Lois à densité

Cours · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 9 · terminale, option mathématiques complémentaires · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La courbe en cloche d'une loi normale, avec l'aire comprise entre μ − σ et μ + σ.

Un cabinet médical veut savoir combien de temps dure une consultation. La question paraît anodine, mais elle échappe à tout ce que le chapitre précédent a construit : une consultation ne dure pas « $17$ minutes » ni « $18$ minutes », elle dure $17$ min $23$ s, ou $17$ min $24$ s, ou n'importe quelle valeur intermédiaire. Les issues ne se comptent plus. Demander « quelle est la probabilité qu'une consultation dure exactement $17$ minutes ? » n'a même plus de sens : la réponse est $0$ , et elle serait $0$ pour n'importe quelle autre durée précise.

Ce qui garde un sens, en revanche, c'est « quelle est la probabilité qu'une consultation dure entre $10$ et $20$ minutes ? ». On ne mesure donc plus une probabilité issue par issue, mais intervalle par intervalle. Et pour mesurer un intervalle, on dispose depuis le chapitre 7 d'un instrument exactement adapté : l'aire sous une courbe. Toute la théorie des lois continues tient dans ce transfert — remplacer une somme de bâtons par une aire.

Le même changement de regard s'impose pour des questions que la biologie, la géologie ou l'industrie posent sans arrêt : combien de temps un composant tient-il avant de tomber en panne, combien d'années s'écoulent entre deux séismes majeurs, combien de temps un atome radioactif reste-t-il intact ? Ces durées ont toutes en commun une propriété étonnante, que le chapitre 8 a déjà rencontrée dans le monde discret sous le nom d'absence de mémoire, et qui trouve ici sa forme continue.

Problématique. Comment décrire une grandeur qui prend une infinité de valeurs, quand la probabilité d'une valeur isolée est nulle ?

9.1 D'un histogramme à une densité

9.1.1 La probabilité devient une aire

Reprenons les consultations. Si l'on relève $10000$ durées et qu'on les range en classes d'une minute, on obtient un histogramme : la probabilité qu'une durée tombe dans une classe est la surface du rectangle correspondant. Affinons les classes — une demi-minute, puis une seconde : les rectangles s'amincissent, leur sommet dessine peu à peu une courbe, et l'aire, elle, ne bouge pas. C'est cette courbe limite que l'on appelle une densité.

Définition 9.1Densité de probabilité

Soit $I$ un intervalle. On appelle densité de probabilité sur $I$ toute fonction $f$ définie sur $I$ telle que :

$f$ est continue sur $I$ (sauf éventuellement en quelques points) ;
$f$ est positive sur $I$ ;
l'aire totale sous sa courbe vaut $1$ , autrement dit $\int_{I} f (t) d t = 1$ .

Définition 9.2Variable aléatoire à densité

Une variable aléatoire $X$ suit la loi de densité $f$ sur $I$ lorsque, pour tous réels $a \leq b$ de $I$ ,

$P (a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f (t) d t .$

Une probabilité est donc une aire : celle du domaine compris entre la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les deux droites verticales d'abscisses $a$ et $b$ .

!Attention

La valeur $f (t)$ n'est pas une probabilité. Elle peut d'ailleurs dépasser $1$ : la densité de la loi uniforme sur $[0; 0, 5]$ vaut $2$ partout. Seule l'aire est une probabilité. Une densité se lit horizontalement, jamais verticalement.

Proposition 9.3Trois conséquences immédiates

Si $X$ suit une loi à densité :

$P (X = a) = 0$ pour tout réel $a$ : au-dessus d'un point, il n'y a pas d'aire ;
par conséquent les inégalités strictes et larges donnent la même probabilité :

$P (a < X < b) = P (a \leq X \leq b);$

$P (X > a) = 1 - P (X \leq a)$ , comme pour n'importe quel événement contraire.

!Attention

Le point 1 ne dit pas que l'événement ${X = a}$ est impossible : la consultation dure bien une durée précise. Il dit qu'une probabilité nulle ne signifie pas « jamais ». C'est propre au continu, et c'est déroutant la première fois.

