Lois discrètes

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Un test de dépistage se trompe rarement : sur cent personnes réellement malades, il en détecte quatre-vingt-dix-neuf. Il est pourtant courant que, dans une campagne de dépistage de masse, cinq résultats positifs sur six concernent des personnes en parfaite santé. Ce n'est ni un paradoxe ni une erreur de calcul : c'est ce que produit la répétition. Une erreur très rare, répétée sur des centaines de milliers de personnes, finit par arriver des milliers de fois.

Le contrôle d'un lot de flacons, le suivi d'un essai clinique, un sondage, la transmission d'une mutation d'une génération à la suivante : dans toutes ces situations on répète un grand nombre de fois la même expérience, qui n'a que deux issues — défectueux ou conforme, guéri ou non, favorable ou défavorable. La seule chose qui compte alors est le nombre de succès, et sa loi porte un nom.

Une seconde question, symétrique de la première, se pose tout aussi souvent : on ne fixe plus le nombre d'essais, on attend le premier succès. Combien de patients faudra-t-il tester avant de trouver un donneur compatible ? Combien de vols un moteur effectuera-t-il avant sa première panne ? C'est la question du temps d'attente.

Problématique. Que produit la répétition d'une même épreuve à deux issues, et comment calculer avec ?

8.1 Deux lois élémentaires

8.1.1 Ce qu'on appelle une loi

Définition 8.1Variable aléatoire et loi de probabilité

Une variable aléatoire $X$ associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. Lorsqu'elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{r}$ , sa loi de probabilité est la donnée des nombres

$p_{i} = P (X = x_{i}), i = 1, \dots, r,$

qui sont positifs et de somme $1$ . On dit que la loi est discrète.

iRemarque

On écrit cette dernière condition $\sum_{i} p_{i} = 1$ . Le symbole $Σ$ sert ici à écrire une somme de façon compacte, non à la calculer : dans ce chapitre, toutes les sommes rencontrées seront écrites terme à terme dès qu'il faudra les évaluer.

Définition 8.2Espérance, variance, écart type

Avec les notations précédentes,

$E (X) = i \sum x_{i} p_{i}, V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}, σ (X) = V (X) .$

!Le réflexe

L'espérance est la moyenne des valeurs, pondérée par les probabilités : c'est ce qu'on obtient en moyenne « à la longue », après un très grand nombre de répétitions. L'écart type mesure la dispersion autour de cette moyenne, et il s'exprime dans la même unité que $X$ — c'est pourquoi on le préfère à la variance pour commenter un résultat.

8.1.2 La loi uniforme sur ${1, \dots, n}$

Définition 8.3Loi uniforme

La variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur ${1, 2, \dots, n}$ lorsque

$P (X = k) = \frac{1}{n} pour chaque entier k de 1 a ˋ n .$

Toutes les valeurs ont la même probabilité : on dit qu'il y a équiprobabilité.

Proposition 8.4Espérance de la loi uniforme

Si $X$ suit la loi uniforme sur ${1, \dots, n}$ , alors

$E (X) = \frac{n + 1}{2} .$

Démonstration

Par définition de l'espérance,

$E (X) = 1 \times \frac{1}{n} + 2 \times \frac{1}{n} + \dots + n \times \frac{1}{n} = \frac{1 + 2 + \dots + n}{n} .$

Notons $S = 1 + 2 + \dots + n$ . Écrivons cette somme deux fois, la seconde à l'envers, et additionnons colonne par colonne :

$S S 2 S = = = 1 n (n + 1) + + + 2 n - 1 (n + 1) + \dots + + \dots + + \dots + n 1 (n + 1)$

Chaque colonne vaut $n + 1$ , et il y a $n$ colonnes : $2 S = n (n + 1)$ , donc $S = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ . En divisant par $n$ :

$E (X) = \frac{n ( n + 1 )}{2 n} = \frac{n + 1}{2} .$

Exemple 8.5Un échantillon de carottes de sédiment

Un géologue a prélevé $12$ carottes, numérotées de $1$ à $12$ , et en choisit une au hasard pour analyse. Le numéro $X$ de la carotte choisie suit la loi uniforme sur ${1, \dots, 12}$ , donc

$E (X) = \frac{13}{2} = 6, 5.$

Les quatre dernières carottes proviennent de la couche profonde : $P (X \geq 9) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ .

L'espérance $6, 5$ n'est pas une valeur possible de $X$ : une espérance n'a aucune raison d'être atteinte.

8.1.3 L'épreuve et la loi de Bernoulli

Définition 8.6Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire n'ayant que deux issues, appelées conventionnellement succès (de probabilité $p$ ) et échec (de probabilité $1 - p$ ).

!Attention

Le mot « succès » ne porte aucun jugement de valeur : c'est simplement l'issue qu'on a décidé de compter. Dans un contrôle de qualité, le « succès » est le plus souvent le flacon défectueux ; dans un dépistage, le test positif. La première phrase d'une solution doit donc toujours dire quel événement on appelle succès.

Définition 8.7Loi de Bernoulli

On associe à une épreuve de Bernoulli la variable aléatoire $X$ qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ en cas d'échec :

$P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1 - p .$

On dit que $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ .

Proposition 8.8Espérance et écart type d'une loi de Bernoulli

Si $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ , alors

$E (X) = p, V (X) = p (1 - p), σ (X) = p (1 - p) .$

Démonstration

L'espérance se calcule directement :

$E (X) = 0 \times (1 - p) + 1 \times p = p .$

Pour la variance, remarquons que $X^{2} = X$ , puisque $0^{2} = 0$ et $1^{2} = 1$ : la variable $X^{2}$ a donc exactement la même loi que $X$ , et $E (X^{2}) = p$ . Ainsi

$V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = p - p^{2} = p (1 - p),$

et l'écart type en est la racine carrée.

iRemarque

L'écart type $p (1 - p)$ est nul pour $p = 0$ et pour $p = 1$ — il n'y a alors aucune incertitude — et maximal pour $p = 0, 5$ , où il vaut $0, 5$ . L'incertitude est la plus grande quand les deux issues sont également probables : c'est mathématiquement ce qu'on attendait.

8.2 Répéter la même épreuve : le schéma de Bernoulli

Définition 8.9Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli

identiques : c'est la même épreuve, de même probabilité de succès $p$ ;
indépendantes : le résultat d'une épreuve ne modifie pas les probabilités des suivantes.

On le représente par un arbre à $n$ niveaux, chaque nœud donnant naissance à deux branches.

Proposition 8.10Probabilité d'un chemin

Dans l'arbre d'un schéma de Bernoulli à $n$ épreuves, un chemin comportant exactement $k$ succès a pour probabilité

$p^{k} (1 - p)^{n - k},$

quel que soit l'ordre dans lequel ces succès apparaissent.

Démonstration

La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches — c'est précisément ce qu'autorise l'hypothèse d'indépendance. Le chemin considéré comporte $k$ branches « succès », portant chacune $p$ , et $n - k$ branches « échec », portant chacune $1 - p$ . Le produit vaut donc $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ . Comme la multiplication ne dépend pas de l'ordre des facteurs, deux chemins ayant le même nombre de succès ont la même probabilité.

!Le réflexe

Trois questions suffisent à reconnaître un schéma de Bernoulli.

L'expérience de base n'a-t-elle que deux issues ?
Est-elle répétée un nombre fixé à l'avance de fois ?
Les répétitions sont-elles indépendantes, avec le même $p$ ?

Si l'une des trois réponses est « non », les formules de ce chapitre ne s'appliquent pas.

!Attention

L'indépendance n'est pas un détail de rédaction. Si l'on tire successivement deux boules dans une urne sans remise, la composition de l'urne change : la seconde épreuve n'a pas le même $p$ que la première, et ce n'est pas un schéma de Bernoulli. En revanche, interroger $1000$ personnes dans une ville de $200000$ habitants modifie si peu les proportions qu'on assimile le sondage à un tirage avec remise — c'est une approximation, assumée comme telle.

8.3 Compter les chemins : les coefficients binomiaux

La proposition précédente laisse une seule inconnue : combien y a-t-il de chemins à $k$ succès ? Ce nombre mérite une notation.

Définition 8.11Coefficient binomial

Soient $n$ un entier naturel non nul et $k$ un entier avec $0 \leq k \leq n$ . Le coefficient binomial $(k n)$ , qui se lit « $k$ parmi $n$ », est le nombre de chemins comportant exactement $k$ succès dans l'arbre d'un schéma de Bernoulli à $n$ épreuves.

Proposition 8.12Valeurs immédiates et symétrie

Pour tout entier $n \geq 1$ et tout $k$ tel que $0 \leq k \leq n$ :

$(0 n) = 1, (n n) = 1, (1 n) = n, (k n) = (n - k n) .$

Démonstration

Les valeurs. Un chemin sans aucun succès n'a qu'une forme possible : $n$ échecs de suite. Donc $(0 n) = 1$ , et de même $(n n) = 1$ pour le chemin fait de $n$ succès. Un chemin à un seul succès est entièrement déterminé par le rang de ce succès, qui peut être $1$ , $2$ , …, $n$ : il y a exactement $n$ tels chemins.

La symétrie. Échangeons dans un chemin tous les S et tous les E. On transforme ainsi un chemin à $k$ succès en un chemin à $n - k$ succès, et cette transformation, appliquée deux fois, redonne le chemin de départ. Elle apparie donc un à un les chemins à $k$ succès et les chemins à $n - k$ succès : les deux familles ont le même nombre d'éléments.

◆Théorème 8.13Relation de Pascal

Pour tout entier $n \geq 2$ et tout $k$ tel que $1 \leq k \leq n - 1$ ,

$(k n) = (k - 1 n - 1) + (k n - 1) .$

Démonstration

Classons les chemins à $k$ succès (sur $n$ épreuves) selon le résultat de la dernière épreuve.

Si la dernière épreuve est un succès, les $n - 1$ premières en contiennent $k - 1$ : il y a $(k - 1 n - 1)$ façons de les placer.
Si la dernière épreuve est un échec, les $n - 1$ premières contiennent les $k$ succès : il y a $(k n - 1)$ façons.

Ces deux cas s'excluent l'un l'autre et couvrent toutes les possibilités : le nombre total est la somme des deux.

Méthode : Construire le triangle de Pascal

Écrire une ligne par valeur de $n$ , en commençant par $n = 0$ (une seule case, contenant $1$ ).
Placer un $1$ au début et à la fin de chaque ligne : ce sont $(0 n)$ et $(n n)$ .
Remplir chaque case intérieure par la somme des deux cases situées au-dessus — c'est la relation de Pascal.
Contrôler par la symétrie : chaque ligne doit se lire de la même façon dans les deux sens.

Exemple 8.14Lire le triangle

La ligne $n = 8$ du triangle est

$1828567056288 1.$

On y lit $(3 8) = 56$ , et la symétrie donne aussitôt $(5 8) = 56$ sans aucun calcul. La case $70$ , au centre, est $(4 8)$ : c'est le nombre de chemins où succès et échecs s'équilibrent, et c'est toujours le plus grand de la ligne.

Au-delà de quelques lignes, le triangle devient fastidieux et l'on passe à la machine : la calculatrice possède une touche $nCr$ , et Python la fonction math.comb.


def triangle_pascal(N):
    # Renvoie les lignes 0 a N du triangle, construites par la relation de Pascal.
    lignes = [[1]]
    for n in range(1, N + 1):
        precedente = lignes[-1]
        nouvelle = [1]
        for k in range(1, n):
            nouvelle.append(precedente[k - 1] + precedente[k])
        nouvelle.append(1)
        lignes.append(nouvelle)
    return lignes

for ligne in triangle_pascal(6):
    print(ligne)
# [1]
# [1, 1]
# [1, 2, 1]
# [1, 3, 3, 1]
# [1, 4, 6, 4, 1]
# [1, 5, 10, 10, 5, 1]
# [1, 6, 15, 20, 15, 6, 1]

from math import comb
print(comb(20, 4), comb(20, 16))   # 4845 4845  (symetrie)

8.4 La loi binomiale

Définition 8.15Loi binomiale

On considère un schéma de Bernoulli de $n$ épreuves de paramètre $p$ , et l'on note $X$ le nombre de succès obtenus. On dit que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , et l'on note $X \sim B (n, p)$ . La variable $X$ prend ses valeurs dans ${0, 1, \dots, n}$ .

