Lois à densité

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Un cabinet médical veut savoir combien de temps dure une consultation. La question paraît anodine, mais elle échappe à tout ce que le chapitre précédent a construit : une consultation ne dure pas « $17$ minutes » ni « $18$ minutes », elle dure $17$ min $23$ s, ou $17$ min $24$ s, ou n'importe quelle valeur intermédiaire. Les issues ne se comptent plus. Demander « quelle est la probabilité qu'une consultation dure exactement $17$ minutes ? » n'a même plus de sens : la réponse est $0$ , et elle serait $0$ pour n'importe quelle autre durée précise.

Ce qui garde un sens, en revanche, c'est « quelle est la probabilité qu'une consultation dure entre $10$ et $20$ minutes ? ». On ne mesure donc plus une probabilité issue par issue, mais intervalle par intervalle. Et pour mesurer un intervalle, on dispose depuis le chapitre 7 d'un instrument exactement adapté : l'aire sous une courbe. Toute la théorie des lois continues tient dans ce transfert — remplacer une somme de bâtons par une aire.

Le même changement de regard s'impose pour des questions que la biologie, la géologie ou l'industrie posent sans arrêt : combien de temps un composant tient-il avant de tomber en panne, combien d'années s'écoulent entre deux séismes majeurs, combien de temps un atome radioactif reste-t-il intact ? Ces durées ont toutes en commun une propriété étonnante, que le chapitre 8 a déjà rencontrée dans le monde discret sous le nom d'absence de mémoire, et qui trouve ici sa forme continue.

Problématique. Comment décrire une grandeur qui prend une infinité de valeurs, quand la probabilité d'une valeur isolée est nulle ?

9.1 D'un histogramme à une densité

9.1.1 La probabilité devient une aire

Reprenons les consultations. Si l'on relève $10000$ durées et qu'on les range en classes d'une minute, on obtient un histogramme : la probabilité qu'une durée tombe dans une classe est la surface du rectangle correspondant. Affinons les classes — une demi-minute, puis une seconde : les rectangles s'amincissent, leur sommet dessine peu à peu une courbe, et l'aire, elle, ne bouge pas. C'est cette courbe limite que l'on appelle une densité.

Définition 9.1Densité de probabilité

Soit $I$ un intervalle. On appelle densité de probabilité sur $I$ toute fonction $f$ définie sur $I$ telle que :

$f$ est continue sur $I$ (sauf éventuellement en quelques points) ;
$f$ est positive sur $I$ ;
l'aire totale sous sa courbe vaut $1$ , autrement dit $\int_{I} f (t) d t = 1$ .

Définition 9.2Variable aléatoire à densité

Une variable aléatoire $X$ suit la loi de densité $f$ sur $I$ lorsque, pour tous réels $a \leq b$ de $I$ ,

$P (a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f (t) d t .$

Une probabilité est donc une aire : celle du domaine compris entre la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les deux droites verticales d'abscisses $a$ et $b$ .

!Attention

La valeur $f (t)$ n'est pas une probabilité. Elle peut d'ailleurs dépasser $1$ : la densité de la loi uniforme sur $[0; 0, 5]$ vaut $2$ partout. Seule l'aire est une probabilité. Une densité se lit horizontalement, jamais verticalement.

Proposition 9.3Trois conséquences immédiates

Si $X$ suit une loi à densité :

$P (X = a) = 0$ pour tout réel $a$ : au-dessus d'un point, il n'y a pas d'aire ;
par conséquent les inégalités strictes et larges donnent la même probabilité :

$P (a < X < b) = P (a \leq X \leq b);$

$P (X > a) = 1 - P (X \leq a)$ , comme pour n'importe quel événement contraire.

!Attention

Le point 1 ne dit pas que l'événement ${X = a}$ est impossible : la consultation dure bien une durée précise. Il dit qu'une probabilité nulle ne signifie pas « jamais ». C'est propre au continu, et c'est déroutant la première fois.

