Compléments sur la dérivation

Cours complet · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 4 · terminale, option mathématiques complémentaires

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La classe de première a donné les dérivées des fonctions de référence et les règles de calcul sur les sommes, produits et quotients. Il manque une pièce, et c'est la plus utile en modélisation : savoir dériver une fonction emboîtée dans une autre — $e^{- 0, 2 t}$ , $ln (1 + x)$ , $(3 x - 1)^{2}$ . Toutes les fonctions qui décrivent une décroissance, une saturation ou une aire ont cette forme.

Problématique. Comment dériver une fonction composée, et que fait-on ensuite de cette dérivée ?

4.1 Dériver une fonction emboîtée

4.1.1 Le principe

Une fonction comme $t \mapsto e^{- 0, 2 t}$ se lit en deux temps : on calcule d'abord $u (t) = - 0, 2 t$ , puis on applique l'exponentielle au résultat. La variation de la sortie combine donc deux effets — celui de la transformation extérieure, et celui de la fonction intérieure.

◆Théorème 4.1Dérivées composées au programme

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

$Fonction x \mapsto f (a x + b) u^{2} e^{u} ln u D e ˊ riv e ˊ e x \mapsto a f^{'} (a x + b) 2 u^{'} u u^{'} e^{u} \frac{u ^{'}}{u} Condition f d e ˊ rivable aucune aucune u > 0 sur I$

La structure est toujours la même : la dérivée de la fonction extérieure, évaluée en $u$ , multipliée par $u^{'}$ .

!Le réflexe

Le facteur $u^{'}$ est celui qu'on oublie. Un réflexe de contrôle : la dérivée de $e^{- 0, 2 t}$ doit être négative — la fonction décroît. Si l'on trouve $e^{- 0, 2 t}$ tout court, positif, c'est que le $- 0, 2$ a été perdu.

Exemple 4.2Trois calculs types

$f (t) = 12 e^{- 0, 25 t}$ (concentration d'un médicament, en mg/L). Ici $u (t) = - 0, 25 t$ , donc $u^{'} (t) = - 0, 25$ et

$f^{'} (t) = 12 \times (- 0, 25) e^{- 0, 25 t} = - 3 e^{- 0, 25 t} < 0.$

La concentration décroît, et sa vitesse de décroissance s'atténue.

$g (x) = ln (1 + x^{2})$ . Ici $u (x) = 1 + x^{2} > 0$ sur $R$ , $u^{'} (x) = 2 x$ , donc

$g^{'} (x) = \frac{2 x}{1 + x ^{2}},$

du signe de $x$ : $g$ décroît sur $] - \infty; 0]$ puis croît.

$h (x) = (3 x - 1)^{2}$ . Avec $u (x) = 3 x - 1$ et $u^{'} = 3$ : $h^{'} (x) = 2 \times 3 \times (3 x - 1) = 6 (3 x - 1)$ , qui s'annule en $x = \frac{1}{3}$ .

4.1.2 Ce que fait $f (a x + b)$ à la courbe

Le facteur $a$ dans la dérivée n'est pas une convention : il traduit une déformation géométrique de la courbe.

!Le réflexe

$x \mapsto f (2 x)$ « comprime » la courbe horizontalement d'un facteur $2$ : les variations sont deux fois plus rapides, d'où le facteur $2$ dans la dérivée. $x \mapsto f (x - 3)$ la translate vers la droite sans rien déformer : la dérivée garde la même valeur, simplement décalée.

Proposition 4.3Dérivée nulle sur un intervalle, admis

Si $f^{'}$ est nulle sur tout un intervalle $I$ , alors $f$ est constante sur $I$ . Nous l'admettons.

Le mot intervalle n'est pas décoratif : sur $] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [$ , la fonction qui vaut $1$ à droite et $- 1$ à gauche a une dérivée nulle partout sans être constante. C'est ce résultat qui permettra, au chapitre 6, de dire que deux fonctions de même dérivée diffèrent d'une constante.

4.2 Du tableau de variation aux réponses

Méthode : Étudier une fonction, en quatre gestes

Domaine et limites aux bornes (elles fixent les extrémités du tableau).
Dérivée, puis signe de la dérivée — c'est là qu'on factorise, car un produit se signe, une somme non.
Tableau de variation, avec les valeurs exactes aux extremums.
Lecture : le tableau répond aux questions posées, sans qu'on ait à retourner à la fonction.

Méthode : Compter les solutions de $f (x) = k$

Sur chaque intervalle où $f$ est continue et strictement monotone, le théorème des valeurs intermédiaires donne au plus une solution, et exactement une si $k$ est compris entre les deux valeurs extrêmes de l'intervalle. On compte donc ligne par ligne du tableau : autant de solutions que de lignes traversées par le niveau $k$ .

Exemple 4.4Un coût moyen minimal

Une petite unité de production fabrique $x$ centaines d'unités par jour, avec $0 < x \leq 6$ . Son coût total, en milliers d'euros, est

$C (x) = x^{2} + 2 x + 9.$

Le coût moyen par centaine d'unités est $M (x) = \frac{C ( x )}{x} = x + 2 + \frac{9}{x}$ . À quel niveau de production est-il minimal ?

On dérive : $M^{'} (x) = 1 - \frac{9}{x ^{2}} = \frac{x ^{2} - 9}{x ^{2}} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x ^{2}}$ .

Sur $] 0; 6]$ , le dénominateur et le facteur $x + 3$ sont positifs : $M^{'}$ est du signe de $x - 3$ . Donc $M$ décroît sur $] 0; 3]$ , croît sur $[3; 6]$ , et atteint son minimum en $x = 3$ , où $M (3) = 3 + 2 + 3 = 8$ .

Le coût moyen minimal est de $8000$ euros par centaine d'unités, pour une production de $300$ unités par jour.

!Le réflexe

Le minimum du coût moyen se lit aussi géométriquement : c'est le point de la courbe de $C$ que touche la droite issue de l'origine de plus faible pente — car $M (x) = C (x) / x$ est exactement le coefficient directeur de cette droite.

4.3 Encadrer une solution : le balayage

Quand l'équation $f (x) = k$ ne se résout pas exactement, le tableau garantit l'existence et l'unicité de la solution, et l'ordinateur en donne une valeur approchée. La méthode la plus simple est le balayage : on avance par pas constant jusqu'à dépasser le niveau visé.


def balayage(f, k, debut, pas):
    # Suppose f continue strictement croissante avec f(debut) < k.
    # Renvoie un encadrement (x, x + pas) de la solution de f(x) = k.
    x = debut
    while f(x) < k:
        x = x + pas
    return (x - pas, x)

from math import log
# Au bout de combien d'annees une population de 1200 individus croissant
# de 3 % par an depasse-t-elle 2000 ?
print(balayage(lambda t: 1200 * 1.03**t, 2000, 0, 1))   # (17, 18)

!Attention

Le balayage n'est fiable que si l'on sait déjà — par le tableau de variation — qu'il y a une solution et une seule dans la zone explorée. Sans cette étude préalable, l'algorithme peut sauter par-dessus deux solutions et n'en signaler aucune. La dichotomie du chapitre 2 est plus rapide, mais elle exige la même garantie.

4.4 Bilan

Proposition 4.5L'essentiel du chapitre

Quatre dérivées composées : $(f (a x + b))^{'} = a f^{'} (a x + b)$ , $(u^{2})^{'} = 2 u^{'} u$ , $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ , $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ (avec $u > 0$ ). Dans les quatre cas, le facteur $u^{'}$ est celui qu'on oublie.
Pour signer une dérivée, on factorise : un produit ou un quotient se signe facteur par facteur, une somme ne se signe pas.
Le tableau de variation répond seul aux questions : nombre de solutions de $f (x) = k$ , résolution de $f (x) \leq k$ , extremums.
Le balayage encadre une solution, mais seulement après que le tableau en a garanti l'existence et l'unicité.

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Compléments sur la dérivation

4.1 Dériver une fonction emboîtée

4.1.1 Le principe

4.1.2 Ce que fait f(ax+b) à la courbe

4.2 Du tableau de variation aux réponses

Méthode : Étudier une fonction, en quatre gestes

Méthode : Compter les solutions de f(x)=k

4.3 Encadrer une solution : le balayage

4.4 Bilan

4.1.2 Ce que fait $f (a x + b)$ à la courbe

Méthode : Compter les solutions de $f (x) = k$