Convexité

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Une courbe convexe et sa tangente, qui reste en dessous de la courbe.

Deux épidémies progressent, et le nombre de malades augmente dans les deux cas. Dans la première, il augmente de plus en plus vite ; dans la seconde, de moins en moins vite. Les variations ne distinguent pas ces deux situations — elles sont croissantes toutes les deux. Ce qui les sépare, c'est la manière dont la croissance elle-même évolue : c'est la convexité. Elle dit non pas où va la courbe, mais comment elle tourne.

Problématique. Comment décrire, et détecter, le fait qu'une évolution s'emballe ou au contraire commence à s'essouffler ?

5.1 Dérivée seconde

Définition 5.1Dérivée seconde

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ , de dérivée $f^{'}$ . Si $f^{'}$ est elle-même dérivable sur $I$ , sa dérivée est appelée dérivée seconde de $f$ et notée $f^{''}$ .

Exemple 5.2

Pour $f (x) = x^{3} - 3 x$ : $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ , puis $f^{''} (x) = 6 x$ .

Pour $f (t) = e^{- 0, 5 t}$ : $f^{'} (t) = - 0, 5 e^{- 0, 5 t}$ , puis $f^{''} (t) = 0, 25 e^{- 0, 5 t} > 0$ .

!Le réflexe

Interprétation cinématique, la plus parlante : si $f (t)$ est une position, $f^{'} (t)$ est la vitesse et $f^{''} (t)$ l'accélération. Une accélération positive ne veut pas dire qu'on avance — elle veut dire qu'on avance de plus en plus vite, ou qu'on recule de moins en moins vite.

5.2 Fonctions convexes et concaves

5.2.1 La définition : par les sécantes

Définition 5.3Convexité

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . On dit que $f$ est convexe sur $I$ si, pour tous points $A$ et $B$ de sa courbe, le segment $[A B]$ — la sécante — est au-dessus de la courbe entre $A$ et $B$ .

On dit que $f$ est concave si la sécante est au-dessous de la courbe.

!Le réflexe

Un moyen mnémotechnique : une fonction convexe a la forme d'un récipient qui retient l'eau — elle « tient » ce qu'on verse dedans. Concave est le contraire, la courbe d'un dôme. Les fonctions de référence : $x^{2}$ , $x \mapsto e^{x}$ et $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $] 0; + \infty [$ sont convexes ; $x$ et $ln$ sont concaves.

Exercices du chapitre

Quand $f^{''}$ s'annule sans changer de signe corrigé
Lire la convexité sur les variations de $f^{'}$ corrigé
L'inégalité $e^{x} \geq x + 1$ corrigé
L'inégalité $ln x \leq x - 1$ et la « règle des 70 » corrigé
Un coût marginal minimal corrigé
Problème — Le pic épidémique corrigé

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