Exemple 9.4La durée d'une consultation

Un cabinet modélise la durée $T$ d'une consultation, en minutes, par la densité

$f (t) = \frac{t ( 30 - t )}{4500} sur [0; 30] .$

Est-ce bien une densité ? Sur $[0; 30]$ , $t \geq 0$ et $30 - t \geq 0$ , donc $f (t) \geq 0$ . Une primitive de $f$ est $F (t) = \frac{15 t ^{2} - \frac{t ^{3}}{3}}{4500}$ , et

$\int_{0}^{30} f (t) d t = \frac{15 \times 900 - \frac{27 000}{3}}{4500} = \frac{13 500 - 9 000}{4500} = 1.$

Une probabilité. La probabilité qu'une consultation dure entre $10$ et $20$ minutes est

$P (10 \leq T \leq 20) = \frac{( 15 \times 400 - \frac{8000}{3} ) - ( 15 \times 100 - \frac{1000}{3} )}{4500} = \frac{\frac{10 000}{3} - \frac{3500}{3}}{4500},$

c'est-à-dire

$P (10 \leq T \leq 20) = \frac{6500}{13 500} = \frac{13}{27} \approx 0, 481.$

Une consultation sur deux, à peu près, tient dans ce créneau.

9.1.2 La fonction de répartition

Calculer une aire entre deux bornes à chaque question est fastidieux. On gagne à tabuler une fois pour toutes les aires à gauche d'un point.

Définition 9.5Fonction de répartition

La fonction de répartition d'une variable aléatoire $X$ à densité $f$ sur un intervalle d'origine $α$ est la fonction

$F : x ⟼ P (X \leq x) = \int_{α}^{x} f (t) d t .$

Proposition 9.6Propriétés de la fonction de répartition

Soit $F$ la fonction de répartition de $X$ .

$F$ est croissante, et à valeurs dans $[0; 1]$ .
Elle part de $0$ et tend vers $1$ : toute l'aire finit par être balayée.
$F$ est dérivable et $F^{'} = f$ : la densité est la dérivée de la fonction de répartition.
Pour tous $a \leq b$ : $P (a \leq X \leq b) = F (b) - F (a)$ , et $P (X > a) = 1 - F (a)$ .

Démonstration

Le point 3 est exactement le théorème du chapitre 7 : si $f$ est continue, la fonction $x \mapsto \int_{α}^{x} f (t) d t$ est dérivable, de dérivée $f$ . Le point 1 en découle : $F^{'} = f \geq 0$ , donc $F$ croît. Le point 4 est la relation de Chasles : $\int_{α}^{b} = \int_{α}^{a} + \int_{a}^{b}$ .

Méthode : Calculer une probabilité, en trois gestes

Traduire la question en un événement du type ${a \leq X \leq b}$ , ${X \leq a}$ ou ${X > a}$ — au besoin en passant au contraire.
Écrire la probabilité comme une aire, donc comme une intégrale, et la calculer par une primitive : c'est $F (b) - F (a)$ .
Interpréter le nombre obtenu dans le contexte, avec son unité.

!Le réflexe

Dès qu'on connaît $F$ , on ne calcule plus jamais d'intégrale : toutes les probabilités s'obtiennent par différence. Le réflexe est donc de chercher $F$ une fois, au début, plutôt qu'une intégrale à chaque question.

9.1.3 Espérance et variance, sous forme d'intégrales

Pour une loi discrète, l'espérance est la somme $\sum x_{i} P (X = x_{i})$ : chaque valeur pesée par sa probabilité. Dans le continu, la somme devient une intégrale et la probabilité $P (X = x_{i})$ devient la densité.

Définition 9.7Espérance, variance, écart type

Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ sur un intervalle $I$ . On pose

$E (X) = \int_{I} t f (t) d t, V (X) = \int_{I} (t - E (X))^{2} f (t) d t, σ (X) = V (X) .$

L'espérance est la valeur moyenne de $X$ à long terme ; l'écart type mesure la dispersion autour de cette moyenne, dans la même unité que $X$ .

Proposition 9.8Formule de la variance

$V (X) = \int_{I} t^{2} f (t) d t - (E (X))^{2} .$

Démonstration

Posons $m = E (X)$ . On développe le carré, puis on utilise la linéarité de l'intégrale :

$\int_{I} (t - m)^{2} f (t) d t = \int_{I} t^{2} f (t) d t - 2 m \int_{I} t f (t) d t + m^{2} \int_{I} f (t) d t .$

Or $\int_{I} t f (t) d t = m$ et $\int_{I} f (t) d t = 1$ , puisque $f$ est une densité. Il reste $\int_{I} t^{2} f (t) d t - 2 m^{2} + m^{2}$ , c'est-à-dire l'égalité annoncée.

