La fonction logarithme népérien

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Multiplier est plus difficile qu'additionner. Cette évidence, aujourd'hui masquée par les calculatrices, a occupé les astronomes et les navigateurs du XVI^e siècle, dont les calculs portaient sur des nombres à sept ou huit chiffres. L'invention du logarithme, au tout début du XVII^e siècle, répond exactement à ce problème : elle fournit une fonction qui transforme les produits en sommes. C'est de là qu'il faut partir — la fonction que nous étudions n'a pas été inventée pour être la réciproque de l'exponentielle, mais pour épargner du travail.

Problématique. Quelle fonction transforme les produits en sommes, quelles sont ses propriétés, et à quoi sert-elle aujourd'hui ?

3.1 Une invention avant d'être une définition

3.1.1 Mettre en regard deux progressions

L'idée fondatrice tient en une observation. Écrivons deux lignes : au-dessus, les puissances successives de $2$ — une progression géométrique ; en dessous, les exposants — une progression arithmétique.

Exemple 3.1Multiplier sans multiplier

Pour calculer $8 \times 16$ , on lit sur la ligne du bas les nombres associés, $3$ et $4$ ; on les ajoute : $3 + 4 = 7$ ; on remonte à la ligne du haut, qui donne $128$ . Le produit a été obtenu par une addition.

C'est exactement le principe des tables de logarithmes, publiées par John Napier en $1614$ puis affinées par Henry Briggs, et celui de la règle à calcul, qui a servi aux ingénieurs jusque dans les années $1970$ .

Une table de puissances de $2$ ne permet toutefois de multiplier que des puissances de $2$ . Pour disposer du procédé sur tous les nombres positifs, il faut une fonction définie partout, qui possède la même propriété. C'est la fonction logarithme.

3.2 Définition et premières propriétés

Définition 3.2Logarithme népérien

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $R$ , à valeurs dans $] 0; + \infty [$ . Elle admet donc une fonction réciproque, appelée logarithme népérien et notée $ln$ , définie sur $] 0; + \infty [$ :

$pour x > 0 et y \in R : ln x = y ⟺ x = e^{y} .$

En particulier $ln 1 = 0$ , $ln e = 1$ , et pour tout $x > 0$ , $e^{l n x} = x$ ; pour tout $y \in R$ , $ln (e^{y}) = y$ .

◆Théorème 3.3Équation fonctionnelle

Pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$ , et tout entier $n \geq 1$ :

$ln (ab) = ln a + ln b, ln (\frac{1}{a}) = - ln a, ln (\frac{a}{b}) = ln a - ln b, ln (a^{n}) = n ln a .$

La première de ces relations est la propriété fondatrice : le logarithme transforme les produits en sommes.

On admet que la dernière relation vaut encore pour un exposant réel : $ln (a^{x}) = x ln a$ pour tout $x \in R$ . C'est elle qu'on emploie dès qu'un modèle fait intervenir une puissance non entière — l'allométrie, le pH, les échelles logarithmiques en général.

Démonstration ((exigible))

Posons $A = ln a$ et $B = ln b$ , de sorte que $a = e^{A}$ et $b = e^{B}$ . Alors

$ab = e^{A} \times e^{B} = e^{A + B},$

en vertu de l'équation fonctionnelle de l'exponentielle. En prenant le logarithme des deux membres : $ln (ab) = A + B = ln a + ln b$ .

Pour la seconde relation, appliquons la première à $a$ et $\frac{1}{a}$ :

$ln a + ln (\frac{1}{a}) = ln (a \times \frac{1}{a}) = ln 1 = 0,$

d'où $ln (\frac{1}{a}) = - ln a$ . Les deux dernières s'en déduisent, la troisième en écrivant $\frac{a}{b} = a \times \frac{1}{b}$ , la quatrième en répétant $n$ fois la première.

3.3 Étude de la fonction

◆Théorème 3.4Dérivée et variations

La fonction $ln$ est dérivable sur $] 0; + \infty [$ et

$ln^{'} (x) = \frac{1}{x} .$

Cette dérivée étant strictement positive, $ln$ est strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ .

Démonstration ((exigible, en admettant la dérivabilité))

Admettons que $ln$ soit dérivable sur $] 0; + \infty [$ . Pour tout $x > 0$ on a $e^{l n x} = x$ . Dérivons les deux membres. À droite, la dérivée vaut $1$ . À gauche, la dérivée de $e^{u}$ est $u^{'} e^{u}$ avec $u = ln x$ :

$ln^{'} (x) \times e^{l n x} = 1, soit ln^{'} (x) \times x = 1,$

d'où $ln^{'} (x) = \frac{1}{x}$ .

Proposition 3.5Limites aux bornes

$x \to 0^{+} lim ln x = - \infty, x \to + \infty lim ln x = + \infty.$

Ces deux limites se lisent sur la symétrie avec l'exponentielle : $e^{x} \to 0$ quand $x \to - \infty$ , et $e^{x} \to + \infty$ quand $x \to + \infty$ . L'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe de $ln$ .

Proposition 3.6Croissances comparées

Le logarithme tend vers $+ \infty$ , mais plus lentement que toute puissance :

$x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0.$

Symétriquement, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance : $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x} = + \infty$ .

3.4 Résoudre, et chercher un seuil

Méthode : Utiliser l'équation fonctionnelle

Face à une équation ou une inéquation, on ramène chaque membre à un seul logarithme, puis on utilise la stricte croissance :

$ln A = ln B ⟺ A = B, ln A < ln B ⟺ A < B,$

à condition que $A$ et $B$ soient strictement positifs — c'est la vérification du domaine, et elle se fait avant le calcul.

Méthode : Déterminer un seuil

Une quantité évolue géométriquement : $u_{n} = u_{0} q^{n}$ avec $0 < q < 1$ . On cherche le premier rang $n$ tel que $u_{n} \leq S$ . On écrit

$u_{0} q^{n} \leq S ⟺ q^{n} \leq \frac{S}{u _{0}} ⟺ n ln q \leq ln (\frac{S}{u _{0}}),$

puis on divise par $ln q$ , qui est négatif puisque $0 < q < 1$ : l'inégalité change de sens.

$n \geq \frac{ln ( \frac{S}{u _{0}} )}{ln q} .$

C'est l'erreur classique : oublier de retourner l'inégalité.

Exemple 3.7Décroissance radioactive et datation

Le carbone $14$ d'un échantillon décroît de $1, 21 \times 1 0^{- 4}$ par an, soit une quantité multipliée chaque année par $q = 1 - 1, 21 \times 1 0^{- 4}$ . Un archéologue mesure qu'il reste $28 %$ du carbone $14$ initial. Quel âge a l'échantillon ?

On cherche $n$ tel que $q^{n} = 0, 28$ , soit

$n = \frac{ln 0 , 28}{ln q} = \frac{ln 0 , 28}{ln ( 1 - 1 , 21 \times 1 0 ^{- 4} )} \approx \frac{- 1 , 273}{- 1 , 21 \times 1 0 ^{- 4}} \approx 10 520.$

L'échantillon a environ $10500$ ans. Sans logarithme, l'exposant $n$ resterait inaccessible : c'est précisément la fonction qui fait descendre l'exposant.


from math import log

def age_carbone14(fraction_restante):
    # Age d'un echantillon dont il reste `fraction_restante` du carbone 14 initial.
    q = 1 - 1.21e-4                  # facteur multiplicatif annuel
    return log(fraction_restante) / log(q)

print(round(age_carbone14(0.28)))    # 10520
print(round(age_carbone14(0.50)))    # 5728  -> la demi-vie

3.5 Bilan

Proposition 3.8L'essentiel du chapitre

Le logarithme népérien est la réciproque de l'exponentielle : $ln x = y ⟺ x = e^{y}$ , avec $x > 0$ .
Sa propriété fondatrice est l'équation fonctionnelle $ln (ab) = ln a + ln b$ : il transforme les produits en sommes. Tout le reste en découle, y compris $ln (a^{n}) = n ln a$ .
$ln^{'} (x) = \frac{1}{x} > 0$ : la fonction est strictement croissante, de $- \infty$ en $0^{+}$ à $+ \infty$ en $+ \infty$ , avec l'axe des ordonnées pour asymptote.
En croissance comparée, le logarithme perd contre toute puissance : $\frac{ln x}{x} \to 0$ .
Pour un seuil, on applique $ln$ puis on divise par $ln q$ — négatif quand $0 < q < 1$ , donc l'inégalité change de sens.

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