Intégration

Cours complet · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 7 · terminale, option mathématiques complémentaires

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Le tableau de bord d'une voiture affiche une vitesse ; le compteur kilométrique, lui, affiche une distance. Passer de l'une à l'autre est immédiat tant que la vitesse ne bouge pas : rouler deux heures à $90$ km/h fait $180$ km, et ce produit n'est rien d'autre que l'aire d'un rectangle. Dès que la vitesse varie, le produit n'a plus de sens — mais l'aire, elle, en garde un.

Le même problème revient partout où l'on dispose d'un débit et où l'on cherche une quantité. Un débitmètre donne des mètres cubes par seconde, l'hydrologue veut un volume. Une prise de sang donne une concentration à chaque instant, le pharmacologue veut l'exposition totale de l'organisme. Un compteur mesure une puissance, la facture porte sur une énergie. Dans chacun de ces cas la quantité cherchée est l'aire comprise entre une courbe et l'axe des abscisses.

Ce chapitre apprend à noter cette aire, à l'encadrer, à l'approcher numériquement — puis, et c'est le coup de théâtre, à la calculer exactement au moyen des primitives du chapitre 6. Mesurer une aire et remonter une dérivée s'avéreront être le même problème.

Problématique. Comment mesurer l'aire sous une courbe, et pourquoi ce calcul d'aire est-il exactement l'opération inverse de la dérivation ?

7.1 L'aire sous une courbe

7.1.1 D'une vitesse à une distance

Une voiture roule pendant trois heures. Si sa vitesse est constamment de $25$ km/h, elle parcourt $25 \times 3 = 75$ km, et ce nombre se lit sur le graphique comme l'aire d'un rectangle de largeur $3$ et de hauteur $25$ . Si la vitesse varie — départ à $20$ km/h, pointe à $31, 25$ km/h, retour à $20$ km/h —, il n'y a plus de produit à former. Il reste pourtant une aire.

Définition 7.1Intégrale d'une fonction continue et positive

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a; b]$ , et soit $C$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

On appelle intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ l'aire du domaine du plan délimité par la courbe $C$ , l'axe des abscisses et les deux droites verticales d'équations $x = a$ et $x = b$ . Cette aire est exprimée en unités d'aire : l'unité d'aire est l'aire du rectangle bâti sur les deux vecteurs unitaires du repère. On la note

$\int_{a}^{b} f (x) d x .$

iRemarqueDeux points de notation

La lettre $x$ ne sert qu'à écrire la formule : elle disparaît du résultat. On dit que c'est une variable muette, et $\int_{a}^{b} f (x) d x$ , $\int_{a}^{b} f (t) d t$ et $\int_{a}^{b} f (u) d u$ désignent le même nombre. En modélisation on choisit la lettre qui parle : $t$ pour un temps, $q$ pour une quantité.
Le symbole $d x$ n'est pas décoratif : il rappelle de quelle variable on parle, et il porte les unités. Si $f (t)$ est un débit en m $^{3}$ /s et $t$ un temps en secondes, alors $\int f (t) d t$ est en $\frac{m ^{3}}{s} \times s$ , c'est-à-dire en m $^{3}$ . Un contrôle d'unités vaut toujours un contrôle de raisonnement.

Exemple 7.2Une intégrale lue à la règle

Le débit d'une perfusion, en mL/h, est réglé ainsi : $60$ mL/h pendant les deux premières heures, puis il décroît linéairement jusqu'à $0$ au bout de la sixième heure. Le volume perfusé est l'aire sous ce graphique : un rectangle de $2$ h sur $60$ mL/h, plus un triangle de base $4$ h et de hauteur $60$ mL/h, soit

$2 \times 60 + \frac{4 \times 60}{2} = 120 + 120 = 240 mL.$

Aucun calcul d'intégrale n'a été nécessaire : quand la courbe est faite de segments, la géométrie du collège suffit.

7.1.2 Les propriétés qui viennent de l'aire

Toutes les règles qui suivent se lisent sur un dessin. Ce sont des propriétés de l'aire, pas des théorèmes de calcul : on les admet avec la notion d'aire elle-même.

Proposition 7.3Premières propriétés

Soient $f$ et $g$ continues et positives sur $[a; b]$ , et $λ$ un réel positif.

Intervalle réduit à un point : $\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$ — un segment n'a pas d'aire.
Positivité : $\int_{a}^{b} f (x) d x \geq 0$ .
Croissance : si $f (x) \leq g (x)$ pour tout $x$ de $[a; b]$ , alors $\int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} g (x) d x$ — une courbe plus basse enferme moins d'aire.
Linéarité : $\int_{a}^{b} (f (x) + g (x)) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x$ et $\int_{a}^{b} λ f (x) d x = λ \int_{a}^{b} f (x) d x$ .
Relation de Chasles : pour tout $c$ compris entre $a$ et $b$ ,

$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x .$

!Le réflexe

La relation de Chasles est l'outil du découpage. Chaque fois qu'une grandeur est décrite par morceaux — un débit mesuré heure par heure, un tarif qui change de palier, une fonction définie différemment sur deux intervalles — on intègre morceau par morceau et on additionne. C'est aussi elle qui permet d'affiner un encadrement, comme on va le voir tout de suite.

7.2 Encadrer, puis approcher

Avant de savoir calculer, il faut savoir estimer : c'est une capacité explicitement demandée par le programme, et c'est le seul garde-fou contre une erreur de calcul monumentale.

7.2.1 L'encadrement par les bornes

Proposition 7.4Encadrement par le minimum et le maximum

Soit $f$ continue et positive sur $[a; b]$ , avec $a < b$ . Si

$m \leq f (x) \leq M pour tout x de [a; b],$

alors

$m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (b - a) .$

Démonstration

C'est la propriété de croissance appliquée deux fois. La fonction constante égale à $m$ est en dessous de $f$ , la fonction constante égale à $M$ est au-dessus. Or l'intégrale d'une constante $k$ sur $[a; b]$ est l'aire d'un rectangle de largeur $b - a$ et de hauteur $k$ , c'est-à-dire $k (b - a)$ . D'où l'encadrement.

Exemple 7.5Un rejet de station d'épuration

Le débit de rejet d'une petite station, en m $^{3}$ /h, est $d (t) = \frac{120}{1 + 0 , 5 t}$ pour $0 \leq t \leq 6$ ( $t$ en heures). Ce débit est décroissant, de $d (0) = 120$ à $d (6) = 30$ . L'encadrement immédiat donne

$30 \times 6 \leq \int_{0}^{6} d (t) d t \leq 120 \times 6, soit 180 \leq V \leq 720 m^{3} .$

C'est très large. On affine en coupant en trois par la relation de Chasles, sur $[0; 2]$ , $[2; 4]$ et $[4; 6]$ , où $d$ vaut respectivement au plus $120$ , $60$ , $40$ et au moins $60$ , $40$ , $30$ :

$2 (60 + 40 + 30) \leq V \leq 2 (120 + 60 + 40), soit 260 \leq V \leq 440 m^{3} .$

La valeur exacte, que l'on saura calculer à la fin du chapitre, est $240 ln 4 \approx 332, 7$ m $^{3}$ .

!Le réflexe

Découper, c'est resserrer. Sur chaque morceau, la fonction varie moins, donc l'écart entre son minimum et son maximum diminue — et l'encadrement avec lui. Pousser cette idée jusqu'au bout, c'est exactement la méthode des rectangles.

7.2.2 La méthode des rectangles

On partage $[a; b]$ en $n$ tranches de même largeur $h = \frac{b - a}{n}$ , et sur chaque tranche on remplace la courbe par un segment horizontal : à gauche, la hauteur est la valeur de $f$ au bord gauche de la tranche ; à droite, sa valeur au bord droit. On obtient deux sommes d'aires de rectangles.

Lorsque $f$ est croissante, les rectangles de gauche restent sous la courbe et ceux de droite la dépassent : les deux sommes encadrent l'intégrale. Lorsque $f$ est décroissante, c'est l'inverse.

