Thème 1 — Modèles définis par une fonction d'une variable

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Un tableau de variations : le signe de la dérivée et les flèches de variation de la fonction.

Les dix premiers chapitres ont installé des outils, un par un. Un thème d'étude fait l'inverse : il part d'une question que personne n'a posée en termes mathématiques, et il faut aller la chercher. Le mot du programme est mise en situation — et la situation, ici, n'a pas été choisie pour illustrer une formule, mais parce qu'elle se pose vraiment.

La question. Un propriétaire forestier a planté des douglas. Il sait que les arbres grossissent, il sait qu'ils grossissent de moins en moins vite, et il doit décider quand couper. Couper tôt, c'est récolter peu ; couper tard, c'est immobiliser la parcelle pendant des décennies. À quel âge la forêt produit-elle le plus, en moyenne, chaque année ?

Le trajet. La question n'est pas mathématique : elle le devient. On mesure, on trace un nuage de points (chapitre 10), on cherche une fonction qui le résume, on l'étudie — limites (chapitre 2), dérivée (chapitre 4), convexité (chapitre 5) —, on l'optimise, on encadre une solution par un algorithme, et l'on finit par la question qui décide de tout : jusqu'où a-t-on le droit de croire ce modèle ? Une seconde situation, plus brève, empruntée à la biochimie, montrera que le même trajet se refait ailleurs.

11.1 La question, et les données

11.1.1 Ce que l'on a mesuré

Sur huit parcelles voisines de même sol et de même exposition, plantées à des dates différentes, on mesure le volume de bois sur pied par hectare. On dispose donc de huit couples $(t; V)$ , où $t$ est l'âge du peuplement en années et $V$ le volume en mètres cubes par hectare.

$A ˆ ge t (ans) Volume V (m^{3} /ha) 158420160252463031535380404454549050542$

!Attention

Un coefficient de corrélation proche de $1$ ne valide pas un modèle : il mesure seulement l'alignement des points que l'on a. Ici l'ajustement affine du chapitre 10 « marche » ( $r \approx 0, 995$ ) et se trompe pourtant sur tout ce qui compte — l'origine et le long terme. Avant d'ajuster, il faut décider quelle forme le phénomène impose.

11.1.2 Ce que la forêt impose à la fonction

Trois faits de terrain contraignent la fonction $V$ recherchée, et ce sont eux, non le nuage, qui excluent la droite.

Le volume est croissant : un peuplement non exploité ne perd pas de bois.
Il est borné : un hectare ne peut pas porter une quantité infinie de bois. La courbe doit donc s'aplatir, c'est-à-dire admettre une asymptote horizontale — la notion est celle du chapitre 2.
La croissance est d'abord lente (les jeunes arbres ont peu de feuillage), puis rapide, puis de nouveau lente. Autrement dit la vitesse $V^{'}$ commence par augmenter avant de diminuer : la courbe est convexe puis concave, avec un point d'inflexion — c'est le vocabulaire du chapitre 5.

!Le réflexe

Écrire ces contraintes avant de calculer, c'est déjà faire des mathématiques. Elles éliminent d'un coup les polynômes (non bornés) et les fonctions affines, et orientent vers une exponentielle qui sature.

11.2 Choisir un modèle : redresser le nuage

11.2.1 Deux changements de variable enchaînés

Le chapitre 10 donne la seule technique d'ajustement au programme : on ne sait ajuster qu'une droite. Tout l'art consiste donc à transformer les données pour que le nuage transformé, lui, soit rectiligne.

La forme la plus simple qui respecte les trois contraintes est

$V (t) = K e^{- b / t}, t > 0,$

où $K > 0$ et $b > 0$ . En foresterie, elle porte le nom de modèle de Schumacher. Deux changements de variable la redressent, l'un après l'autre.

