Primitives et équations différentielles

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Un corps est découvert à 22 heures dans une pièce chauffée à $18^{\circ}$ C. Personne ne donnera au médecin légiste l'heure du décès ; il relève seulement deux températures, à une heure d'intervalle. Cela suffira. Ce qu'il sait, en effet, ce n'est pas la température du corps à chaque instant : c'est une règle sur sa vitesse — un corps se refroidit d'autant plus vite qu'il est plus chaud que la pièce qui l'entoure.

La même phrase revient dans tous les domaines. Un échantillon radioactif se désintègre d'autant plus vite qu'il contient encore plus de noyaux. Les reins éliminent un médicament d'autant plus vite que le sang en est plus chargé. Un lac se dépollue d'autant plus vite qu'il est plus pollué. Dans chacune de ces situations, ce que la science observe n'est pas la grandeur elle-même, mais sa vitesse de variation, et cette vitesse s'exprime à partir de la grandeur. On obtient ainsi une relation entre une fonction inconnue et sa dérivée : une équation différentielle.

Le chapitre 4 a appris à descendre d'une fonction à sa dérivée. Il s'agit ici de remonter la pente : partir de ce que l'on sait de la vitesse, et retrouver la fonction.

Problématique. Comment retrouver une grandeur lorsqu'on ne connaît que sa vitesse de variation ?

6.1 Une équation dont l'inconnue est une fonction

6.1.1 Ce que dit une équation différentielle

Jusqu'ici, résoudre une équation, c'était chercher des nombres : les $x$ tels que $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ . Une équation différentielle change la nature de l'inconnue : on y cherche des fonctions.

Définition 6.1Équation différentielle, solution

Une équation différentielle du premier ordre est une égalité qui relie une fonction inconnue, notée $y$ , et sa fonction dérivée $y^{'}$ .

Une fonction $f$ , dérivable sur un intervalle $I$ , est une solution de cette équation sur $I$ lorsque, en remplaçant partout $y$ par $f (x)$ et $y^{'}$ par $f^{'} (x)$ , l'égalité est vraie pour tout $x$ de $I$ .

!Attention

Dans l'écriture $y^{'} = - 0, 25 y + 5$ , la lettre $y$ ne désigne pas un nombre mais une fonction. Écrire $y = 12$ n'a donc de sens que pour dire : « la fonction constante égale à $12$ ». C'est d'ailleurs une question que l'on se posera systématiquement — une fonction constante peut très bien être solution.

Exemple 6.2Le corps qui refroidit

La loi de refroidissement de Newton dit que la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart entre la température du corps et celle de la pièce. Avec une pièce à $20^{\circ}$ C, cela s'écrit

$T^{'} = - 0, 25 (T - 20), c’est- a ˋ -dire T^{'} = - 0, 25 T + 5.$

Vérifions que $f (t) = 20 + 65 e^{- 0, 25 t}$ en est une solution sur $[0; + \infty [$ . D'une part, $f$ est de la forme $20 + 65 e^{u}$ avec $u (t) = - 0, 25 t$ , donc

$f^{'} (t) = 65 \times (- 0, 25) e^{- 0, 25 t} = - 16, 25 e^{- 0, 25 t} .$

D'autre part,

$- 0, 25 f (t) + 5 = - 0, 25 (20 + 65 e^{- 0, 25 t}) + 5 = - 5 - 16, 25 e^{- 0, 25 t} + 5 = - 16, 25 e^{- 0, 25 t} .$

Les deux calculs donnent la même expression, et cela pour tout $t \geq 0$ : $f$ est bien solution. Elle décrit un corps parti de $85^{\circ}$ C.

Méthode : Vérifier qu'une fonction est solution

Calculer $f^{'}$ — c'est presque toujours une dérivée composée du chapitre 4.
Calculer séparément le second membre de l'équation, en y remplaçant $y$ par $f (x)$ .
Comparer les deux expressions. Si elles coïncident pour tout $x$ de l'intervalle, $f$ est solution ; sinon, elle ne l'est pas.

On ne « résout » rien ici : on contrôle. C'est pour cela que la vérification est toujours à la portée de tous, même quand la résolution ne l'est pas.

iRemarque

Une équation différentielle a donc, en général, une infinité de solutions : elle décrit une famille d'évolutions possibles, pas une évolution. C'est la donnée d'une valeur à un instant — appelée condition initiale — qui en désigne une seule. Autrement dit : la loi physique dit comment le système évolue, la condition initiale dit d'où il part.