Méthode : Méthode des rectangles

Pour approcher $\int_{a}^{b} f (x) d x$ :

poser $h = \frac{b - a}{n}$ et découper $[a; b]$ aux points $a, a + h, a + 2 h, \dots, b$ ;
former la somme des $n$ aires $h \times f (bord gauche)$ , puis celle des $n$ aires $h \times f (bord droit)$ ;
si $f$ est monotone sur $[a; b]$ , ces deux sommes encadrent l'intégrale ; leur écart vaut $h f (b) - f (a)$ et tend vers $0$ quand $n$ grandit.

Sur une population de bactéries dont la vitesse de croissance, en millions d'individus par heure, est $f (t) = 3 e^{0, 3 t}$ , l'accroissement total pendant quatre heures est $\int_{0}^{4} 3 e^{0, 3 t} d t$ .


from math import exp

def rectangles(f, a, b, n, cote):
    """Somme des aires de n rectangles ; cote vaut "gauche" ou "droite"."""
    h = (b - a) / n
    s = 0
    for k in range(n):
        x = a + k * h if cote == "gauche" else a + (k + 1) * h
        s = s + f(x)
    return h * s

f = lambda t: 3 * exp(0.3 * t)          # vitesse de croissance, en millions/h
for n in [4, 12, 100, 10000]:
    bas = rectangles(f, 0, 4, n, "gauche")
    haut = rectangles(f, 0, 4, n, "droite")
    print(n, round(bas, 4), round(haut, 4))

Le programme affiche :


4 19.8947 26.8551
12 22.0604 24.3806
100 23.0622 23.3407
10000 23.1998 23.2026

L'accroissement vaut donc environ $23, 20$ millions de bactéries. On verra en fin de chapitre qu'il vaut exactement $10 (e^{1, 2} - 1)$ .

!Attention

L'encadrement n'est légitime que si $f$ est monotone sur l'intervalle. Si la fonction monte puis descend, les rectangles de gauche ne sont plus tous sous la courbe et la somme obtenue n'encadre plus rien : elle reste une approximation, mais on ne sait plus de quel côté. Le remède est la relation de Chasles : découper d'abord aux extremums, encadrer ensuite sur chaque morceau.

7.3 La valeur moyenne

Quelle est la « concentration moyenne » d'un médicament entre deux prises ? Faire la moyenne de deux ou trois mesures serait arbitraire : la grandeur change à chaque instant. La bonne définition est celle qui conserve l'aire.

Définition 7.6Valeur moyenne

Soit $f$ continue sur $[a; b]$ avec $a < b$ . La valeur moyenne de $f$ sur $[a; b]$ est le nombre

$μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x .$

Autrement dit, $μ$ est la hauteur du rectangle de largeur $b - a$ qui aurait exactement la même aire que le domaine sous la courbe : c'est la valeur constante qui « rendrait le même service » sur toute la durée.

Proposition 7.7La moyenne est entre le minimum et le maximum

Si $m \leq f (x) \leq M$ sur $[a; b]$ , alors $m \leq μ \leq M$ .

Démonstration

On part de l'encadrement $m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f \leq M (b - a)$ et on divise les trois membres par $b - a$ , qui est strictement positif : le sens des inégalités est conservé.

Exemple 7.8Concentration moyenne entre deux prises

Après une injection, la concentration d'un antibiotique dans le sang, en mg/L, est $C (t) = 20 e^{- 0, 25 t}$ , $t$ en heures. La prise suivante a lieu huit heures plus tard. La concentration moyenne sur l'intervalle vaut

$μ = \frac{1}{8} \int_{0}^{8} 20 e^{- 0, 25 t} d t = \frac{1}{8} \times 80 (1 - e^{- 2}) = 10 (1 - e^{- 2}) \approx 8, 65 mg/L.$

On contrôle : $C$ varie de $20$ à $20 e^{- 2} \approx 2, 71$ , et $2, 71 \leq 8, 65 \leq 20$ . La moyenne est nettement plus proche de la valeur basse que de la valeur haute — c'est normal, la concentration passe la majeure partie du temps dans le bas de sa plage.