Méthode : Redresser $V = K e^{- b / t}$

On prend le logarithme des deux membres, puis on pose $u = \frac{1}{t}$ :

$ln V = ln K + ln (e^{- b / t}) = ln K - \frac{b}{t} donc z = - b u + ln K avec z = ln V, u = \frac{1}{t} .$

La relation entre $z$ et $u$ est affine. On ajuste donc le nuage $(u; z)$ par la droite des moindres carrés : sa pente vaut $- b$ , son ordonnée à l'origine vaut $ln K$ , d'où $K = e^{l n K}$ .

iRemarque

Le premier changement de variable est celui du chapitre 10 pour le modèle exponentiel ( $z = ln y$ ), le second est celui du modèle inverse ( $u = 1/ x$ ). Rien de nouveau : c'est leur composition qui est nouvelle. L'équation fonctionnelle du logarithme, $ln (ab) = ln a + ln b$ , vue au chapitre 3, est ce qui autorise la première ligne.

11.2.2 L'ajustement

On calcule $u = 1/ t$ et $z = ln V$ pour les huit parcelles.

$t u = 1/ t z = ln V 15 0, 0667 4, 431 20 0, 0500 5, 075 25 0, 0400 5, 505 30 0, 0333 5, 753 35 0, 0286 5, 940 40 0, 0250 6, 098 45 0, 0222 6, 194 50 0, 0200 6, 295$

Avec les formules du chapitre 10, $u ˉ = 0, 035724$ , $z ˉ = 5, 66148$ , $cov (u, z) = - 8, 8965 \times 1 0^{- 3}$ et $V (u) = 2, 2262 \times 1 0^{- 4}$ , d'où

$a = \frac{cov ( u , z )}{V ( u )} = - 39, 96, b = z ˉ - a u ˉ = 7, 089, r = - 0, 99988.$

On arrondit à des valeurs lisibles, $b = 40$ et $K = 1200$ , et l'on retient

$V (t) = 1200 e^{- 40/ t}, t > 0.$

Exemple 11.1Le modèle rend-il les mesures ?

Il faut toujours revenir aux données avant d'exploiter un modèle :

$t mesur e ˊ V (t) e ˊ cart 1584 83, 4 - 0, 7 % 20160 162, 4 + 1, 5 % 25246 242, 3 - 1, 5 % 30315 316, 3 + 0, 4 % 35380 382, 7 + 0, 7 % 40445 441, 5 - 0, 8 % 45490 493, 3 + 0, 7 % 50542 539, 2 - 0, 5 %$

Aucun écart ne dépasse $1, 5 %$ , et les signes alternent — il n'y a pas de biais systématique. Le modèle est accepté.


from math import log, exp, sqrt

t = [15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50]
V = [84, 160, 246, 315, 380, 445, 490, 542]

def ajustement(x, y):
    # Droite des moindres carres de y en x : renvoie (pente, ordonnee, r).
    n = len(x)
    mx, my = sum(x)/n, sum(y)/n
    cov = sum((a-mx)*(b-my) for a, b in zip(x, y))/n
    vx = sum((a-mx)**2 for a in x)/n
    vy = sum((b-my)**2 for b in y)/n
    a = cov/vx
    return a, my - a*mx, cov/sqrt(vx*vy)

u = [1/x for x in t]          # premier changement de variable
z = [log(y) for y in V]       # second changement de variable
a, b, r = ajustement(u, z)
print(round(a, 2), round(b, 4), round(r, 5))   # -39.96 7.0891 -0.99988
print(round(exp(b), 1))                        # 1198.9  ->  K = 1200

11.3 Étudier la fonction obtenue

Le modèle n'est plus une donnée : c'est une fonction, et on l'étudie comme au chapitre 4.

11.3.1 Domaine, limites, continuité

$V$ est définie et dérivable sur $] 0; + \infty [$ : c'est une exponentielle composée avec $t \mapsto - 40/ t$ , qui est elle-même définie et dérivable dès que $t \neq = 0$ . Étant dérivable, elle est continue (chapitre 2), ce qui autorisera l'emploi du théorème des valeurs intermédiaires.

Proposition 11.2Les deux bouts de la courbe

$t \to 0^{+} lim V (t) = 0 et t \to + \infty lim V (t) = 1 200.$

La droite d'équation $V = 1200$ est asymptote horizontale à la courbe.

Exercices du chapitre

La loi de Kleiber corrigé
La dose qui maximise l'effet net corrigé
Balayage ou dichotomie ? corrigé
Problème — Combien de bateaux pour ne pas vider la mer ? corrigé
Quel changement de variable ? corrigé
Une perfusion continue corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre