Compléments sur la dérivation

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La courbe de la fonction exponentielle et sa tangente au point d'abscisse 0.

La classe de première a donné les dérivées des fonctions de référence et les règles de calcul sur les sommes, produits et quotients. Il manque une pièce, et c'est la plus utile en modélisation : savoir dériver une fonction emboîtée dans une autre — $e^{- 0, 2 t}$ , $ln (1 + x)$ , $(3 x - 1)^{2}$ . Toutes les fonctions qui décrivent une décroissance, une saturation ou une aire ont cette forme.

Problématique. Comment dériver une fonction composée, et que fait-on ensuite de cette dérivée ?

4.1 Dériver une fonction emboîtée

4.1.1 Le principe

Une fonction comme $t \mapsto e^{- 0, 2 t}$ se lit en deux temps : on calcule d'abord $u (t) = - 0, 2 t$ , puis on applique l'exponentielle au résultat. La variation de la sortie combine donc deux effets — celui de la transformation extérieure, et celui de la fonction intérieure.

◆Théorème 4.1Dérivées composées au programme

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

$Fonction x \mapsto f (a x + b) u^{2} e^{u} ln u D e ˊ riv e ˊ e x \mapsto a f^{'} (a x + b) 2 u^{'} u u^{'} e^{u} \frac{u ^{'}}{u} Condition f d e ˊ rivable aucune aucune u > 0 sur I$

La structure est toujours la même : la dérivée de la fonction extérieure, évaluée en $u$ , multipliée par $u^{'}$ .

!Le réflexe

Le facteur $u^{'}$ est celui qu'on oublie. Un réflexe de contrôle : la dérivée de $e^{- 0, 2 t}$ doit être négative — la fonction décroît. Si l'on trouve $e^{- 0, 2 t}$ tout court, positif, c'est que le $- 0, 2$ a été perdu.

Exemple 4.2Trois calculs types

$f (t) = 12 e^{- 0, 25 t}$ (concentration d'un médicament, en mg/L). Ici $u (t) = - 0, 25 t$ , donc $u^{'} (t) = - 0, 25$ et

$f^{'} (t) = 12 \times (- 0, 25) e^{- 0, 25 t} = - 3 e^{- 0, 25 t} < 0.$

La concentration décroît, et sa vitesse de décroissance s'atténue.

$g (x) = ln (1 + x^{2})$ . Ici $u (x) = 1 + x^{2} > 0$ sur $R$ , $u^{'} (x) = 2 x$ , donc

$g^{'} (x) = \frac{2 x}{1 + x ^{2}},$

du signe de $x$ : $g$ décroît sur $] - \infty; 0]$ puis croît.

$h (x) = (3 x - 1)^{2}$ . Avec $u (x) = 3 x - 1$ et $u^{'} = 3$ : $h^{'} (x) = 2 \times 3 \times (3 x - 1) = 6 (3 x - 1)$ , qui s'annule en $x = \frac{1}{3}$ .

Exercices du chapitre

Signer une dérivée en factorisant corrigé
Élasticité et recette maximale corrigé
Compter les solutions sur le tableau corrigé
Résoudre $f (x) \leq k$ corrigé
Encadrer une solution par balayage corrigé
Problème — Le pic d'un médicament pris par la bouche corrigé

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