!Attention

La valeur moyenne d'une fonction n'est pas la moyenne de ses valeurs aux bornes. Ici $\frac{C ( 0 ) + C ( 8 )}{2} = \frac{20 + 2 , 71}{2} \approx 11, 4$ , ce qui surestime la moyenne réelle de plus de $30 %$ . Ce raccourci n'est exact que si $f$ est affine.

7.4 Les fonctions de signe quelconque

Jusqu'ici la fonction était positive. Que faire d'un bilan qui change de signe — un glacier qui gagne de la masse l'hiver et en perd l'été, un compte qui est crédité puis débité, un sol qui reçoit plus d'eau qu'il n'en évapore, puis l'inverse ?

On étend la notation : l'intégrale compte positivement ce qui est au-dessus de l'axe et négativement ce qui est en dessous. C'est une présentation, au sens du programme : on ne redéfinit rien, on prolonge la notation de manière à conserver toutes les propriétés précédentes.

Définition 7.9Intégrale d'une fonction de signe quelconque

Soit $f$ continue sur $[a; b]$ , de signe quelconque. On appelle encore $\int_{a}^{b} f (x) d x$ l'aire algébrique du domaine compris entre la courbe et l'axe des abscisses : chaque portion située au-dessus de l'axe compte pour son aire, chaque portion située en dessous compte pour l'opposé de son aire.

On admet que la relation de Chasles, la linéarité et la croissance restent valables. On convient enfin que $\int_{b}^{a} f (x) d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x$ , ce qui rend la relation de Chasles vraie quel que soit l'ordre des bornes.

!Attention

Aire et intégrale ne sont plus la même chose. Sur la figure ci-dessus, l'intégrale vaut $- 0, 48$ (c'est le bilan du glacier sur l'année) tandis que l'aire géométrique totale coloriée vaut $2, 33$ (c'est la somme de tout ce qui a été gagné et de tout ce qui a été perdu). Deux questions différentes, deux réponses différentes. Pour obtenir une aire, on découpe aux points où $f$ s'annule et on change le signe des morceaux négatifs.

iRemarqueCe que l'ingénieur en retient

Un bilan nul ne signifie pas qu'il ne s'est rien passé. Une rivière dont le bilan entrées-sorties est nul sur l'année a pu déborder au printemps et s'assécher en août. L'intégrale répond à « où en est-on à la fin ? », l'aire géométrique à « combien s'est-il passé de choses ? ».

7.5 Le théorème fondamental

7.5.1 La fonction aire

Fixons $f$ continue et positive sur un intervalle $I$ , et $a$ un point de $I$ . Pour chaque $x$ de $I$ , l'aire sous la courbe entre $a$ et $x$ est un nombre bien défini. On peut donc construire une nouvelle fonction :

$F : x ⟼ \int_{a}^{x} f (t) d t .$

Remarquons tout de suite le rôle des lettres : $t$ est muette et parcourt l'intervalle d'intégration, $x$ est la variable de la fonction $F$ et sert de borne. Écrire $\int_{a}^{x} f (x) d x$ serait une faute de frappe fatale.

◆Théorème 7.10Théorème fondamental de l'analyse --- admis

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$ un point de $I$ . La fonction

$F : x ⟼ \int_{a}^{x} f (t) d t$

est dérivable sur $I$ et $F^{'} = f$ .

Autrement dit, $F$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$ .