6.1.2 Quatre situations, une seule forme

Les quatre modèles ci-dessous viennent de disciplines différentes ; ils s'écrivent tous $y^{'} = a y + b$ avec $a$ et $b$ constants. C'est exactement le cadre du programme.

Situation	Équation	$a$	$b$
Désintégration d'un noyau	$N^{'} = - λ N$	$- λ$	$0$
Population sans contrainte	$P^{'} = 0, 35 P$	$0, 35$	$0$
Refroidissement (Newton)	$T^{'} = - k (T - θ)$	$- k$	$k θ$
Perfusion continue	$C^{'} = - 0, 2 C + 4$	$- 0, 2$	$4$

iRemarque

Le programme se limite à ce cas : équations linéaires du premier ordre à coefficients constants. Une équation d'une autre forme — l'équation logistique, par exemple, où le coefficient dépend lui-même de $y$ — pourra apparaître dans un contexte, mais sa résolution n'est jamais exigible. On saura toujours en vérifier une solution donnée, et toujours la traiter numériquement par la méthode d'Euler.

6.2 Primitives

6.2.1 Définition et première propriété

Le cas le plus simple d'équation différentielle est celui où la vitesse ne dépend que du temps, et pas de la grandeur elle-même : $y^{'} = f$ . On le rencontre chaque fois qu'un appareil mesure un débit, une puissance ou un taux, et qu'on veut en déduire un cumul.

Définition 6.3Primitive

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ lorsque $F$ est dérivable sur $I$ et que

$F^{'} (x) = f (x) pour tout x de I .$

Chercher une primitive de $f$ , c'est donc exactement résoudre l'équation différentielle $y^{'} = f$ .

◆Théorème 6.4Deux primitives diffèrent d'une constante

Soit $f$ une fonction admettant une primitive $F$ sur un intervalle $I$ . Alors les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les fonctions

$x ⟼ F (x) + k, k \in R .$

Démonstration

Sens direct. Soit $G$ une autre primitive de $f$ sur $I$ . La fonction $G - F$ est dérivable sur $I$ et

$(G - F)^{'} (x) = G^{'} (x) - F^{'} (x) = f (x) - f (x) = 0 pour tout x de I .$

Or nous admettons le résultat suivant : une fonction dont la dérivée est nulle sur un intervalle y est constante. Il existe donc un réel $k$ tel que $G (x) - F (x) = k$ , c'est-à-dire $G = F + k$ .

Réciproque. Inversement, pour tout réel $k$ , la fonction $F + k$ est dérivable et $(F + k)^{'} (x) = F^{'} (x) = f (x)$ : c'est bien une primitive de $f$ .

!Attention

Le mot intervalle n'est pas décoratif. Sur $] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [$ , la fonction qui vaut $1$ pour $x > 0$ et $0$ pour $x < 0$ a une dérivée nulle sans être constante : elle est constante sur chaque morceau, ce qui n'est pas la même chose. C'est pourquoi on précise toujours l'intervalle sur lequel on travaille.

iRemarque

Nous admettons également qu'une fonction continue sur un intervalle y admet toujours des primitives. Ce résultat sera éclairé au chapitre consacré à l'intégration, où l'on verra qu'une aire fournit précisément une telle primitive.

Proposition 6.5La condition initiale choisit une primitive et une seule

Soit $f$ une fonction admettant des primitives sur un intervalle $I$ , soit $x_{0}$ un point de $I$ et $y_{0}$ un réel. Il existe une seule primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F (x_{0}) = y_{0}$ .

Méthode : Trouver la primitive imposée par une condition initiale

Chercher une primitive $F_{0}$ , sans se soucier de la constante.
Écrire la forme générale $F (x) = F_{0} (x) + k$ .
Traduire la condition initiale : $F (x_{0}) = y_{0}$ donne une équation du premier degré en $k$ , que l'on résout.
Conclure en réécrivant $F$ avec la valeur trouvée — et vérifier la condition initiale sur la formule finale.

6.2.2 Les primitives à connaître

Le tableau se lit de droite à gauche par rapport à celui des dérivées : rien de nouveau n'y est appris, tout y est relu à l'envers.

