Thème 1 — Modèles définis par une fonction d'une variable

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Les dix premiers chapitres ont installé des outils, un par un. Un thème d'étude fait l'inverse : il part d'une question que personne n'a posée en termes mathématiques, et il faut aller la chercher. Le mot du programme est mise en situation — et la situation, ici, n'a pas été choisie pour illustrer une formule, mais parce qu'elle se pose vraiment.

La question. Un propriétaire forestier a planté des douglas. Il sait que les arbres grossissent, il sait qu'ils grossissent de moins en moins vite, et il doit décider quand couper. Couper tôt, c'est récolter peu ; couper tard, c'est immobiliser la parcelle pendant des décennies. À quel âge la forêt produit-elle le plus, en moyenne, chaque année ?

Le trajet. La question n'est pas mathématique : elle le devient. On mesure, on trace un nuage de points (chapitre 10), on cherche une fonction qui le résume, on l'étudie — limites (chapitre 2), dérivée (chapitre 4), convexité (chapitre 5) —, on l'optimise, on encadre une solution par un algorithme, et l'on finit par la question qui décide de tout : jusqu'où a-t-on le droit de croire ce modèle ? Une seconde situation, plus brève, empruntée à la biochimie, montrera que le même trajet se refait ailleurs.

11.1 La question, et les données

11.1.1 Ce que l'on a mesuré

Sur huit parcelles voisines de même sol et de même exposition, plantées à des dates différentes, on mesure le volume de bois sur pied par hectare. On dispose donc de huit couples $(t; V)$ , où $t$ est l'âge du peuplement en années et $V$ le volume en mètres cubes par hectare.

$A ˆ ge t (ans) Volume V (m^{3} /ha) 158420160252463031535380404454549050542$

!Attention

Un coefficient de corrélation proche de $1$ ne valide pas un modèle : il mesure seulement l'alignement des points que l'on a. Ici l'ajustement affine du chapitre 10 « marche » ( $r \approx 0, 995$ ) et se trompe pourtant sur tout ce qui compte — l'origine et le long terme. Avant d'ajuster, il faut décider quelle forme le phénomène impose.

11.1.2 Ce que la forêt impose à la fonction

Trois faits de terrain contraignent la fonction $V$ recherchée, et ce sont eux, non le nuage, qui excluent la droite.

Le volume est croissant : un peuplement non exploité ne perd pas de bois.
Il est borné : un hectare ne peut pas porter une quantité infinie de bois. La courbe doit donc s'aplatir, c'est-à-dire admettre une asymptote horizontale — la notion est celle du chapitre 2.
La croissance est d'abord lente (les jeunes arbres ont peu de feuillage), puis rapide, puis de nouveau lente. Autrement dit la vitesse $V^{'}$ commence par augmenter avant de diminuer : la courbe est convexe puis concave, avec un point d'inflexion — c'est le vocabulaire du chapitre 5.

!Le réflexe

Écrire ces contraintes avant de calculer, c'est déjà faire des mathématiques. Elles éliminent d'un coup les polynômes (non bornés) et les fonctions affines, et orientent vers une exponentielle qui sature.

11.2 Choisir un modèle : redresser le nuage

11.2.1 Deux changements de variable enchaînés

Le chapitre 10 donne la seule technique d'ajustement au programme : on ne sait ajuster qu'une droite. Tout l'art consiste donc à transformer les données pour que le nuage transformé, lui, soit rectiligne.

La forme la plus simple qui respecte les trois contraintes est

$V (t) = K e^{- b / t}, t > 0,$

où $K > 0$ et $b > 0$ . En foresterie, elle porte le nom de modèle de Schumacher. Deux changements de variable la redressent, l'un après l'autre.

Méthode : Redresser $V = K e^{- b / t}$

On prend le logarithme des deux membres, puis on pose $u = \frac{1}{t}$ :

$ln V = ln K + ln (e^{- b / t}) = ln K - \frac{b}{t} donc z = - b u + ln K avec z = ln V, u = \frac{1}{t} .$

La relation entre $z$ et $u$ est affine. On ajuste donc le nuage $(u; z)$ par la droite des moindres carrés : sa pente vaut $- b$ , son ordonnée à l'origine vaut $ln K$ , d'où $K = e^{l n K}$ .

iRemarque

Le premier changement de variable est celui du chapitre 10 pour le modèle exponentiel ( $z = ln y$ ), le second est celui du modèle inverse ( $u = 1/ x$ ). Rien de nouveau : c'est leur composition qui est nouvelle. L'équation fonctionnelle du logarithme, $ln (ab) = ln a + ln b$ , vue au chapitre 3, est ce qui autorise la première ligne.