Exemple 9.4La durée d'une consultation

Un cabinet modélise la durée $T$ d'une consultation, en minutes, par la densité

$f (t) = \frac{t ( 30 - t )}{4500} sur [0; 30] .$

Est-ce bien une densité ? Sur $[0; 30]$ , $t \geq 0$ et $30 - t \geq 0$ , donc $f (t) \geq 0$ . Une primitive de $f$ est $F (t) = \frac{15 t ^{2} - \frac{t ^{3}}{3}}{4500}$ , et

$\int_{0}^{30} f (t) d t = \frac{15 \times 900 - \frac{27 000}{3}}{4500} = \frac{13 500 - 9 000}{4500} = 1.$

Une probabilité. La probabilité qu'une consultation dure entre $10$ et $20$ minutes est

$P (10 \leq T \leq 20) = \frac{( 15 \times 400 - \frac{8000}{3} ) - ( 15 \times 100 - \frac{1000}{3} )}{4500} = \frac{\frac{10 000}{3} - \frac{3500}{3}}{4500},$

c'est-à-dire

$P (10 \leq T \leq 20) = \frac{6500}{13 500} = \frac{13}{27} \approx 0, 481.$

Une consultation sur deux, à peu près, tient dans ce créneau.

9.1.2 La fonction de répartition

Calculer une aire entre deux bornes à chaque question est fastidieux. On gagne à tabuler une fois pour toutes les aires à gauche d'un point.

Définition 9.5Fonction de répartition

La fonction de répartition d'une variable aléatoire $X$ à densité $f$ sur un intervalle d'origine $α$ est la fonction

$F : x ⟼ P (X \leq x) = \int_{α}^{x} f (t) d t .$

Proposition 9.6Propriétés de la fonction de répartition

Soit $F$ la fonction de répartition de $X$ .

$F$ est croissante, et à valeurs dans $[0; 1]$ .
Elle part de $0$ et tend vers $1$ : toute l'aire finit par être balayée.
$F$ est dérivable et $F^{'} = f$ : la densité est la dérivée de la fonction de répartition.
Pour tous $a \leq b$ : $P (a \leq X \leq b) = F (b) - F (a)$ , et $P (X > a) = 1 - F (a)$ .

Démonstration

Le point 3 est exactement le théorème du chapitre 7 : si $f$ est continue, la fonction $x \mapsto \int_{α}^{x} f (t) d t$ est dérivable, de dérivée $f$ . Le point 1 en découle : $F^{'} = f \geq 0$ , donc $F$ croît. Le point 4 est la relation de Chasles : $\int_{α}^{b} = \int_{α}^{a} + \int_{a}^{b}$ .

Méthode : Calculer une probabilité, en trois gestes

Traduire la question en un événement du type ${a \leq X \leq b}$ , ${X \leq a}$ ou ${X > a}$ — au besoin en passant au contraire.
Écrire la probabilité comme une aire, donc comme une intégrale, et la calculer par une primitive : c'est $F (b) - F (a)$ .
Interpréter le nombre obtenu dans le contexte, avec son unité.

!Le réflexe

Dès qu'on connaît $F$ , on ne calcule plus jamais d'intégrale : toutes les probabilités s'obtiennent par différence. Le réflexe est donc de chercher $F$ une fois, au début, plutôt qu'une intégrale à chaque question.

9.1.3 Espérance et variance, sous forme d'intégrales

Pour une loi discrète, l'espérance est la somme $\sum x_{i} P (X = x_{i})$ : chaque valeur pesée par sa probabilité. Dans le continu, la somme devient une intégrale et la probabilité $P (X = x_{i})$ devient la densité.

Définition 9.7Espérance, variance, écart type

Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ sur un intervalle $I$ . On pose

$E (X) = \int_{I} t f (t) d t, V (X) = \int_{I} (t - E (X))^{2} f (t) d t, σ (X) = V (X) .$

L'espérance est la valeur moyenne de $X$ à long terme ; l'écart type mesure la dispersion autour de cette moyenne, dans la même unité que $X$ .

Proposition 9.8Formule de la variance

$V (X) = \int_{I} t^{2} f (t) d t - (E (X))^{2} .$

Exercices du chapitre

Une densité en cloche corrigé
De la répartition à la densité corrigé
Iode 131 et demi-vie corrigé
Le cinquième appel corrigé
Deux modèles pour la même attente moyenne corrigé
Problème — Le cabinet médical et l'addition des consultations corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre