La fonction logarithme népérien
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Multiplier est plus difficile qu'additionner. Cette évidence, aujourd'hui masquée par les calculatrices, a occupé les astronomes et les navigateurs du XVIe siècle, dont les calculs portaient sur des nombres à sept ou huit chiffres. L'invention du logarithme, au tout début du XVIIe siècle, répond exactement à ce problème : elle fournit une fonction qui transforme les produits en sommes. C'est de là qu'il faut partir — la fonction que nous étudions n'a pas été inventée pour être la réciproque de l'exponentielle, mais pour épargner du travail.
Problématique. Quelle fonction transforme les produits en sommes, quelles sont ses propriétés, et à quoi sert-elle aujourd'hui ?
3.1 Une invention avant d'être une définition
3.1.1 Mettre en regard deux progressions
L'idée fondatrice tient en une observation. Écrivons deux lignes : au-dessus, les puissances successives de — une progression géométrique ; en dessous, les exposants — une progression arithmétique.
Pour calculer , on lit sur la ligne du bas les nombres associés, et ; on les ajoute : ; on remonte à la ligne du haut, qui donne . Le produit a été obtenu par une addition.
C'est exactement le principe des tables de logarithmes, publiées par John Napier en puis affinées par Henry Briggs, et celui de la règle à calcul, qui a servi aux ingénieurs jusque dans les années .
Une table de puissances de ne permet toutefois de multiplier que des puissances de . Pour disposer du procédé sur tous les nombres positifs, il faut une fonction définie partout, qui possède la même propriété. C'est la fonction logarithme.
3.2 Définition et premières propriétés
La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur , à valeurs dans . Elle admet donc une fonction réciproque, appelée logarithme népérien et notée , définie sur :
En particulier , , et pour tout , ; pour tout , .