Proposition 6.6Primitives usuelles

$Fonction f (x) c (constante) x^{n}, n \geq 1 \frac{1}{x ^{2}} \frac{1}{x} \frac{1}{x} e^{x} e^{a x + b}, a \neq = 0 \frac{1}{a x + b}, a \neq = 0 Une primitive F (x) c x \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} - \frac{1}{x} 2 x ln x e^{x} \frac{1}{a} e^{a x + b} \frac{1}{a} ln (a x + b) Sur R R] 0; + \infty [ou] - \infty; 0 [] 0; + \infty [] 0; + \infty [R R l a ˋ o u ˋ a x + b > 0$

Enfin, une somme se primitive terme à terme, et un facteur constant se conserve.

Exemple 6.7D'un débit à un volume

Une source débite $f (t) = 4 - 0, 8 t$ mètres cubes par heure, pour $0 \leq t \leq 5$ . Le volume écoulé $V$ vérifie $V^{'} = f$ , donc

$V (t) = 4 t - 0, 4 t^{2} + k .$

Si l'on compte le volume à partir du début, $V (0) = 0$ donne $k = 0$ , et le volume total écoulé en cinq heures vaut $V (5) = 20 - 10 = 10$ m $^{3}$ . Si la retenue contenait déjà $2, 5$ m $^{3}$ , la même famille donne $k = 2, 5$ : la formule change d'un cran, la loi d'écoulement ne change pas.

6.2.3 Trois formes composées à reconnaître

Le programme demande de savoir reconnaître trois structures. Ce sont, mot pour mot, les trois dérivées composées du chapitre 4, lues de droite à gauche.

Proposition 6.8Les trois formes du programme

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

$On reconna i^t 2 u^{'} u u^{'} e^{u} \frac{u ^{'}}{u} Une primitive u^{2} e^{u} ln u Condition aucune aucune u > 0 sur I$

En particulier, une primitive de $u^{'} u$ est $\frac{u ^{2}}{2}$ .

Méthode : Reconnaître une forme composée

Repérer le candidat $u$ : c'est ce qui est à l'intérieur — sous l'exponentielle, au dénominateur, ou élevé au carré.
Calculer $u^{'}$ , puis regarder si l'expression contient bien ce facteur $u^{'}$ (à une constante multiplicative près).
Ajuster la constante : si le facteur qui manque est un nombre, on le compense devant la primitive.
Vérifier en dérivant. C'est instantané, et cela ne trompe jamais.

Exemple 6.9Les trois formes, en situation

Biomasse. La vitesse de croissance d'une culture est $f (t) = 0, 6 t e^{0, 3 t^{2}}$ . Avec $u (t) = 0, 3 t^{2}$ , on a $u^{'} (t) = 0, 6 t$ : l'expression est exactement $u^{'} e^{u}$ , donc $F (t) = e^{0, 3 t^{2}}$ .
Tache de pollution. Le rayon d'une nappe est $r (t) = 3 + 0, 5 t$ et la vitesse d'agrandissement de sa surface est $A^{'} (t) = 2 π r^{'} (t) r (t)$ . On reconnaît $π \times 2 u^{'} u$ avec $u = r$ , donc $A (t) = π (3 + 0, 5 t)^{2}$ — ce que la géométrie disait déjà.
Taux relatif. Le taux $g (t) = \frac{0 , 4}{1 + 0 , 4 t}$ est de la forme $\frac{u ^{'}}{u}$ avec $u (t) = 1 + 0, 4 t$ , strictement positif pour $t \geq 0$ : une primitive est $G (t) = ln (1 + 0, 4 t)$ .

!Le réflexe

Une primitive ne se « trouve » pas, elle se propose puis se vérifie. Le seul geste sûr est de dériver le résultat : si l'on retombe sur $f$ , c'est gagné ; sinon le facteur constant à corriger saute aux yeux. Deux lignes de contrôle valent mieux qu'une formule apprise de travers.

!Attention

La primitive de $\frac{u ^{'}}{u}$ est $ln u$ seulement là où $u > 0$ . Ainsi $\frac{1}{x}$ a pour primitive $ln x$ sur $] 0; + \infty [$ — mais rien de tel sur un intervalle où $x$ est négatif, où $ln x$ n'existe pas. Avant d'écrire un logarithme, on vérifie donc toujours le signe de ce qu'on met dedans.

6.3 L'équation $y^{'} = a y$

C'est le modèle de tout phénomène dont la vitesse est proportionnelle à ce qui reste : désintégration, élimination rénale, croissance sans contrainte, intérêts composés.

