Intégration
Cours · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 7 · terminale, option mathématiques complémentaires · le début du chapitre, la suite sur Adloun
Le tableau de bord d'une voiture affiche une vitesse ; le compteur kilométrique, lui, affiche une distance. Passer de l'une à l'autre est immédiat tant que la vitesse ne bouge pas : rouler deux heures à km/h fait km, et ce produit n'est rien d'autre que l'aire d'un rectangle. Dès que la vitesse varie, le produit n'a plus de sens — mais l'aire, elle, en garde un.
Le même problème revient partout où l'on dispose d'un débit et où l'on cherche une quantité. Un débitmètre donne des mètres cubes par seconde, l'hydrologue veut un volume. Une prise de sang donne une concentration à chaque instant, le pharmacologue veut l'exposition totale de l'organisme. Un compteur mesure une puissance, la facture porte sur une énergie. Dans chacun de ces cas la quantité cherchée est l'aire comprise entre une courbe et l'axe des abscisses.
Ce chapitre apprend à noter cette aire, à l'encadrer, à l'approcher numériquement — puis, et c'est le coup de théâtre, à la calculer exactement au moyen des primitives du chapitre 6. Mesurer une aire et remonter une dérivée s'avéreront être le même problème.
Problématique. Comment mesurer l'aire sous une courbe, et pourquoi ce calcul d'aire est-il exactement l'opération inverse de la dérivation ?
7.1 L'aire sous une courbe
7.1.1 D'une vitesse à une distance
Une voiture roule pendant trois heures. Si sa vitesse est constamment de km/h, elle parcourt km, et ce nombre se lit sur le graphique comme l'aire d'un rectangle de largeur et de hauteur . Si la vitesse varie — départ à km/h, pointe à km/h, retour à km/h —, il n'y a plus de produit à former. Il reste pourtant une aire.
Soit une fonction continue et positive sur un intervalle , et soit sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
On appelle intégrale de entre et l'aire du domaine du plan délimité par la courbe , l'axe des abscisses et les deux droites verticales d'équations et . Cette aire est exprimée en unités d'aire : l'unité d'aire est l'aire du rectangle bâti sur les deux vecteurs unitaires du repère. On la note
- La lettre ne sert qu'à écrire la formule : elle disparaît du résultat. On dit que c'est une variable muette, et , et désignent le même nombre. En modélisation on choisit la lettre qui parle : pour un temps, pour une quantité.
- Le symbole n'est pas décoratif : il rappelle de quelle variable on parle, et il porte les unités. Si est un débit en m/s et un temps en secondes, alors est en , c'est-à-dire en m. Un contrôle d'unités vaut toujours un contrôle de raisonnement.
Le débit d'une perfusion, en mL/h, est réglé ainsi : mL/h pendant les deux premières heures, puis il décroît linéairement jusqu'à au bout de la sixième heure. Le volume perfusé est l'aire sous ce graphique : un rectangle de h sur mL/h, plus un triangle de base h et de hauteur mL/h, soit
Aucun calcul d'intégrale n'a été nécessaire : quand la courbe est faite de segments, la géométrie du collège suffit.
7.1.2 Les propriétés qui viennent de l'aire
Toutes les règles qui suivent se lisent sur un dessin. Ce sont des propriétés de l'aire, pas des théorèmes de calcul : on les admet avec la notion d'aire elle-même.
Soient et continues et positives sur , et un réel positif.
- Intervalle réduit à un point : — un segment n'a pas d'aire.
- Positivité : .
- Croissance : si pour tout de , alors — une courbe plus basse enferme moins d'aire.
- Linéarité : et .
- Relation de Chasles : pour tout compris entre et ,
La relation de Chasles est l'outil du découpage. Chaque fois qu'une grandeur est décrite par morceaux — un débit mesuré heure par heure, un tarif qui change de palier, une fonction définie différemment sur deux intervalles — on intègre morceau par morceau et on additionne. C'est aussi elle qui permet d'affiner un encadrement, comme on va le voir tout de suite.
7.2 Encadrer, puis approcher
Avant de savoir calculer, il faut savoir estimer : c'est une capacité explicitement demandée par le programme, et c'est le seul garde-fou contre une erreur de calcul monumentale.
7.2.1 L'encadrement par les bornes
Soit continue et positive sur , avec . Si
alors
Démonstration
C'est la propriété de croissance appliquée deux fois. La fonction constante égale à est en dessous de , la fonction constante égale à est au-dessus. Or l'intégrale d'une constante sur est l'aire d'un rectangle de largeur et de hauteur , c'est-à-dire . D'où l'encadrement.
Le débit de rejet d'une petite station, en m/h, est pour ( en heures). Ce débit est décroissant, de à . L'encadrement immédiat donne
C'est très large. On affine en coupant en trois par la relation de Chasles, sur , et , où vaut respectivement au plus , , et au moins , , :
La valeur exacte, que l'on saura calculer à la fin du chapitre, est m.
Découper, c'est resserrer. Sur chaque morceau, la fonction varie moins, donc l'écart entre son minimum et son maximum diminue — et l'encadrement avec lui. Pousser cette idée jusqu'au bout, c'est exactement la méthode des rectangles.
7.2.2 La méthode des rectangles
On partage en tranches de même largeur , et sur chaque tranche on remplace la courbe par un segment horizontal : à gauche, la hauteur est la valeur de au bord gauche de la tranche ; à droite, sa valeur au bord droit. On obtient deux sommes d'aires de rectangles.
Lorsque est croissante, les rectangles de gauche restent sous la courbe et ceux de droite la dépassent : les deux sommes encadrent l'intégrale. Lorsque est décroissante, c'est l'inverse.
