Limites, continuité, valeurs intermédiaires

Cours complet · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 2 · terminale, option mathématiques complémentaires

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Le chapitre précédent observait une grandeur à intervalles réguliers. Nous passons maintenant au modèle continu : la variable prend toutes les valeurs d'un intervalle. Les questions restent les mêmes — que devient la grandeur aux bornes du domaine ? l'équation $f (x) = k$ a-t-elle une solution, et combien ? — mais les outils changent.

Problématique. Comment décrire le comportement d'une fonction là où l'on ne peut pas calculer, et comment garantir qu'une équation admet une solution sans savoir la résoudre ?

2.1 Limites d'une fonction

2.1.1 Une description, pas une définition formelle

Le programme précise que la formalisation de la notion de limite n'est pas un attendu. Nous décrivons donc, comme pour les suites, un comportement.

Définition 2.1Limites, approche intuitive

Soit $f$ une fonction et $a$ un réel.

$x \to + \infty lim f (x) = ℓ$ signifie que $f (x)$ devient et reste aussi proche de $ℓ$ que l'on veut dès que $x$ est assez grand. La droite d'équation $y = ℓ$ est alors asymptote horizontale à la courbe.
$x \to a lim f (x) = \pm \infty$ signifie que $∣ f (x) ∣$ dépasse tout seuil dès que $x$ est assez proche de $a$ . La droite d'équation $x = a$ est alors asymptote verticale.

Proposition 2.2Limites des fonctions de référence

$x \to + \infty lim x^{2} = x \to + \infty lim x^{3} = x \to + \infty lim x = x \to + \infty lim e^{x} = x \to + \infty lim ln x = + \infty,$

$x \to + \infty lim \frac{1}{x} = 0, x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} = + \infty, x \to - \infty lim e^{x} = 0, x \to 0^{+} lim ln x = - \infty.$

Les opérations sur les limites sont admises, et laissent subsister les mêmes quatre formes indéterminées que pour les suites.

Méthode : Lever une indétermination dans un quotient

Devant $\frac{\infty}{\infty}$ pour un quotient de polynômes, factoriser au numérateur et au dénominateur par le terme de plus haut degré, puis simplifier.

Exemple 2.3Une concentration qui plafonne

La concentration d'un principe actif dans le sang, en fonction de la dose $x$ administrée, est modélisée par

$C (x) = \frac{4 x}{x + 3}, x \geq 0.$

Pour $x \to + \infty$ , on factorise par $x$ :

$C (x) = \frac{4 x}{x ( 1 + \frac{3}{x} )} = \frac{4}{1 + \frac{3}{x}} x \to + \infty \frac{4}{1} = 4.$

La concentration plafonne à $4$ : augmenter indéfiniment la dose n'augmente pas indéfiniment l'effet. C'est un phénomène de saturation, dont l'asymptote horizontale donne la valeur exacte.

2.2 Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Définition 2.4Continuité, approche intuitive

Une fonction est continue sur un intervalle lorsque sa courbe s'y trace sans lever le crayon. On admet que toute fonction dérivable sur un intervalle y est continue ; en particulier les polynômes, les fonctions rationnelles sur leur domaine, la racine carrée, l'exponentielle et le logarithme sont continus.

◆Théorème 2.5Théorème des valeurs intermédiaires — admis

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ . Pour tout réel $k$ compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet au moins une solution dans $[a, b]$ .

◆Théorème 2.6Cas d'une fonction strictement monotone

Si de plus $f$ est strictement monotone sur $[a, b]$ , alors cette solution est unique.

Méthode : Rédiger l'application du théorème

Trois éléments sont exigés, et leur oubli coûte les points :

$f$ est continue sur l'intervalle considéré — le dire, et dire pourquoi ;
$f$ est strictement monotone sur cet intervalle, ce qui se lit sur le tableau de variation : c'est ce point qui donne l'unicité ;
$k$ est compris entre les valeurs aux bornes.

On conclut alors : « l'équation $f (x) = k$ admet une unique solution $α$ dans cet intervalle ».

Exemple 2.7Compter les solutions sur le tableau de variation

Reprenons la fonction de la figure, $f (x) = 0, 6 x^{3} - 3, 6 x^{2} + 6 x + 0, 4$ sur $[0; 4]$ , et l'équation $f (x) = 3$ . Sa dérivée $f^{'} (x) = 1, 8 x^{2} - 7, 2 x + 6$ s'annule en deux points, ce qui découpe $[0; 4]$ en trois intervalles de stricte monotonie. Sur chacun d'eux le théorème s'applique et donne une solution : l'équation en a donc exactement trois. Le tableau de variation ne sert pas à décorer — c'est lui qui compte les solutions.

2.3 Encadrer une solution

Méthode : La dichotomie

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a, b]$ , avec $f (a)$ et $f (b)$ de part et d'autre de $k$ , on encadre la solution en coupant l'intervalle en deux à chaque étape et en gardant la moitié qui contient encore la solution. Après $n$ étapes, l'amplitude vaut $\frac{b - a}{2 ^{n}}$ : elle est divisée par deux à chaque tour.


def dichotomie(f, a, b, k, precision):
    # Encadre une solution de f(x) = k dans [a, b], a la precision demandee.
    # Hypothese : f continue et strictement monotone sur [a, b],
    # avec f(a) - k et f(b) - k de signes contraires.
    while b - a > precision:
        m = (a + b) / 2
        if (f(a) - k) * (f(m) - k) <= 0:
            b = m            # la solution est dans la moitie gauche
        else:
            a = m            # elle est dans la moitie droite
    return a, b

f = lambda x: 0.6*x**3 - 3.6*x**2 + 6*x + 0.4
print(dichotomie(f, 2.82, 4, 3, 0.001))   # encadre la troisieme solution

Exemple 2.8Combien d'étapes ?

Sur $[0; 4]$ , l'amplitude initiale vaut $4$ . Pour une précision de $1 0^{- 3}$ , il faut $\frac{4}{2 ^{n}} \leq 1 0^{- 3}$ , soit $2^{n} \geq 4000$ : douze étapes suffisent, puisque $2^{12} = 4096$ . La dichotomie paraît lente et se révèle redoutablement efficace : chaque tour gagne un chiffre binaire.

2.4 Fonction réciproque

Le programme demande d'illustrer la notion de fonction réciproque, sans développement théorique. Deux couples y suffisent : $x \mapsto x^{2}$ et $x \mapsto x$ sur $[0; + \infty [$ , puis l'exponentielle et le logarithme.

Proposition 2.9Lecture graphique

Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle, elle admet une fonction réciproque, qui à chaque valeur atteinte associe l'antécédent correspondant. Les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$ .

2.5 Bilan

Proposition 2.10L'essentiel du chapitre

Les limites se décrivent, elles ne se formalisent pas ici. Une limite finie en l'infini donne une asymptote horizontale, une limite infinie en un point une asymptote verticale.
Devant une forme indéterminée, on transforme l'écriture : pour un quotient, factoriser par le terme dominant.
Le théorème des valeurs intermédiaires est admis et donne l'existence d'une solution ; la stricte monotonie en donne l'unicité. Les trois conditions se rédigent explicitement.
Le tableau de variation compte les solutions : autant d'intervalles de stricte monotonie franchissant le niveau $k$ , autant de solutions.
La dichotomie encadre une solution en divisant l'amplitude par deux à chaque étape.
Deux fonctions réciproques ont des courbes symétriques par rapport à $y = x$ .

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