Exemple 9.9Consultation : moyenne et dispersion

Avec $f (t) = \frac{t ( 30 - t )}{4500}$ sur $[0; 30]$ :

$E (T) = \frac{1}{4500} \int_{0}^{30} (30 t^{2} - t^{3}) d t = \frac{1}{4500} [10 t^{3} - \frac{t ^{4}}{4}]_{0}^{30} = \frac{270 000 - 202 500}{4500} = 15.$

Une consultation dure en moyenne $15$ minutes — ce que la symétrie de la courbe autour de $t = 15$ laissait deviner. Ensuite,

$\int_{0}^{30} t^{2} f (t) d t = \frac{1}{4500} [\frac{15 t ^{4}}{2} - \frac{t ^{5}}{5}]_{0}^{30} = \frac{6 075 000 - 4 860 000}{4500} = 270,$

d'où $V (T) = 270 - 1 5^{2} = 45$ et $σ (T) = 45 = 35 \approx 6, 7$ minutes.

iRemarque

L'intégrale $\int_{I} t f (t) d t$ n'est plus une aire sous la courbe de $f$ : c'est l'aire sous la courbe de la fonction $t \mapsto t f (t)$ , qui n'a aucune raison de valoir $1$ . Seule $\int_{I} f = 1$ caractérise une densité.

9.2 La loi uniforme

9.2.1 Sur $[0; 1]$

C'est la loi du « au hasard » le plus élémentaire : aucun sous-intervalle de même longueur n'est privilégié. Une densité qui ne privilégie rien est une densité constante ; et sur $[0; 1]$ , la seule constante d'aire $1$ est $1$ .

Définition 9.10Loi uniforme sur

[0; 1]

$X$ suit la loi uniforme sur $[0; 1]$ lorsque sa densité est $f (t) = 1$ sur $[0; 1]$ (et $0$ ailleurs). Alors, pour $0 \leq a \leq b \leq 1$ ,

$P (a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} 1 d t = b - a .$

La probabilité est la longueur de l'intervalle.

Proposition 9.11Répartition, espérance, variance

Pour la loi uniforme sur $[0; 1]$ :

$F (x) = x sur [0; 1], E (X) = \frac{1}{2}, V (X) = \frac{1}{12}, σ (X) = \frac{1}{2 3} \approx 0, 289.$

Démonstration

$F (x) = \int_{0}^{x} 1 d t = x$ . Ensuite $E (X) = \int_{0}^{1} t d t = [\frac{t ^{2}}{2}]_{0}^{1} = \frac{1}{2}$ , et $\int_{0}^{1} t^{2} d t = [\frac{t ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{3}$ , d'où $V (X) = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$ .

9.2.2 Sur $[a; b]$

Définition 9.12Loi uniforme sur

[a; b]

$X$ suit la loi uniforme sur $[a; b]$ (avec $a < b$ ) lorsque sa densité est constante sur cet intervalle :

$f (t) = \frac{1}{b - a} sur [a; b] .$

La hauteur $\frac{1}{b - a}$ est imposée : c'est la seule qui donne un rectangle d'aire $1$ .

◆Théorème 9.13Loi uniforme sur

[a; b]

Si $X$ suit la loi uniforme sur $[a; b]$ , alors pour $a \leq c \leq d \leq b$

$P (c \leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}, F (x) = \frac{x - a}{b - a} sur [a; b],$

$E (X) = \frac{a + b}{2}, V (X) = \frac{( b - a ) ^{2}}{12}, σ (X) = \frac{b - a}{2 3} .$

Démonstration

Les deux premières égalités s'obtiennent en intégrant la constante $\frac{1}{b - a}$ . Pour l'espérance,

$E (X) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} t d t = \frac{1}{b - a} [\frac{t ^{2}}{2}]_{a}^{b} = \frac{b ^{2} - a ^{2}}{2 ( b - a )} = \frac{( b - a ) ( b + a )}{2 ( b - a )} = \frac{a + b}{2} .$

C'est le milieu de l'intervalle, comme le bon sens le suggérait. Pour la variance,