Ce théorème est admis : sa démonstration complète dépasse le programme. On peut toutefois voir d'où il vient. Pour un petit accroissement $h > 0$ , la différence $F (x + h) - F (x)$ est, par la relation de Chasles, l'aire de la tranche verticale située entre $x$ et $x + h$ . Cette tranche est très fine, et sur une largeur si petite $f$ n'a guère le temps de changer : la tranche ressemble à un rectangle de largeur $h$ et de hauteur $f (x)$ . Donc

$F (x + h) - F (x) \approx h \times f (x), c’est- a ˋ -dire \frac{F ( x + h ) - F ( x )}{h} \approx f (x) .$

Le membre de gauche est le taux d'accroissement de $F$ : quand $h$ devient petit, il tend vers $F^{'} (x)$ . C'est bien $F^{'} = f$ . Rendre cet argument rigoureux — contrôler l'approximation « $\approx$ » — est précisément ce que l'on admet.

iRemarqueDeux points de vue enfin réunis

Le chapitre 6 partait de la question : « quelle fonction a pour dérivée $f$ ? ». Ce chapitre part de : « quelle est l'aire sous la courbe de $f$ ? ». Le théorème dit que c'est la même question. Dériver et intégrer sont deux opérations inverses l'une de l'autre, et c'est ce qui donne à l'analyse toute sa puissance : un problème de mesure devient un problème de calcul algébrique.

7.5.2 Calculer une intégrale

◆Théorème 7.11Calcul d'une intégrale par une primitive

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ , et $F$ une primitive quelconque de $f$ sur $I$ . Alors, pour tous $a$ et $b$ de $I$ ,

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) .$

On note ce nombre $[F (x)]_{a}^{b}$ .

Démonstration

Notons $Φ (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ . D'après le théorème fondamental (admis), $Φ$ est une primitive de $f$ sur $I$ . Soit $F$ une autre primitive de $f$ . Le chapitre 6 a établi que deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante : il existe donc un réel $c$ tel que

$Φ (x) = F (x) + c pour tout x de I .$

En prenant $x = a$ : $Φ (a) = \int_{a}^{a} f = 0$ , donc $0 = F (a) + c$ , c'est-à-dire $c = - F (a)$ . En prenant ensuite $x = b$ :

$\int_{a}^{b} f (t) d t = Φ (b) = F (b) + c = F (b) - F (a) .$

iRemarqueLe choix de la primitive est sans importance

Si l'on remplace $F$ par $F + k$ , la différence $(F (b) + k) - (F (a) + k)$ ne change pas : la constante s'élimine. C'est pourquoi on ne met jamais de « $+ C$ » dans un calcul d'intégrale entre deux bornes.

Méthode : Calculer une intégrale, en trois gestes

Vérifier que $f$ est continue sur tout l'intervalle $[a; b]$ — c'est là que se cachent les erreurs de domaine.
Trouver une primitive $F$ (chapitre 6 : reconnaître $2 u u^{'}$ , $u^{'} e^{u}$ , $\frac{u ^{'}}{u}$ , ou une somme de fonctions de référence).
Évaluer $F (b) - F (a)$ , en écrivant les crochets, puis contrôler l'ordre de grandeur avec l'encadrement par les bornes.

Exemple 7.12Quatre calculs types

$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) d x = [x^{3} - 2 x^{2} + x]_{0}^{2} = (8 - 8 + 2) - 0 = 2.$
$\int_{0}^{3} e^{- 0, 5 t} d t = [- 2 e^{- 0, 5 t}]_{0}^{3} = - 2 e^{- 1, 5} + 2 = 2 (1 - e^{- 1, 5}) \approx 1, 55.$ (Une primitive de $e^{a t}$ est $\frac{1}{a} e^{a t}$ .)
$\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = [ln (x^{2} + 1)]_{0}^{1} = ln 2 - ln 1 = ln 2 \approx 0, 69.$ (Forme $\frac{u ^{'}}{u}$ , avec $u = x^{2} + 1 > 0$ .)
$\int_{0}^{4} 3 e^{0, 3 t} d t = [10 e^{0, 3 t}]_{0}^{4} = 10 e^{1, 2} - 10 = 10 (e^{1, 2} - 1) \approx 23, 2012.$ C'est bien la valeur qu'annonçaient les rectangles.