◆Théorème 8.16Expression de la loi binomiale

Si $X \sim B (n, p)$ , alors pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$ ,

$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k} .$

Démonstration

L'événement $(X = k)$ est réalisé exactement par les chemins de l'arbre qui comportent $k$ succès. Ces chemins sont deux à deux incompatibles — on ne peut en suivre qu'un —, donc la probabilité de leur réunion est la somme de leurs probabilités. Chacun a pour probabilité $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ , et il y en a $(k n)$ . La somme de $(k n)$ termes tous égaux est leur produit :

$P (X = k) = (k n) \times p^{k} (1 - p)^{n - k} .$

◆Théorème 8.17Espérance et écart type — résultats admis

Si $X \sim B (n, p)$ , alors

$E (X) = n p, V (X) = n p (1 - p), σ (X) = n p (1 - p) .$

iRemarque

Ces trois formules sont admises : le programme les donne sans démonstration, et nous ne ferons pas semblant de les établir. On peut néanmoins les rendre plausibles. Chaque épreuve apporte en moyenne $p$ succès (c'est l'espérance d'une loi de Bernoulli) ; $n$ épreuves en apportent donc en moyenne $n p$ . Le fait que la variance s'ajoute elle aussi tient à l'indépendance, et c'est ce point-là qui échappe aux moyens de la classe de terminale.

Exemple 8.18Contrôle qualité d'un lot de flacons

Une chaîne de conditionnement produit $5 %$ de flacons non conformes. On prélève au hasard $12$ flacons dans une production très importante.

Chaque flacon donne lieu à une épreuve à deux issues (conforme / non conforme), la production est assez grande pour que les prélèvements soient assimilés à des épreuves indépendantes de même paramètre : en appelant succès le fait qu'un flacon soit non conforme, le nombre $X$ de flacons non conformes suit $B (12; 0, 05)$ .

$P (X = 0) = (0 12) 0, 0 5^{0} 0, 9 5^{12} = 0, 9 5^{12} \approx 0, 540,$

$P (X = 1) = (1 12) 0, 0 5^{1} 0, 9 5^{11} = 12 \times 0, 05 \times 0, 9 5^{11} \approx 0, 341.$

Le lot est rejeté dès qu'il contient au moins deux flacons non conformes :

$P (X \geq 2) = 1 - P (X = 0) - P (X = 1) \approx 1 - 0, 540 - 0, 341 = 0, 118.$

Enfin $E (X) = 12 \times 0, 05 = 0, 6$ flacon non conforme par prélèvement, et $σ (X) = 12 \times 0, 05 \times 0, 95 \approx 0, 755$ .

Méthode : Exploiter une loi binomiale

Nommer la variable et dire ce qu'est un succès.
Justifier le schéma de Bernoulli : deux issues, $n$ fixé, indépendance.
Conclure : $X \sim B (n, p)$ , puis écrire $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ avec les valeurs de l'énoncé.
Traduire la question en événement avant de calculer : « au moins un », « au plus trois », « exactement deux » ne sont pas la même chose.

!Attention

« Au moins un succès » ne se calcule presque jamais directement : il faudrait additionner $n$ termes. On passe par l'événement contraire,

$P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - (1 - p)^{n},$

qui ne demande qu'une puissance. De même $P (X \geq k) = 1 - P (X \leq k - 1)$ : attention au $k - 1$ , c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

8.4.1 Probabilités cumulées et intervalle de fluctuation

Méthode : Calculer $P (X \leq k)$

La probabilité cumulée $P (X \leq k) = P (X = 0) + P (X = 1) + \dots + P (X = k)$ s'obtient

à la main si $k$ est petit, en additionnant les termes ;
sinon à la calculatrice (fonction binomFRép ou binomcdf) ou en Python.

Les trois traductions à connaître sont

$P (X < k) = P (X \leq k - 1), P (X \geq k) = 1 - P (X \leq k - 1),$

$P (a \leq X \leq b) = P (X \leq b) - P (X \leq a - 1) .$

Une question revient dans toutes les applications : dans quelle fourchette le résultat va-t-il tomber, disons dix-neuf fois sur vingt ? On cherche un intervalle $I$ tel que $P (X \in I) \geq 1 - α$ , avec le plus souvent $α = 0, 05$ .

Méthode : Déterminer $I$ tel que $P (X \in I) \geq 1 - α$

On rejette une probabilité au plus $α /2$ de chaque côté :

$a$ est le plus petit entier tel que $P (X \leq a) > \frac{α}{2}$ ;
$b$ est le plus petit entier tel que $P (X \leq b) \geq 1 - \frac{α}{2}$ ;
on pose $I = [a; b]$ , et l'on vérifie que $P (X \in I) = P (X \leq b) - P (X \leq a - 1) \geq 1 - α$ .