$\int_{a}^{b} t^{2} f (t) d t = \frac{1}{b - a} [\frac{t ^{3}}{3}]_{a}^{b} = \frac{b ^{3} - a ^{3}}{3 ( b - a )} = \frac{a ^{2} + ab + b ^{2}}{3},$

car $b^{3} - a^{3} = (b - a) (a^{2} + ab + b^{2})$ . Alors

$V (X) = \frac{a ^{2} + ab + b ^{2}}{3} - \frac{( a + b ) ^{2}}{4} = \frac{4 a ^{2} + 4 ab + 4 b ^{2} - 3 a ^{2} - 6 ab - 3 b ^{2}}{12} = \frac{( b - a ) ^{2}}{12} .$

Méthode : Reconnaître, et utiliser, une loi uniforme

Une loi uniforme se reconnaît à une formulation du type « au hasard », « à un instant quelconque », « sans information supplémentaire ». Une fois reconnue, aucune intégrale n'est nécessaire : toute probabilité est un rapport de longueurs $\frac{longueur vis e ˊ e}{longueur totale}$ .

Exemple 9.14Attendre un bus

Un bus passe toutes les $12$ minutes. J'arrive à l'arrêt sans consulter l'horaire : mon temps d'attente $T$ suit la loi uniforme sur $[0; 12]$ .

$P (T \leq 5) = \frac{5}{12} \approx 0, 417$ : un peu plus de deux fois sur cinq, j'attends moins de cinq minutes.
$P (T \geq 8) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ .
$E (T) = \frac{0 + 12}{2} = 6$ minutes, $σ (T) = \frac{12}{2 3} = 23 \approx 3, 46$ minutes.

!Attention

« Au hasard » ne veut pas dire « uniforme » dans tous les contextes. La durée d'une consultation, la durée de vie d'un composant, le temps entre deux séismes ne sont pas uniformes : les petites valeurs y sont plus fréquentes que les grandes. L'uniformité se justifie, elle ne se suppose pas.

9.3 La loi exponentielle

9.3.1 Une durée de vie qui n'use pas

Un composant électronique, un atome radioactif, un intervalle entre deux séismes : dans ces trois cas, la même hypothèse physique revient. Sur un très court intervalle de temps, la probabilité que l'événement survienne est proportionnelle à la durée de cet intervalle, et ne dépend pas de ce qui s'est passé avant. Le composant ne s'use pas, l'atome ne vieillit pas. Cette hypothèse ne laisse qu'une seule loi possible.

Définition 9.15Loi exponentielle

Soit $λ > 0$ . Une variable aléatoire $T$ suit la loi exponentielle de paramètre $λ$ lorsque sa densité est

$f (t) = λ e^{- λ t} sur [0; + \infty [.$

Le paramètre $λ$ est un taux : il s'exprime en inverse d'une durée (par heure, par jour, par an).

iRemarque

L'intervalle $[0; + \infty [$ n'est pas borné : $\int_{0}^{+ \infty} f (t) d t$ n'a pas été défini au chapitre 7. On admet l'extension naturelle : cette intégrale désigne la limite de $\int_{0}^{x} f (t) d t$ quand $x$ devient grand. Ici

$\int_{0}^{x} λ e^{- λ t} d t = [- e^{- λ t}]_{0}^{x} = 1 - e^{- λ x},$

et $e^{- λ x}$ s'écrase vers $0$ : l'aire totale vaut bien $1$ . Le calcul de l'aire a donc déjà donné la fonction de répartition.

◆Théorème 9.16Fonction de répartition

Si $T$ suit la loi exponentielle de paramètre $λ$ , alors pour tout $t \geq 0$

$F (t) = P (T \leq t) = 1 - e^{- λ t}, et donc P (T > t) = e^{- λ t} .$

Démonstration

Une primitive de $t \mapsto λ e^{- λ t}$ est $t \mapsto - e^{- λ t}$ : en dérivant, on retrouve $- (- λ) e^{- λ t} = λ e^{- λ t}$ . Donc

$F (t) = \int_{0}^{t} λ e^{- λ u} d u = [- e^{- λ u}]_{0}^{t} = - e^{- λ t} + 1.$

L'événement ${T > t}$ est le contraire de ${T \leq t}$ , d'où $P (T > t) = 1 - F (t) = e^{- λ t}$ .