!Attention

La formule exige que $f$ soit continue sur tout l'intervalle. Écrire $\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{x ^{2}} = [- \frac{1}{x}]_{- 1}^{1} = - 1 - 1 = - 2$ est absurde : une fonction positive ne peut pas avoir une intégrale négative. L'erreur est que $\frac{1}{x ^{2}}$ n'est pas définie en $0$ , qui est à l'intérieur de l'intervalle. De même, $ln u$ n'est une primitive de $\frac{u ^{'}}{u}$ que là où $u > 0$ .

7.6 Des aires à calculer

7.6.1 Aire sous une courbe

Si $f$ est continue et positive sur $[a; b]$ , l'aire du domaine sous la courbe vaut $\int_{a}^{b} f (x) d x$ unités d'aire. Pour l'exprimer dans une unité concrète, on multiplie par l'aire d'une unité : si un carreau mesure $2$ cm sur $0, 5$ cm, une unité d'aire vaut $1$ cm $^{2}$ .

7.6.2 Aire entre deux courbes

Proposition 7.13Aire entre deux courbes

Soient $f$ et $g$ continues sur $[a; b]$ avec $g (x) \leq f (x)$ pour tout $x$ de $[a; b]$ . L'aire du domaine compris entre les deux courbes vaut

$A = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x unit e ˊ s d’aire.$

Démonstration

Si $g$ est positive, le domaine entre les courbes s'obtient en retirant au domaine sous $C_{f}$ le domaine sous $C_{g}$ : par linéarité, son aire est $\int_{a}^{b} f - \int_{a}^{b} g = \int_{a}^{b} (f - g)$ . Si $g$ prend des valeurs négatives, on translate les deux courbes vers le haut d'une même quantité $k$ assez grande pour que $g + k$ soit positive : cette translation ne change ni la forme du domaine ni son aire, et $(f + k) - (g + k) = f - g$ . La formule est donc valable dans tous les cas.

iRemarque

Le point à retenir : la position par rapport à l'axe des abscisses n'a aucune importance, seule compte la position relative des deux courbes. Il faut en revanche savoir laquelle est au-dessus — sinon on obtient l'opposé de l'aire.

Cette formule est l'outil de l'un des thèmes d'étude du programme, la répartition des richesses. On classe la population de la plus pauvre à la plus riche et l'on trace, en fonction de la proportion $x$ de la population considérée, la proportion $L (x)$ du revenu total qu'elle détient : c'est la courbe de Lorenz. L'écart entre cette courbe et la diagonale mesure l'inégalité.

Exemple 7.14Le surplus du consommateur

En économie, la courbe de demande $p = D (q)$ donne le prix maximal que des acheteurs sont prêts à payer pour la $q$ -ième unité. Si le prix de marché est $p^{*}$ et que la quantité échangée est $q^{*}$ , le surplus du consommateur est l'aire comprise entre la courbe de demande et la droite horizontale $p = p^{*}$ : c'est ce que les acheteurs auraient accepté de payer en plus, et qu'ils économisent.

Avec $D (q) = 60 - 2 q$ (prix en euros, $q$ en milliers d'unités) et $p^{*} = 20$ , on a $q^{*} = 20$ et

$S = \int_{0}^{20} (60 - 2 q - 20) d q = [40 q - q^{2}]_{0}^{20} = 800 - 400 = 400,$

soit $400$ milliers d'euros. Une inégalité, un gain, une exposition : à chaque fois, une aire.

7.7 Trois algorithmes

Le programme cite trois manières d'approcher numériquement une intégrale. Les voici sur le même exemple, $\int_{0}^{4} 3 e^{0, 3 t} d t$ , dont on connaît la valeur exacte $10 (e^{1, 2} - 1)$ : on peut donc juger chaque méthode.

les rectangles remplacent la courbe par un palier sur chaque tranche ;
les trapèzes la remplacent par le segment joignant les deux bords de la tranche — l'aire d'un trapèze de hauteur $h$ et de bases $f (x)$ et $f (x + h)$ vaut $h \frac{f ( x ) + f ( x + h )}{2}$ ;
la méthode de Monte-Carlo tire des points au hasard dans un rectangle contenant le domaine et compte la proportion de ceux qui tombent sous la courbe : cette proportion approche le rapport des aires.