◆Théorème 6.10Solutions de

y^{'} = a y

Soit $a$ un réel. Les solutions sur $R$ de l'équation différentielle $y^{'} = a y$ sont exactement les fonctions

$x ⟼ C e^{a x}, C \in R .$

Démonstration

Ces fonctions sont solutions. Si $y (x) = C e^{a x}$ , alors, par dérivation de $e^{u}$ avec $u (x) = a x$ , on a $y^{'} (x) = C a e^{a x} = a y (x)$ .

Il n'y en a pas d'autres. Soit $y$ une solution quelconque sur $R$ . Posons

$g (x) = y (x) e^{- a x} .$

Cette fonction est dérivable comme produit de fonctions dérivables, et

$g^{'} (x) = y^{'} (x) e^{- a x} + y (x) \times (- a) e^{- a x} = e^{- a x} (y^{'} (x) - a y (x)) = 0,$

puisque $y^{'} = a y$ . La dérivée de $g$ est nulle sur l'intervalle $R$ : $g$ y est donc constante (résultat admis, déjà utilisé plus haut). En notant $C$ cette constante, $y (x) e^{- a x} = C$ , d'où $y (x) = C e^{a x}$ puisque $e^{- a x} \neq = 0$ .

Proposition 6.11Avec une condition initiale

Pour tout réel $y_{0}$ , l'équation $y^{'} = a y$ admet une unique solution vérifiant $y (0) = y_{0}$ , à savoir $y (x) = y_{0} e^{a x}$ .

En effet $C e^{0} = C$ , donc la constante $C$ n'est autre que la valeur initiale.

Exemple 6.12Iode 131 en médecine nucléaire

L'activité $A$ d'un échantillon d'iode 131 vérifie $A^{'} = - λ A$ , donc $A (t) = A_{0} e^{- λ t}$ . La demi-vie de cet isotope est de $8$ jours : au bout de $8$ jours, il ne reste que la moitié de l'activité. Cela s'écrit

$A_{0} e^{- 8 λ} = \frac{A _{0}}{2} ⟺ e^{- 8 λ} = \frac{1}{2} ⟺ - 8 λ = - ln 2 ⟺ λ = \frac{ln 2}{8} \approx 0, 0866 par jour.$

Partant de $A_{0} = 200$ MBq, on trouve après $24$ jours, soit trois demi-vies, $A (24) = \frac{200}{2 ^{3}} = 25$ MBq : le calcul exact confirme la lecture immédiate.

Méthode : Passer d'un temps caractéristique au coefficient, et retour

Pour $y = y_{0} e^{a t}$ :

si $a < 0$ , la demi-vie $T$ vérifie $e^{a T} = \frac{1}{2}$ , donc $T = \frac{ln 2}{∣ a ∣}$ ;
si $a > 0$ , le temps de doublement $T$ vérifie $e^{a T} = 2$ , donc $T = \frac{ln 2}{a}$ .

Dans les deux cas, la même durée produit toujours le même facteur multiplicatif : c'est la signature de l'exponentielle, et c'est ce qui rend ces temps caractéristiques si commodes.

!Le réflexe

Deux données suffisent toujours : une vitesse relative (qui donne $a$ ) et une valeur de départ (qui donne $C$ ). Quand l'énoncé fournit une demi-vie, un temps de doublement, un pourcentage par an ou une constante de temps, il donne $a$ — sous un déguisement.

!Attention

« Perdre $20 %$ par heure » ne donne pas $a = - 0, 2$ mais $e^{a} = 0, 8$ , donc $a = ln 0, 8 \approx - 0, 223$ . Le coefficient $a$ est un taux instantané ; le pourcentage, lui, se lit sur une durée entière. Les confondre est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

6.4 L'équation $y^{'} = a y + b$

Dès qu'un apport extérieur s'ajoute — une pièce qui chauffe, un générateur qui charge, une perfusion qui alimente, une rivière qui arrive — le terme constant $b$ apparaît.

Méthode : Résoudre $y^{'} = a y + b$ , en deux temps ( $a \neq = 0$ )

Chercher la solution constante. Une fonction constante a une dérivée nulle ; on résout donc $0 = a y + b$ , ce qui donne l'unique constante $y = - \frac{b}{a}$ .
Ajouter les solutions de l'équation « sans $b$ ». La solution générale est

$y (x) = C e^{a x} - \frac{b}{a}, C \in R .$

Utiliser la condition initiale pour déterminer $C$ .