!Le réflexe

Retenir $P (T > t) = e^{- λ t}$ plutôt que $F$ : c'est la formule « de survie », et c'est presque toujours elle que les énoncés demandent — la probabilité de tenir au-delà d'une durée. $F$ s'en déduit en une ligne.

9.3.2 L'espérance : la durée de vie moyenne

◆Théorème 9.17Espérance et variance

Si $T$ suit la loi exponentielle de paramètre $λ$ , alors

$E (T) = \frac{1}{λ}, V (T) = \frac{1}{λ ^{2}}, σ (T) = \frac{1}{λ} = E (T) .$

Démonstration

Il faut une primitive de $t \mapsto t λ e^{- λ t}$ . Posons

$G (t) = - (t + \frac{1}{λ}) e^{- λ t} .$

Dérivons ce produit :

$G^{'} (t) = - e^{- λ t} - (t + \frac{1}{λ}) \times (- λ) e^{- λ t} = e^{- λ t} (- 1 + λ t + 1) = t λ e^{- λ t} .$

C'est bien la fonction cherchée. Donc

$\int_{0}^{x} t λ e^{- λ t} d t = G (x) - G (0) = \frac{1}{λ} - (x + \frac{1}{λ}) e^{- λ x} .$

On admet, comme au chapitre 3, que l'exponentielle décroissante l'emporte sur le facteur $x$ : le produit $x e^{- λ x}$ s'écrase vers $0$ . Il reste $E (T) = \frac{1}{λ}$ .

Pour la variance, on procède de même avec $H (t) = - (t^{2} + \frac{2 t}{λ} + \frac{2}{λ ^{2}}) e^{- λ t}$ , dont on vérifie en dérivant que $H^{'} (t) = t^{2} λ e^{- λ t}$ . On obtient $\int_{0}^{+ \infty} t^{2} λ e^{- λ t} d t = \frac{2}{λ ^{2}}$ , puis

$V (T) = \frac{2}{λ ^{2}} - (\frac{1}{λ})^{2} = \frac{1}{λ ^{2}} .$

Proposition 9.18Médiane et demi-vie

La médiane $m$ d'une loi exponentielle est la durée telle que $F (m) = 0, 5$ :

$1 - e^{- λm} = \frac{1}{2} ⟺ e^{- λm} = \frac{1}{2} ⟺ m = \frac{ln 2}{λ} .$

En radioactivité, cette durée porte un nom : c'est la demi-vie (ou période) du noyau. On a toujours $m = \frac{ln 2}{λ} \approx 0, 69 E (T) < E (T)$ .

!Attention

La moyenne n'est pas la médiane. Un composant de durée de vie moyenne $2500$ heures a une chance sur deux de rendre l'âme avant $1733$ heures seulement. Les rares durées très longues tirent la moyenne vers le haut sans déplacer la médiane. C'est la même asymétrie que pour les revenus, et pour la même raison.

9.3.3 L'absence de mémoire

◆Théorème 9.19Absence de mémoire

Si $T$ suit une loi exponentielle, alors pour tous $a \geq 0$ et $s \geq 0$

$P_{(T > a)} (T > a + s) = P (T > s) .$

Sachant que le composant a déjà tenu $a$ heures, la probabilité qu'il tienne $s$ heures de plus est la même que celle d'un composant neuf de tenir $s$ heures.

Démonstration

Par définition d'une probabilité conditionnelle, et parce que l'événement ${T > a + s}$ est inclus dans ${T > a}$ :

$P_{(T > a)} (T > a + s) = \frac{P ( ( T > a + s ) \cap ( T > a ) )}{P ( T > a )} = \frac{P ( T > a + s )}{P ( T > a )} = \frac{e ^{- λ (a + s)}}{e ^{- λa}} .$

Or $e^{- λ (a + s)} = e^{- λa} \times e^{- λ s}$ , donc le quotient vaut $e^{- λ s}$ , c'est-à-dire $P (T > s)$ .

iRemarqueLe lien avec la loi géométrique du chapitre 8

La loi géométrique possède exactement la même propriété : si $Y$ compte le nombre d'essais jusqu'au premier succès, alors $P (Y > n) = (1 - p)^{n}$ et $P_{(Y > n)} (Y > n + k) = P (Y > k)$ . Les deux propriétés reposent sur la même identité algébrique — le quotient de deux puissances de même base, ou de deux exponentielles.

