discrets

1.1 Le comportement d'une suite quand n devient grand

1.1.1 Une approche intuitive de la limite

Exercices du chapitre

1.1 Le comportement d'une suite quand $n$ devient grand