Statistique à deux variables quantitatives
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Le carnet de santé d'un enfant contient une page quadrillée. À chaque visite, le pédiatre y reporte un point : l'âge en abscisse, la taille en ordonnée. Au bout de quelques années, ces points forment un nuage, et le médecin y lit deux choses qu'aucune mesure isolée ne donne — une tendance, et des écarts à cette tendance.
Toutes les disciplines qui mesurent deux grandeurs à la fois font ce geste : la dose d'un médicament et l'effet obtenu, la teneur de l'atmosphère en dioxyde de carbone et la température moyenne du globe, la superficie d'une île et le nombre d'espèces qui y vivent, le prix d'un bien et la quantité vendue, le revenu d'un pays et l'espérance de vie de ses habitants. Chaque fois, la question est la même : ces deux séries varient-elles ensemble, et si oui, comment.
Ce chapitre construit une réponse en quatre temps : résumer le nuage par une droite — la mieux placée possible, en un sens qu'il faudra définir ; mesurer la qualité de ce résumé ; redresser les nuages courbés pour se ramener au cas précédent ; et enfin savoir jusqu'où l'on a le droit d'aller. Ce dernier point est le plus important, et le plus mal compris. Une corrélation, même très forte, ne dit jamais qui cause quoi.
Problématique. Comment résumer un nuage de points par une droite, et que peut-on — ou ne peut-on pas — en déduire ?
10.1 Le nuage de points et le point moyen
10.1.1 Série statistique double
On observe deux caractères quantitatifs et sur les mêmes individus. On obtient une série statistique double, c'est-à-dire une liste de couples
Dans un repère, les points forment le nuage de points de la série.
Ce qui compte est que les deux mesures portent sur le même individu : l'âge et la taille du même enfant, la dose reçue et la baisse de tension du même patient. Apparier deux séries qui ne décrivent pas les mêmes individus n'a aucun sens, même si les calculs, eux, fonctionnent encore.
Le point moyen de la série est le point , où
Les écarts à la moyenne se compensent exactement :
Démonstration
En développant la première somme, , puisque par définition de . Le raisonnement est identique pour .
Un pédiatre relève, tous les deux ans, la taille d'un garçon (valeurs proches des courbes de référence de l'OMS, arrondies au centimètre) :
Ici et
Le point moyen est . Il n'est pas un point du nuage : à six ans, l'enfant mesurait cm.
10.1.2 Ajuster : remplacer un nuage par une droite
Ajuster affinement un nuage, c'est choisir une droite d'équation qui le résume, et remplacer la vraie valeur par la valeur prédite .
Encore faut-il que le nuage s'y prête. Le premier geste n'est donc pas un calcul mais un dessin : si les points s'organisent autour d'une droite, l'ajustement affine a un sens ; s'ils dessinent une courbe, il faudra le préparer (section sec:mc10chgvar).
Méthode : Un ajustement à la main : la droite des points moyens
Quand on ne dispose ni de calculatrice ni d'ordinateur, on obtient une droite raisonnable en trois gestes (méthode dite de Mayer) :
- ranger les points par abscisses croissantes et couper la série en deux moitiés de même effectif ;
- calculer le point moyen de la première moitié et le point moyen de la seconde ;
- tracer la droite .
Cette droite passe toujours par le point moyen de la série entière, car est le milieu de lorsque les deux moitiés ont le même effectif.
La droite des points moyens est commode mais arbitraire : elle dépend de la coupure choisie, et deux personnes peuvent obtenir deux droites. Il faut donc un critère, c'est-à-dire une définition de ce que veut dire la meilleure droite. C'est l'objet de la section suivante.
10.2 La droite des moindres carrés
10.2.1 Les résidus, et le critère
Pour une droite d'ajustement , le résidu du -ième individu est l'écart vertical
Il est positif si le point est au-dessus de la droite, négatif s'il est en dessous.
Pourquoi ne pas simplement demander que la somme des résidus soit nulle ? Parce qu'une infinité de droites le réalisent : un résidu de et un résidu de se compensent aussi bien que deux résidus nuls. On demande donc que la somme de leurs carrés soit la plus petite possible — les grands écarts, élevés au carré, deviennent alors très coûteux.
La droite des moindres carrés de en est la droite qui rend minimale la quantité
On l'appelle aussi droite de régression de en .
Les résidus se mesurent verticalement, et non perpendiculairement à la droite. Cela rend les deux variables dissymétriques : la droite des moindres carrés de en et celle de en sont deux droites différentes (elles ne coïncident que si les points sont parfaitement alignés). Il faut donc savoir laquelle des deux grandeurs on cherche à prédire — c'est elle qu'on met en ordonnée.
10.2.2 Le théorème, et sa démonstration
La covariance de la série double est le nombre
On rappelle que la variance de la série est , et que son écart type est ; de même .
On suppose que les ne sont pas tous égaux, c'est-à-dire . Alors il existe une unique droite des moindres carrés de en ; son équation est avec
En particulier, cette droite passe par le point moyen .
Exercices du chapitre
- Capacité vitale et taille (droite des points moyens) corrigé
- Un polluant qui disparaît d'un lac corrigé
- Superficie d'une île et nombre d'espèces corrigé
- Prix et demande corrigé
- Tout calculer, et tout vérifier, en Python corrigé
- Problème — La croissance d'un enfant, et où la droite cesse d'être vraie corrigé