La loi exponentielle est ainsi l'analogue continu de la loi géométrique : l'une compte des essais entiers, l'autre mesure un temps qui s'écoule. Le problème consacré aux séismes montre que le lien est plus qu'une analogie : en observant une loi exponentielle uniquement aux instants entiers, on retombe exactement sur une loi géométrique de paramètre $p = 1 - e^{- λ}$ .

!Attention

L'absence de mémoire est une propriété du modèle, pas une loi de la nature. Elle convient à un atome radioactif ou à une panne accidentelle. Elle ne convient pas à un organe, à un pneu, à un roulement à billes : ceux-là s'usent, et leur risque de panne augmente avec l'âge. Choisir la loi exponentielle, c'est affirmer qu'il n'y a pas d'usure — cela s'argumente.

9.4 Simuler

9.4.1 Tirer un nombre au hasard entre 0 et 1

En Python, la fonction random() du module random renvoie un nombre tiré au hasard dans $[0; 1 [$ . On admet qu'il suit la loi uniforme sur $[0; 1]$ . Tout ce qui suit se construit à partir de cette unique brique.

Proposition 9.20La brique de base

Si $U$ suit la loi uniforme sur $[0; 1]$ , alors pour tout $p$ de $[0; 1]$

$P (U \leq p) = \int_{0}^{p} 1 d t = p .$

9.4.2 Simuler une variable de Bernoulli

C'est la conséquence directe de la proposition ci-dessus : découper $[0; 1]$ en deux morceaux de longueurs $p$ et $1 - p$ , et regarder de quel côté tombe le tirage.

Méthode : D'une uniforme à une Bernoulli

Pour simuler une variable $X$ de Bernoulli de paramètre $p$ :

tirer $u$ au hasard dans $[0; 1]$ ;
renvoyer $1$ si $u < p$ , et $0$ sinon.

La probabilité de renvoyer $1$ est alors exactement $P (U < p) = p$ .


from random import random, seed

def bernoulli(p):
    # Renvoie 1 avec la probabilite p, 0 sinon.
    if random() < p:
        return 1
    return 0

seed(2026)                     # rend le resultat reproductible
n = 100000
total = sum(bernoulli(0.03) for _ in range(n))
print(total, total / n)        # 3041 0.03041

Sur $100000$ simulations d'un dépistage dont la prévalence est $p = 0, 03$ , on obtient $3041$ cas positifs, soit une fréquence de $0, 0304$ — très proche de la valeur théorique $0, 03$ , et de l'espérance $n p = 3000$ .

!Attention

Écrire if random() <= p plutôt que < ne change rien, puisque $P (U = p) = 0$ . En revanche, écrire if random() < p deux fois dans la même fonction consomme deux tirages et fausse tout : chaque appel à random() produit un nouveau nombre.

9.4.3 Simuler la somme de $n$ variables indépendantes de même loi

Le programme demande une fonction modulaire : elle doit accepter n'importe quelle loi, passée en argument, et n'importe quel nombre de tirages.


def somme(loi, n):
    # Somme de n tirages independants de la meme loi.
    # loi est une fonction sans argument qui renvoie une valeur.
    total = 0
    for _ in range(n):
        total = total + loi()
    return total

seed(2027)
N = 100000
echantillon = [somme(random, 5) for _ in range(N)]
print(round(sum(echantillon) / N, 3))            # 2.5
print(sum(1 for s in echantillon if s > 3) / N)  # 0.22531

La moyenne des sommes vaut $2, 5$ : c'est bien $5 \times \frac{1}{2}$ , cinq fois l'espérance d'une uniforme sur $[0; 1]$ . Mais la forme de la loi, elle, a changé.

iRemarque

Additionner des variables de même loi ne redonne pas cette loi : la somme de deux uniformes n'est pas uniforme. C'est visible dès $n = 2$ , et cela répond à une intuition fausse très répandue. En revanche, l'espérance, elle, s'additionne toujours : $E (X_{1} + \dots + X_{n}) = n E (X_{1})$ .

9.4.4 Simuler une loi exponentielle

La même brique suffit encore, à condition de passer par la fonction de répartition.