◆Théorème 6.13Solutions de

y^{'} = a y + b

Soient $a \neq = 0$ et $b$ deux réels. Les solutions sur $R$ de $y^{'} = a y + b$ sont exactement les fonctions

$x ⟼ C e^{a x} - \frac{b}{a}, C \in R .$

Démonstration

Notons $y_{p}$ la fonction constante égale à $- \frac{b}{a}$ . Elle est solution, car sa dérivée est nulle et

$a \times (- \frac{b}{a}) + b = - b + b = 0.$

Soit maintenant $y$ une solution quelconque, et posons $z = y - y_{p}$ . Alors $z$ est dérivable, $z^{'} = y^{'}$ , et

$z^{'} = y^{'} = a y + b = a (z + y_{p}) + b = a z + = 0 a y_{p} + b = a z .$

Ainsi $z$ est solution de $z^{'} = a z$ : d'après le théorème précédent, $z (x) = C e^{a x}$ , donc $y (x) = C e^{a x} - \frac{b}{a}$ .

Réciproquement, chacune de ces fonctions est bien solution : sa dérivée vaut $C a e^{a x}$ , et $a y + b = a C e^{a x} - b + b = a C e^{a x}$ .

!Le réflexe

La constante $- \frac{b}{a}$ n'est pas un artifice de calcul : c'est l'état d'équilibre du système — la température de la pièce, la tension du générateur, la concentration de plateau d'une perfusion, la teneur de l'eau qui entre dans le lac. Avant tout calcul, il faut savoir la nommer dans le langage de la situation.

Exemple 6.14Le café, et le condensateur

Un café à $85^{\circ}$ C dans une pièce à $20^{\circ}$ C, avec $T^{'} = - 0, 05 T + 1$ ( $t$ en minutes). La solution constante est $- \frac{1}{- 0 , 05} = 20$ : la pièce, comme prévu. La solution générale est $T (t) = C e^{- 0, 05 t} + 20$ , et $T (0) = 85$ donne $C = 65$ :

$T (t) = 20 + 65 e^{- 0, 05 t} .$

Le café est buvable à $55^{\circ}$ C, c'est-à-dire lorsque $e^{- 0, 05 t} = \frac{35}{65} = \frac{7}{13}$ , donc au bout de $t = 20 ln \frac{13}{7} \approx 12, 4$ minutes.

Un condensateur de capacité $C_{0}$ chargé à travers une résistance par une pile de $12$ V vérifie, pour $R C_{0} = 5$ s, l'équation $u^{'} = - 0, 2 u + 2, 4$ . La solution constante vaut $\frac{2 , 4}{0 , 2} = 12$ V : la tension de la pile. Partant de $u (0) = 0$ , on obtient $u (t) = 12 (1 - e^{- 0, 2 t})$ .

Les deux situations n'ont rien à voir, et pourtant elles ont la même solution générale. C'est tout l'intérêt d'une forme normalisée.

!Attention

La solution constante vaut $- \frac{b}{a}$ , avec un signe moins. Dans $T^{'} = - 0, 05 T + 1$ , elle vaut $- \frac{1}{- 0 , 05} = + 20$ , et non $- 20$ . Le contrôle est immédiat : la constante trouvée doit avoir un sens physique — une température de pièce, une tension de pile, une concentration de plateau.

iRemarque

Le cas $a = 0$ est exclu du théorème, et pour cause : l'équation $y^{'} = b$ n'est autre qu'une recherche de primitive, et sa solution est $y (x) = b x + C$ . Il n'y a alors ni solution constante (sauf si $b = 0$ ), ni exponentielle : la croissance est linéaire.

6.5 La méthode d'Euler

Toutes les équations ne se résolvent pas par une formule ; la plupart, en réalité, ne se résolvent pas. Il reste alors une idée simple, due à Euler : avancer à petits pas, en suivant la tangente.

Méthode : Le pas d'Euler

On veut approcher la solution de $y^{'} = f (t, y)$ partant de $y (t_{0}) = y_{0}$ . Sur une courte durée $h$ , on remplace la courbe par sa tangente :

$y (t + h) \approx y (t) + h \times y^{'} (t) = y (t) + h \times f (t, y (t)) .$

On construit ainsi une suite de points, de proche en proche :

$t_{k + 1} = t_{k} + h, y_{k + 1} = y_{k} + h f (t_{k}, y_{k}) .$

La ligne brisée qui les joint approche la courbe cherchée, d'autant mieux que $h$ est petit.