from math import comb

def proba_binomiale(n, p, k):
    return comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)

def cumulee(n, p, k):          # P(X <= k)
    return sum(proba_binomiale(n, p, j) for j in range(k + 1))

def intervalle(n, p, alpha):
    # Plus petit intervalle [a ; b] tel que P(a <= X <= b) >= 1 - alpha.
    a = 0
    while cumulee(n, p, a) <= alpha / 2:
        a = a + 1
    b = a
    while cumulee(n, p, b) < 1 - alpha / 2:
        b = b + 1
    couverture = cumulee(n, p, b) - cumulee(n, p, a) + proba_binomiale(n, p, a)
    return a, b, couverture

print(intervalle(40, 0.30, 0.05))    # (7, 18, 0.9615...)
print(intervalle(50, 0.20, 0.05))    # (5, 16, 0.9671...)
print(intervalle(100, 0.52, 0.05))   # (42, 62, 0.9649...)

iRemarque

On peut aussi simuler un schéma de Bernoulli plutôt que le calculer : chaque épreuve consiste à tirer un nombre au hasard dans $[0; 1 [$ et à décider qu'il y a succès s'il est inférieur à $p$ . Les fréquences observées sur un très grand nombre de répétitions approchent alors les probabilités calculées — ce qui donne un moyen commode de contrôler un calcul.


from random import random

def schema_bernoulli(n, p):
    # Simule n epreuves independantes et renvoie le nombre de succes.
    succes = 0
    for _ in range(n):
        if random() < p:
            succes = succes + 1
    return succes

def frequences(n, p, repetitions):
    compte = [0] * (n + 1)
    for _ in range(repetitions):
        compte[schema_bernoulli(n, p)] += 1
    return [c / repetitions for c in compte]

print([round(f, 3) for f in frequences(10, 0.3, 100000)])
# [0.028, 0.121, 0.232, 0.265, 0.203, 0.103, 0.037, 0.009, 0.002, 0.0, 0.0]
# a comparer aux probabilites exactes :
# [0.028, 0.121, 0.233, 0.267, 0.2,   0.103, 0.037, 0.009, 0.001, 0.0, 0.0]

8.5 La loi géométrique

On change de question. Le nombre d'épreuves n'est plus fixé : on répète l'épreuve jusqu'au premier succès, et c'est le rang de ce premier succès qui devient la variable aléatoire.

Définition 8.19Loi géométrique

On répète indéfiniment, de façon indépendante, une même épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ , avec $0 < p < 1$ . Soit $X$ le rang du premier succès. On dit que $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p$ . Les valeurs possibles de $X$ sont les entiers $1, 2, 3, \dots$ — la liste est infinie.

Proposition 8.20Expression de la loi géométrique

Si $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p$ , alors pour tout entier $k \geq 1$ ,

$P (X = k) = (1 - p)^{k - 1} p .$

Démonstration

Dire que le premier succès arrive au rang $k$ , c'est dire que les $k - 1$ premières épreuves sont des échecs et que la $k$ -ième est un succès. Par indépendance, la probabilité de cette suite d'issues est le produit

$k - 1 facteurs (1 - p) \times (1 - p) \times \dots \times (1 - p) \times p = (1 - p)^{k - 1} p .$

Proposition 8.21Probabilité d'attendre au-delà de

n

Pour tout entier $n \geq 0$ ,

$P (X > n) = (1 - p)^{n} .$

Démonstration

L'événement $(X > n)$ signifie que le premier succès n'est pas encore arrivé au bout de $n$ épreuves, c'est-à-dire que les $n$ premières épreuves sont toutes des échecs. Par indépendance, sa probabilité est le produit de $n$ facteurs égaux à $1 - p$ .

Proposition 8.22Espérance de la loi géométrique — résultat admis

Si $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p$ , alors

$E (X) = \frac{1}{p} .$

iRemarque

Cette formule est admise par le programme : sa démonstration demanderait de sommer une infinité de termes, ce qui n'est pas au programme. Elle est en revanche très intuitive : si le succès survient en moyenne une fois sur cinq, il faut en moyenne cinq essais pour l'obtenir. Retenir le sens plutôt que la formule évite de l'écrire à l'envers.

◆Théorème 8.23Absence de mémoire

Soit $X$ de loi géométrique de paramètre $p$ . Pour tous entiers $n \geq 0$ et $m \geq 1$ ,

$P_{(X > n)} (X > n + m) = P (X > m) .$

Autrement dit : sachant que le succès n'est pas encore arrivé au bout de $n$ épreuves, la probabilité d'attendre encore $m$ épreuves de plus est la même qu'au départ.

