Convexité

Pour $f(x)=x^3-3x$ : $f^{\prime }(x)=3x^2-3$, puis $f^{\prime \prime }(x)=6x$.

Pour $f(t)=e^{-0,5t}$ : $f^{\prime }(t)=-0,5e^{-0,5t}$, puis $f^{\prime \prime }(t)=0,25e^{-0,5t}>0$.

Interprétation cinématique, la plus parlante : si $f(t)$ est une position, $f^{\prime }(t)$ est la vitesse et $f^{\prime \prime }(t)$ l'accélération. Une accélération positive ne veut pas dire qu'on avance — elle veut dire qu'on avance de plus en plus vite, ou qu'on recule de moins en moins vite.

Un moyen mnémotechnique : une fonction convexe a la forme d'un récipient qui retient l'eau — elle « tient » ce qu'on verse dedans. Concave est le contraire, la courbe d'un dôme. Les fonctions de référence : $x^2$, $x\mapsto e^x$ et $x\mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0;+\infty [$ sont convexes ; $\sqrt{x}$ et $\ln$ sont concaves.

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ — et deux fois dérivable pour la troisième proposition. Les trois propositions suivantes sont équivalentes :

• $f$ est convexe sur $I$ ;
• la courbe de $f$ est au-dessus de chacune de ses tangentes sur $I$ ;
• $f^{\prime }$ est croissante sur $I$, c'est-à-dire $f^{\prime \prime }\ge 0$ sur $I$.

Pour la concavité, on renverse les trois : courbe sous les tangentes, $f^{\prime }$ décroissante, $f^{\prime \prime }\le 0$.

Ces équivalences sont admises — le programme le précise. Elles ne sont pas évidentes : la définition parle de sécantes, et rien ne dit a priori qu'une courbe sous toutes ses sécantes soit au-dessus de toutes ses tangentes. Ce qu'il faut retenir, c'est que ces trois lectures — géométrique par les sécantes, géométrique par les tangentes, analytique par le signe de $f^{\prime \prime }$ — décrivent une seule et même propriété.

La troisième caractérisation est celle qu'on utilise en pratique : étudier la convexité, c'est étudier le signe de $f^{\prime \prime }$, exactement comme étudier les variations, c'est étudier le signe de $f^{\prime }$.

Pour $f(x)=e^x$ : $f^{\prime \prime }(x)=e^x>0$ sur $\mathbb{R}$, donc $\exp$ est convexe sur $\mathbb{R}$. Sa courbe est au-dessus de sa tangente en $0$, qui a pour équation $y=x+1$. On en déduit l'inégalité, utile et à connaître :

$$\text{pour tout }x\in \mathbb{R},e^x\ge x+1.$$

Pour $g(x)=\ln x$ sur $]0;+\infty [$ : $g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ et $g^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{x^2}<0$, donc $\ln$ est concave. Sa courbe est sous sa tangente en $1$, d'équation $y=x-1$ : pour tout $x>0$, $\ln x\le x-1$.

Si $f$ est deux fois dérivable, la courbe admet un point d'inflexion en $a$ si et seulement si $f^{\prime \prime }$ s'annule en changeant de signe en $a$.

Le changement de signe est indispensable ; l'annulation seule ne suffit pas. Pour $f(x)=x^4$, on a $f^{\prime \prime }(x)=12x^2$, qui s'annule en $0$ mais reste positive de part et d'autre : la fonction est convexe partout et sa courbe n'a pas de point d'inflexion en $0$. C'est le même piège qu'avec $f^{\prime }$ et les extremums.

Un point d'inflexion se reconnaît à l'œil : c'est le seul endroit où la tangente traverse la courbe au lieu de rester d'un côté.

Le nombre cumulé de personnes contaminées au cours d'une épidémie suit fréquemment une courbe en $S$, dite logistique : croissance d'abord explosive, puis saturation lorsque la population susceptible s'épuise.

Tant que la courbe est convexe, chaque jour apporte plus de nouveaux cas que le précédent : l'épidémie s'emballe. Au point d'inflexion, le nombre de nouveaux cas quotidiens — c'est-à-dire $f^{\prime }$ — atteint son maximum. Après, la courbe devient concave : le total continue d'augmenter, mais de moins en moins vite.

Le point d'inflexion est donc le pic épidémique. Il ne marque pas la fin de l'épidémie — le total croît encore — mais le moment où elle cesse de s'aggraver. C'est la raison pour laquelle il est surveillé jour après jour : il arrive bien avant que les courbes ne redescendent.

La règle générale, à retenir au-delà de ce cas : un point d'inflexion de $f$ est un extremum de $f^{\prime }$. Chaque fois qu'un phénomène « atteint son rythme maximal », c'est un point d'inflexion qu'on cherche.

Un agronome mesure le rendement $R(x)$ d'une parcelle en fonction de la quantité $x$ d'engrais apportée. La fonction $R$ est croissante — plus d'engrais, plus de rendement — mais concave. Cette concavité est toute l'information économique : chaque kilogramme supplémentaire rapporte moins que le précédent. C'est la loi des rendements décroissants, et elle se lit dans le signe de $R^{\prime \prime }$, pas dans celui de $R^{\prime }$.

• $f^{\prime \prime }$ est la dérivée de $f^{\prime }$. Elle mesure comment la croissance évolue, pas la croissance elle-même.
• $f$ convexe $⟺$ courbe sous ses sécantes et au-dessus de ses tangentes $⟺$ $f^{\prime }$ croissante $⟺$ $f^{\prime \prime }\ge 0$. Ces équivalences sont admises.
• Étudier la convexité, c'est étudier le signe de $f^{\prime \prime }$.
• Point d'inflexion : là où $f^{\prime \prime }$ s'annule en changeant de signe. L'annulation seule ne suffit pas ($x^4$ en $0$).
• Un point d'inflexion de $f$ est un extremum de $f^{\prime }$ : c'est le pic épidémique, le rythme maximal, le moment où un phénomène cesse de s'aggraver.