Le programme demande d'écrire cet algorithme et de le faire tourner. On l'écrit de manière modulaire : la fonction euler ne sait rien du problème traité, elle reçoit $f$ en argument.


def euler(f, t0, y0, h, n):
    """Approche la solution de y' = f(t, y) partant de y(t0) = y0.
    Renvoie la liste des couples (t, y) de t0 a t0 + n*h."""
    t, y = t0, y0
    points = [(t, y)]
    for _ in range(n):
        y = y + h * f(t, y)
        t = t + h
        points.append((t, y))
    return points

from math import exp

# Refroidissement d'un corps : T' = -0,25 (T - 20), avec T(0) = 37.
refroidissement = lambda t, T: -0.25 * (T - 20)

for h in (2, 1, 0.5, 0.1):
    approche = euler(refroidissement, 0, 37, h, round(8 / h))[-1][1]
    print(h, round(approche, 3))
# 2   -> 21.062
# 1   -> 21.702
# 0.5 -> 22.007
# 0.1 -> 22.243

print(round(20 + 17 * exp(-2), 3))   # valeur exacte en t = 8 : 22.301

iRemarque

La méthode d'Euler ne demande jamais de savoir résoudre. On peut donc l'appliquer telle quelle à l'équation logistique $y^{'} = 0, 45 y (1 - \frac{y}{1200})$ , qui modélise une épidémie dans un lycée de $1200$ élèves : il suffit de changer la fonction passée en argument. Cette équation n'est pas au programme et sa résolution n'est pas exigible — mais la traiter numériquement, si.

!Attention

Un pas trop grand ne donne pas une réponse « un peu fausse » : il peut donner une réponse qualitativement fausse. Sur le refroidissement ci-dessus avec $h = 10$ , on obtiendrait $T_{1} = 37 - 10 \times 4, 25 = - 5, 5^{\circ}$ C — un corps plus froid que la pièce, ce que l'équation interdit. On divise donc le pas jusqu'à ce que le résultat cesse de bouger : c'est le seul contrôle disponible quand on n'a pas de solution exacte.

6.6 Bilan

Proposition 6.15L'essentiel du chapitre

Une équation différentielle relie une fonction inconnue et sa dérivée. En vérifier une solution est toujours à notre portée : on calcule $f^{'}$ , on calcule le second membre, on compare.
Une primitive de $f$ est une solution de $y^{'} = f$ . Sur un intervalle, deux primitives diffèrent d'une constante, et une condition initiale en désigne une seule.
Trois formes à reconnaître : $2 u^{'} u \to u^{2}$ , $u^{'} e^{u} \to e^{u}$ , $\frac{u ^{'}}{u} \to ln u$ (là où $u > 0$ ). Le contrôle est toujours le même : on dérive le résultat.
Les solutions de $y^{'} = a y$ sont les $x \mapsto C e^{a x}$ ; la constante $C$ est la valeur en $0$ .
Pour $y^{'} = a y + b$ avec $a \neq = 0$ : on cherche d'abord la solution constante $- \frac{b}{a}$ — l'état d'équilibre du système — puis on ajoute $C e^{a x}$ . Si $a < 0$ toutes les courbes rejoignent cet équilibre ; si $a > 0$ elles s'en écartent.
La méthode d'Euler suit la tangente pendant une durée $h$ : $y_{k + 1} = y_{k} + h f (t_{k}, y_{k})$ . Elle ne demande jamais de savoir résoudre, et l'on divise le pas jusqu'à ce que le résultat cesse de bouger.

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Primitives et équations différentielles

6.1 Une équation dont l'inconnue est une fonction

6.1.1 Ce que dit une équation différentielle

Méthode : Vérifier qu'une fonction est solution

6.1.2 Quatre situations, une seule forme

6.2 Primitives

6.2.1 Définition et première propriété

Méthode : Trouver la primitive imposée par une condition initiale

6.2.2 Les primitives à connaître

6.2.3 Trois formes composées à reconnaître

Méthode : Reconnaître une forme composée

6.3 L'équation y′=ay

Méthode : Passer d'un temps caractéristique au coefficient, et retour

6.4 L'équation y′=ay+b

Méthode : Résoudre y′=ay+b, en deux temps (a=0)

6.5 La méthode d'Euler

Méthode : Le pas d'Euler

6.6 Bilan

6.3 L'équation $y^{'} = a y$

6.4 L'équation $y^{'} = a y + b$

Méthode : Résoudre $y^{'} = a y + b$ , en deux temps ( $a \neq = 0$ )