Démonstration

L'événement $(X > n + m)$ est inclus dans $(X > n)$ : attendre plus de $n + m$ épreuves, c'est en particulier en attendre plus de $n$ . Leur intersection est donc $(X > n + m)$ tout entier, et la définition d'une probabilité conditionnelle donne

$P_{(X > n)} (X > n + m) = \frac{P ( ( X > n + m ) \cap ( X > n ) )}{P ( X > n )} = \frac{P ( X > n + m )}{P ( X > n )} .$

D'après la proposition précédente, ce quotient vaut

$\frac{( 1 - p ) ^{n + m}}{( 1 - p ) ^{n}} = (1 - p)^{m} = P (X > m),$

qui ne dépend plus de $n$ .

!Attention

L'absence de mémoire contredit frontalement une intuition très répandue : « cela fait longtemps que j'attends, cela va finir par arriver ». C'est faux. Un composant qui a fonctionné cent cycles sans défaillir n'est, dans ce modèle, ni plus ni moins fragile qu'un composant neuf.

C'est aussi la limite du modèle : les pièces mécaniques réelles s'usent, et leur probabilité de panne augmente avec l'âge. Si un modèle géométrique décrit bien les pannes accidentelles, il décrit mal l'usure — et c'est précisément pourquoi les constructeurs imposent des visites de maintenance.

!Le réflexe

Un seul mot distingue les deux lois du chapitre.

Binomiale : le nombre d'épreuves $n$ est fixé, on compte les succès. La variable est bornée : $0 \leq X \leq n$ .
Géométrique : on s'arrête au premier succès, on compte les épreuves. La variable n'est pas bornée.

Question de contrôle : « qu'est-ce qui est décidé à l'avance, le nombre d'essais ou le nombre de succès ? »

8.6 Bilan

Proposition 8.24L'essentiel du chapitre

Loi uniforme sur ${1, \dots, n}$ : $P (X = k) = \frac{1}{n}$ et $E (X) = \frac{n + 1}{2}$ .
Loi de Bernoulli de paramètre $p$ : $E (X) = p$ , $σ (X) = p (1 - p)$ . Toujours dire ce qu'est un succès.
Schéma de Bernoulli : $n$ épreuves identiques et indépendantes. Dans l'arbre, un chemin à $k$ succès a pour probabilité $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ , quel que soit l'ordre ; il reste à compter les chemins.
Coefficients binomiaux : $(k n)$ est ce nombre de chemins. Le triangle de Pascal les construit par $(k n) = (k - 1 n - 1) + (k n - 1)$ , et la symétrie $(k n) = (n - k n)$ divise le travail par deux.
Loi binomiale $B (n, p)$ : $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ ; $E (X) = n p$ et $σ (X) = n p (1 - p)$ sont admis. On calcule $P (X \leq k)$ à la machine et l'on retient $P (X \geq k) = 1 - P (X \leq k - 1)$ .
Loi géométrique de paramètre $p$ : $P (X = k) = (1 - p)^{k - 1} p$ , $P (X > n) = (1 - p)^{n}$ , et $E (X) = \frac{1}{p}$ est admise. Elle est sans mémoire : $P_{(X > n)} (X > n + m) = P (X > m)$ .
Question de contrôle avant tout calcul : qu'est-ce qui est fixé à l'avance — le nombre d'épreuves (binomiale) ou le nombre de succès, égal à un (géométrique) ?

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Lois discrètes

8.1 Deux lois élémentaires

8.1.1 Ce qu'on appelle une loi

8.1.2 La loi uniforme sur {1,…,n}

8.1.3 L'épreuve et la loi de Bernoulli

8.2 Répéter la même épreuve : le schéma de Bernoulli

8.3 Compter les chemins : les coefficients binomiaux

Méthode : Construire le triangle de Pascal

8.4 La loi binomiale

Méthode : Exploiter une loi binomiale

8.4.1 Probabilités cumulées et intervalle de fluctuation

Méthode : Calculer P(X≤k)

Méthode : Déterminer I tel que P(X∈I)≥1−α

8.5 La loi géométrique

8.6 Bilan

8.1.2 La loi uniforme sur ${1, \dots, n}$

Méthode : Calculer $P (X \leq k)$

Méthode : Déterminer $I$ tel que $P (X \in I) \geq 1 - α$