Lois discrètes

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La loi d'une variable aléatoire discrète, en bâtons, et son espérance.

Un test de dépistage se trompe rarement : sur cent personnes réellement malades, il en détecte quatre-vingt-dix-neuf. Il est pourtant courant que, dans une campagne de dépistage de masse, cinq résultats positifs sur six concernent des personnes en parfaite santé. Ce n'est ni un paradoxe ni une erreur de calcul : c'est ce que produit la répétition. Une erreur très rare, répétée sur des centaines de milliers de personnes, finit par arriver des milliers de fois.

Le contrôle d'un lot de flacons, le suivi d'un essai clinique, un sondage, la transmission d'une mutation d'une génération à la suivante : dans toutes ces situations on répète un grand nombre de fois la même expérience, qui n'a que deux issues — défectueux ou conforme, guéri ou non, favorable ou défavorable. La seule chose qui compte alors est le nombre de succès, et sa loi porte un nom.

Une seconde question, symétrique de la première, se pose tout aussi souvent : on ne fixe plus le nombre d'essais, on attend le premier succès. Combien de patients faudra-t-il tester avant de trouver un donneur compatible ? Combien de vols un moteur effectuera-t-il avant sa première panne ? C'est la question du temps d'attente.

Problématique. Que produit la répétition d'une même épreuve à deux issues, et comment calculer avec ?

8.1 Deux lois élémentaires

8.1.1 Ce qu'on appelle une loi

Définition 8.1Variable aléatoire et loi de probabilité

Une variable aléatoire $X$ associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. Lorsqu'elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{r}$ , sa loi de probabilité est la donnée des nombres

$p_{i} = P (X = x_{i}), i = 1, \dots, r,$

qui sont positifs et de somme $1$ . On dit que la loi est discrète.

iRemarque

On écrit cette dernière condition $\sum_{i} p_{i} = 1$ . Le symbole $Σ$ sert ici à écrire une somme de façon compacte, non à la calculer : dans ce chapitre, toutes les sommes rencontrées seront écrites terme à terme dès qu'il faudra les évaluer.

Définition 8.2Espérance, variance, écart type

Avec les notations précédentes,

$E (X) = i \sum x_{i} p_{i}, V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}, σ (X) = V (X) .$

!Le réflexe

L'espérance est la moyenne des valeurs, pondérée par les probabilités : c'est ce qu'on obtient en moyenne « à la longue », après un très grand nombre de répétitions. L'écart type mesure la dispersion autour de cette moyenne, et il s'exprime dans la même unité que $X$ — c'est pourquoi on le préfère à la variance pour commenter un résultat.

8.1.2 La loi uniforme sur ${1, \dots, n}$

Définition 8.3Loi uniforme

La variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur ${1, 2, \dots, n}$ lorsque

$P (X = k) = \frac{1}{n} pour chaque entier k de 1 a ˋ n .$

Toutes les valeurs ont la même probabilité : on dit qu'il y a équiprobabilité.

Proposition 8.4Espérance de la loi uniforme

Si $X$ suit la loi uniforme sur ${1, \dots, n}$ , alors

$E (X) = \frac{n + 1}{2} .$

Démonstration

Par définition de l'espérance,

$E (X) = 1 \times \frac{1}{n} + 2 \times \frac{1}{n} + \dots + n \times \frac{1}{n} = \frac{1 + 2 + \dots + n}{n} .$

Notons $S = 1 + 2 + \dots + n$ . Écrivons cette somme deux fois, la seconde à l'envers, et additionnons colonne par colonne :

$S S 2 S = = = 1 n (n + 1) + + + 2 n - 1 (n + 1) + \dots + + \dots + + \dots + n 1 (n + 1)$

Chaque colonne vaut $n + 1$ , et il y a $n$ colonnes : $2 S = n (n + 1)$ , donc $S = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ . En divisant par $n$ :

$E (X) = \frac{n ( n + 1 )}{2 n} = \frac{n + 1}{2} .$

Exemple 8.5Un échantillon de carottes de sédiment

Un géologue a prélevé $12$ carottes, numérotées de $1$ à $12$ , et en choisit une au hasard pour analyse. Le numéro $X$ de la carotte choisie suit la loi uniforme sur ${1, \dots, 12}$ , donc

$E (X) = \frac{13}{2} = 6, 5.$

Les quatre dernières carottes proviennent de la couche profonde : $P (X \geq 9) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ .

L'espérance $6, 5$ n'est pas une valeur possible de $X$ : une espérance n'a aucune raison d'être atteinte.

8.1.3 L'épreuve et la loi de Bernoulli

Définition 8.6Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire n'ayant que deux issues, appelées conventionnellement succès (de probabilité $p$ ) et échec (de probabilité $1 - p$ ).

!Attention

Le mot « succès » ne porte aucun jugement de valeur : c'est simplement l'issue qu'on a décidé de compter. Dans un contrôle de qualité, le « succès » est le plus souvent le flacon défectueux ; dans un dépistage, le test positif. La première phrase d'une solution doit donc toujours dire quel événement on appelle succès.

Définition 8.7Loi de Bernoulli

On associe à une épreuve de Bernoulli la variable aléatoire $X$ qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ en cas d'échec :

$P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1 - p .$

On dit que $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ .

Proposition 8.8Espérance et écart type d'une loi de Bernoulli

Si $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ , alors

$E (X) = p, V (X) = p (1 - p), σ (X) = p (1 - p) .$

Démonstration

L'espérance se calcule directement :

$E (X) = 0 \times (1 - p) + 1 \times p = p .$

Pour la variance, remarquons que $X^{2} = X$ , puisque $0^{2} = 0$ et $1^{2} = 1$ : la variable $X^{2}$ a donc exactement la même loi que $X$ , et $E (X^{2}) = p$ . Ainsi

$V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = p - p^{2} = p (1 - p),$

et l'écart type en est la racine carrée.

iRemarque

L'écart type $p (1 - p)$ est nul pour $p = 0$ et pour $p = 1$ — il n'y a alors aucune incertitude — et maximal pour $p = 0, 5$ , où il vaut $0, 5$ . L'incertitude est la plus grande quand les deux issues sont également probables : c'est mathématiquement ce qu'on attendait.

8.2 Répéter la même épreuve : le schéma de Bernoulli

Définition 8.9Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli

identiques : c'est la même épreuve, de même probabilité de succès $p$ ;
indépendantes : le résultat d'une épreuve ne modifie pas les probabilités des suivantes.

On le représente par un arbre à $n$ niveaux, chaque nœud donnant naissance à deux branches.

Exercices du chapitre

Reconnaître la loi corrigé
Construire et lire le triangle de Pascal corrigé
Déterminer un intervalle $I$ corrigé
Un composant qui ne vieillit pas corrigé
Une probabilité conditionnelle sur une binomiale corrigé
Problème — Dépistage de masse et faux positifs corrigé

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