Proposition 9.21Simulation par inversion

Si $U$ suit la loi uniforme sur $[0; 1 [$ , alors $T = - \frac{ln ( 1 - U )}{λ}$ suit la loi exponentielle de paramètre $λ$ .

Démonstration

Pour $t \geq 0$ , en utilisant la stricte croissance de $ln$ et de l'exponentielle :

$T \leq t ⟺ - ln (1 - U) \leq λ t ⟺ ln (1 - U) \geq - λ t ⟺ 1 - U \geq e^{- λ t} ⟺ U \leq 1 - e^{- λ t} .$

Or $P (U \leq p) = p$ , donc $P (T \leq t) = 1 - e^{- λ t}$ : c'est bien la fonction de répartition de la loi exponentielle.


from math import log

def expo(lam):
    # Une duree suivant la loi exponentielle de parametre lam.
    return -log(1 - random()) / lam

seed(5)
echantillon = [expo(0.5) for _ in range(N)]
print(round(sum(echantillon) / N, 3))            # 2.0
print(sum(1 for t in echantillon if t > 3) / N)  # 0.22159

La moyenne simulée vaut $2, 0$ , conforme à $E (T) = \frac{1}{λ} = 2$ , et la fréquence des durées dépassant $3$ vaut $0, 222$ contre $e^{- 1, 5} \approx 0, 223$ en théorie.

9.5 Bilan

Proposition 9.22L'essentiel du chapitre

Une densité est une fonction positive d'aire totale $1$ . Une probabilité est alors une aire : $P (a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f (t) d t$ . En particulier $P (X = a) = 0$ , et les inégalités strictes ou larges donnent le même résultat.
La fonction de répartition $F (x) = P (X \leq x)$ tabule ces aires une fois pour toutes : $P (a \leq X \leq b) = F (b) - F (a)$ , et $F^{'} = f$ .
L'espérance et la variance sont des intégrales : $E (X) = \int_{I} t f (t) d t$ et $V (X) = \int_{I} t^{2} f (t) d t - (E (X))^{2}$ .
Loi uniforme sur $[a; b]$ : densité constante $\frac{1}{b - a}$ , $F (x) = \frac{x - a}{b - a}$ , $E = \frac{a + b}{2}$ , $V = \frac{( b - a ) ^{2}}{12}$ . Une probabilité y est un rapport de longueurs.
Loi exponentielle de paramètre $λ$ : densité $λ e^{- λ t}$ sur $[0; + \infty [$ , $P (T > t) = e^{- λ t}$ , $E (T) = σ (T) = \frac{1}{λ}$ , médiane $\frac{l n 2}{λ}$ toujours inférieure à la moyenne.
Absence de mémoire : $P_{(T > a)} (T > a + s) = P (T > s)$ . C'est la propriété qui caractérise la loi exponentielle, analogue continu de la loi géométrique du chapitre 8.
Simuler : tout part de random(), uniforme sur $[0; 1]$ . Une Bernoulli s'en déduit par une comparaison, une exponentielle par $- \frac{l n ( 1 - u )}{λ}$ , et une somme de $n$ variables de même loi par une boucle — dont le résultat ne suit plus la loi de départ.

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Lois à densité

9.1 D'un histogramme à une densité

9.1.1 La probabilité devient une aire

9.1.2 La fonction de répartition

Méthode : Calculer une probabilité, en trois gestes

9.1.3 Espérance et variance, sous forme d'intégrales

9.2 La loi uniforme

9.2.1 Sur [0;1]

9.2.2 Sur [a;b]

Méthode : Reconnaître, et utiliser, une loi uniforme

9.3 La loi exponentielle

9.3.1 Une durée de vie qui n'use pas

9.3.2 L'espérance : la durée de vie moyenne

9.3.3 L'absence de mémoire

9.4 Simuler

9.4.1 Tirer un nombre au hasard entre 0 et 1

9.4.2 Simuler une variable de Bernoulli

Méthode : D'une uniforme à une Bernoulli

9.4.3 Simuler la somme de n variables indépendantes de même loi

9.4.4 Simuler une loi exponentielle

9.5 Bilan

9.2.1 Sur $[0; 1]$

9.2.2 Sur $[a; b]$

9.4.3 Simuler la somme de $n$ variables indépendantes de même loi