Primitives et équations différentielles

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Plusieurs solutions de l'équation différentielle y′ = ay, une par valeur initiale.

Un corps est découvert à 22 heures dans une pièce chauffée à $18^{\circ}$ C. Personne ne donnera au médecin légiste l'heure du décès ; il relève seulement deux températures, à une heure d'intervalle. Cela suffira. Ce qu'il sait, en effet, ce n'est pas la température du corps à chaque instant : c'est une règle sur sa vitesse — un corps se refroidit d'autant plus vite qu'il est plus chaud que la pièce qui l'entoure.

La même phrase revient dans tous les domaines. Un échantillon radioactif se désintègre d'autant plus vite qu'il contient encore plus de noyaux. Les reins éliminent un médicament d'autant plus vite que le sang en est plus chargé. Un lac se dépollue d'autant plus vite qu'il est plus pollué. Dans chacune de ces situations, ce que la science observe n'est pas la grandeur elle-même, mais sa vitesse de variation, et cette vitesse s'exprime à partir de la grandeur. On obtient ainsi une relation entre une fonction inconnue et sa dérivée : une équation différentielle.

Le chapitre 4 a appris à descendre d'une fonction à sa dérivée. Il s'agit ici de remonter la pente : partir de ce que l'on sait de la vitesse, et retrouver la fonction.

Problématique. Comment retrouver une grandeur lorsqu'on ne connaît que sa vitesse de variation ?

6.1 Une équation dont l'inconnue est une fonction

6.1.1 Ce que dit une équation différentielle

Jusqu'ici, résoudre une équation, c'était chercher des nombres : les $x$ tels que $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ . Une équation différentielle change la nature de l'inconnue : on y cherche des fonctions.

Définition 6.1Équation différentielle, solution

Une équation différentielle du premier ordre est une égalité qui relie une fonction inconnue, notée $y$ , et sa fonction dérivée $y^{'}$ .

Une fonction $f$ , dérivable sur un intervalle $I$ , est une solution de cette équation sur $I$ lorsque, en remplaçant partout $y$ par $f (x)$ et $y^{'}$ par $f^{'} (x)$ , l'égalité est vraie pour tout $x$ de $I$ .

!Attention

Dans l'écriture $y^{'} = - 0, 25 y + 5$ , la lettre $y$ ne désigne pas un nombre mais une fonction. Écrire $y = 12$ n'a donc de sens que pour dire : « la fonction constante égale à $12$ ». C'est d'ailleurs une question que l'on se posera systématiquement — une fonction constante peut très bien être solution.

Exemple 6.2Le corps qui refroidit

La loi de refroidissement de Newton dit que la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart entre la température du corps et celle de la pièce. Avec une pièce à $20^{\circ}$ C, cela s'écrit

$T^{'} = - 0, 25 (T - 20), c’est- a ˋ -dire T^{'} = - 0, 25 T + 5.$

Vérifions que $f (t) = 20 + 65 e^{- 0, 25 t}$ en est une solution sur $[0; + \infty [$ . D'une part, $f$ est de la forme $20 + 65 e^{u}$ avec $u (t) = - 0, 25 t$ , donc

$f^{'} (t) = 65 \times (- 0, 25) e^{- 0, 25 t} = - 16, 25 e^{- 0, 25 t} .$

D'autre part,

$- 0, 25 f (t) + 5 = - 0, 25 (20 + 65 e^{- 0, 25 t}) + 5 = - 5 - 16, 25 e^{- 0, 25 t} + 5 = - 16, 25 e^{- 0, 25 t} .$

Les deux calculs donnent la même expression, et cela pour tout $t \geq 0$ : $f$ est bien solution. Elle décrit un corps parti de $85^{\circ}$ C.

Méthode : Vérifier qu'une fonction est solution

Calculer $f^{'}$ — c'est presque toujours une dérivée composée du chapitre 4.
Calculer séparément le second membre de l'équation, en y remplaçant $y$ par $f (x)$ .
Comparer les deux expressions. Si elles coïncident pour tout $x$ de l'intervalle, $f$ est solution ; sinon, elle ne l'est pas.

On ne « résout » rien ici : on contrôle. C'est pour cela que la vérification est toujours à la portée de tous, même quand la résolution ne l'est pas.

iRemarque

Une équation différentielle a donc, en général, une infinité de solutions : elle décrit une famille d'évolutions possibles, pas une évolution. C'est la donnée d'une valeur à un instant — appelée condition initiale — qui en désigne une seule. Autrement dit : la loi physique dit comment le système évolue, la condition initiale dit d'où il part.

6.1.2 Quatre situations, une seule forme

Les quatre modèles ci-dessous viennent de disciplines différentes ; ils s'écrivent tous $y^{'} = a y + b$ avec $a$ et $b$ constants. C'est exactement le cadre du programme.

Situation	Équation	$a$	$b$
Désintégration d'un noyau	$N^{'} = - λ N$	$- λ$	$0$
Population sans contrainte	$P^{'} = 0, 35 P$	$0, 35$	$0$
Refroidissement (Newton)	$T^{'} = - k (T - θ)$	$- k$	$k θ$
Perfusion continue	$C^{'} = - 0, 2 C + 4$	$- 0, 2$	$4$

iRemarque

Le programme se limite à ce cas : équations linéaires du premier ordre à coefficients constants. Une équation d'une autre forme — l'équation logistique, par exemple, où le coefficient dépend lui-même de $y$ — pourra apparaître dans un contexte, mais sa résolution n'est jamais exigible. On saura toujours en vérifier une solution donnée, et toujours la traiter numériquement par la méthode d'Euler.

6.2 Primitives

6.2.1 Définition et première propriété

Le cas le plus simple d'équation différentielle est celui où la vitesse ne dépend que du temps, et pas de la grandeur elle-même : $y^{'} = f$ . On le rencontre chaque fois qu'un appareil mesure un débit, une puissance ou un taux, et qu'on veut en déduire un cumul.

Définition 6.3Primitive

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ lorsque $F$ est dérivable sur $I$ et que

$F^{'} (x) = f (x) pour tout x de I .$

Chercher une primitive de $f$ , c'est donc exactement résoudre l'équation différentielle $y^{'} = f$ .

◆Théorème 6.4Deux primitives diffèrent d'une constante

Soit $f$ une fonction admettant une primitive $F$ sur un intervalle $I$ . Alors les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les fonctions

$x ⟼ F (x) + k, k \in R .$

Exercices du chapitre

Trois modèles, trois vérifications corrigé
Iode 131 et scintigraphie corrigé
Charge d'un condensateur corrigé
Une perfusion continue corrigé
La méthode d'Euler, à la main puis en Python corrigé
Problème — Un lac à dépolluer corrigé

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