from math import exp
from random import random, seed

def rectangles(f, a, b, n, cote):
    h = (b - a) / n
    s = 0
    for k in range(n):
        x = a + k * h if cote == "gauche" else a + (k + 1) * h
        s = s + f(x)
    return h * s

def trapezes(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    s = (f(a) + f(b)) / 2
    for k in range(1, n):
        s = s + f(a + k * h)
    return h * s

def monte_carlo(f, a, b, hmax, n):
    """f positive et majoree par hmax sur [a ; b]."""
    dedans = 0
    for _ in range(n):
        x = a + (b - a) * random()
        y = hmax * random()
        if y <= f(x):
            dedans = dedans + 1
    return (b - a) * hmax * dedans / n

f = lambda t: 3 * exp(0.3 * t)
exact = 10 * (exp(1.2) - 1)
print("valeur exacte      ", round(exact, 6))
print("rectangles n = 100 ", round((rectangles(f, 0, 4, 100, "gauche")
                                    + rectangles(f, 0, 4, 100, "droite")) / 2, 6))
print("trapezes   n = 100 ", round(trapezes(f, 0, 4, 100), 6))
seed(2026)
print("Monte-Carlo n = 10^4", round(monte_carlo(f, 0, 4, 10, 10000), 3))
seed(2026)
print("Monte-Carlo n = 10^6", round(monte_carlo(f, 0, 4, 10, 1000000), 3))

Résultat :


valeur exacte       23.201169
rectangles n = 100  23.201448
trapezes   n = 100  23.201448
Monte-Carlo n = 10^4 23.472
Monte-Carlo n = 10^6 23.18

iRemarqueTrois enseignements

Les deux premières lignes sont identiques, et ce n'est pas un hasard : la moyenne des rectangles de gauche et de droite est la méthode des trapèzes. En effet $h \frac{f ( x ) + f ( x + h )}{2}$ est bien la moyenne de $h f (x)$ et $h f (x + h)$ . Faire les deux encadrements et prendre le milieu, ou appliquer les trapèzes, revient au même.
À $n$ égal, les trapèzes battent largement les rectangles : ici l'erreur est de l'ordre du dix-millième contre le centième.
Monte-Carlo est bien plus lent à converger — un million de tirages font moins bien que cent trapèzes. Sa force est ailleurs : elle s'applique en dimension quelconque et à des domaines de forme compliquée, là où le découpage régulier devient impraticable. C'est ainsi qu'on mesure la surface d'une feuille sur une photographie ou le volume d'une cavité sur un scanner.

7.8 Bilan

Proposition 7.15L'essentiel du chapitre

Pour $f$ continue et positive sur $[a; b]$ , $\int_{a}^{b} f (x) d x$ est l'aire sous la courbe. Tout le reste en découle : positivité, croissance, linéarité et relation de Chasles se lisent sur un dessin.
Si $m \leq f \leq M$ , alors $m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f \leq M (b - a)$ . Découper avec Chasles resserre l'encadrement ; le pousser à la limite donne la méthode des rectangles. La moyenne des deux sommes est la méthode des trapèzes.
La valeur moyenne $μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f$ est la hauteur du rectangle de même aire, et $m \leq μ \leq M$ .
Pour $f$ de signe quelconque, l'intégrale est une aire algébrique : elle donne un bilan, pas une aire. Pour obtenir une aire, on découpe aux points où $f$ s'annule.
Théorème fondamental (admis) : $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ est dérivable et $F^{'} = f$ . On en déduit, pour toute primitive $F$ de $f$ ,

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) = [F (x)]_{a}^{b} .$

Dériver et intégrer sont deux opérations inverses.

L'aire entre deux courbes, avec $g \leq f$ , vaut $\int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$ : seule compte la position relative des courbes.
Trois algorithmes quand la primitive manque : rectangles, trapèzes (bien plus précis à $n$ égal), Monte-Carlo (lent, mais insensible à la forme du domaine).

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