Limites, continuité, valeurs intermédiaires

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Théorème des valeurs intermédiaires : une fonction continue sur [a, b] atteint la valeur k en un point c.

Le chapitre précédent observait une grandeur à intervalles réguliers. Nous passons maintenant au modèle continu : la variable prend toutes les valeurs d'un intervalle. Les questions restent les mêmes — que devient la grandeur aux bornes du domaine ? l'équation $f (x) = k$ a-t-elle une solution, et combien ? — mais les outils changent.

Problématique. Comment décrire le comportement d'une fonction là où l'on ne peut pas calculer, et comment garantir qu'une équation admet une solution sans savoir la résoudre ?

2.1 Limites d'une fonction

2.1.1 Une description, pas une définition formelle

Le programme précise que la formalisation de la notion de limite n'est pas un attendu. Nous décrivons donc, comme pour les suites, un comportement.

Définition 2.1Limites, approche intuitive

Soit $f$ une fonction et $a$ un réel.

$x \to + \infty lim f (x) = ℓ$ signifie que $f (x)$ devient et reste aussi proche de $ℓ$ que l'on veut dès que $x$ est assez grand. La droite d'équation $y = ℓ$ est alors asymptote horizontale à la courbe.
$x \to a lim f (x) = \pm \infty$ signifie que $∣ f (x) ∣$ dépasse tout seuil dès que $x$ est assez proche de $a$ . La droite d'équation $x = a$ est alors asymptote verticale.

Proposition 2.2Limites des fonctions de référence

$x \to + \infty lim x^{2} = x \to + \infty lim x^{3} = x \to + \infty lim x = x \to + \infty lim e^{x} = x \to + \infty lim ln x = + \infty,$

$x \to + \infty lim \frac{1}{x} = 0, x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} = + \infty, x \to - \infty lim e^{x} = 0, x \to 0^{+} lim ln x = - \infty.$

Les opérations sur les limites sont admises, et laissent subsister les mêmes quatre formes indéterminées que pour les suites.

Méthode : Lever une indétermination dans un quotient

Devant $\frac{\infty}{\infty}$ pour un quotient de polynômes, factoriser au numérateur et au dénominateur par le terme de plus haut degré, puis simplifier.

Exercices du chapitre

Un barème qui ne saute pas corrigé
Deux médicaments se croisent corrigé
Combien de fois le lac repasse-t-il par $40$ tonnes ? corrigé
Dater le refroidissement d'une coulée de lave corrigé
Remonter de la concentration à la dose corrigé
Problème — La fenêtre thérapeutique d'un antibiotique corrigé

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