11.2.2 L'ajustement

On calcule $u = 1/ t$ et $z = ln V$ pour les huit parcelles.

$t u = 1/ t z = ln V 15 0, 0667 4, 431 20 0, 0500 5, 075 25 0, 0400 5, 505 30 0, 0333 5, 753 35 0, 0286 5, 940 40 0, 0250 6, 098 45 0, 0222 6, 194 50 0, 0200 6, 295$

Avec les formules du chapitre 10, $u ˉ = 0, 035724$ , $z ˉ = 5, 66148$ , $cov (u, z) = - 8, 8965 \times 1 0^{- 3}$ et $V (u) = 2, 2262 \times 1 0^{- 4}$ , d'où

$a = \frac{cov ( u , z )}{V ( u )} = - 39, 96, b = z ˉ - a u ˉ = 7, 089, r = - 0, 99988.$

On arrondit à des valeurs lisibles, $b = 40$ et $K = 1200$ , et l'on retient

$V (t) = 1200 e^{- 40/ t}, t > 0.$

Exemple 11.1Le modèle rend-il les mesures ?

Il faut toujours revenir aux données avant d'exploiter un modèle :

$t mesur e ˊ V (t) e ˊ cart 1584 83, 4 - 0, 7 % 20160 162, 4 + 1, 5 % 25246 242, 3 - 1, 5 % 30315 316, 3 + 0, 4 % 35380 382, 7 + 0, 7 % 40445 441, 5 - 0, 8 % 45490 493, 3 + 0, 7 % 50542 539, 2 - 0, 5 %$

Aucun écart ne dépasse $1, 5 %$ , et les signes alternent — il n'y a pas de biais systématique. Le modèle est accepté.


from math import log, exp, sqrt

t = [15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50]
V = [84, 160, 246, 315, 380, 445, 490, 542]

def ajustement(x, y):
    # Droite des moindres carres de y en x : renvoie (pente, ordonnee, r).
    n = len(x)
    mx, my = sum(x)/n, sum(y)/n
    cov = sum((a-mx)*(b-my) for a, b in zip(x, y))/n
    vx = sum((a-mx)**2 for a in x)/n
    vy = sum((b-my)**2 for b in y)/n
    a = cov/vx
    return a, my - a*mx, cov/sqrt(vx*vy)

u = [1/x for x in t]          # premier changement de variable
z = [log(y) for y in V]       # second changement de variable
a, b, r = ajustement(u, z)
print(round(a, 2), round(b, 4), round(r, 5))   # -39.96 7.0891 -0.99988
print(round(exp(b), 1))                        # 1198.9  ->  K = 1200

11.3 Étudier la fonction obtenue

Le modèle n'est plus une donnée : c'est une fonction, et on l'étudie comme au chapitre 4.

11.3.1 Domaine, limites, continuité

$V$ est définie et dérivable sur $] 0; + \infty [$ : c'est une exponentielle composée avec $t \mapsto - 40/ t$ , qui est elle-même définie et dérivable dès que $t \neq = 0$ . Étant dérivable, elle est continue (chapitre 2), ce qui autorisera l'emploi du théorème des valeurs intermédiaires.

Proposition 11.2Les deux bouts de la courbe

$t \to 0^{+} lim V (t) = 0 et t \to + \infty lim V (t) = 1 200.$

La droite d'équation $V = 1200$ est asymptote horizontale à la courbe.

Démonstration

Quand $t$ tend vers $0$ par valeurs positives, $- 40/ t$ prend des valeurs négatives de plus en plus grandes en valeur absolue, donc $e^{- 40/ t}$ s'écrase vers $0$ : le produit tend vers $0$ . Une parcelle qui vient d'être plantée ne porte pas de bois.

Quand $t$ devient grand, $40/ t$ s'approche de $0$ , donc $e^{- 40/ t}$ s'approche de $e^{0} = 1$ et $V (t)$ de $1200$ . Les opérations sur les limites sont admises par le programme.

iRemarque

Le nombre $K = 1200$ n'est jamais atteint : c'est une borne, pas une valeur. On l'appelle capacité de production de la station. Il ne se lit sur aucune mesure — il se déduit de l'ajustement, à travers l'ordonnée à l'origine de la droite redressée.

11.3.2 Variations

Proposition 11.3Croissance

Pour tout $t > 0$ ,

$V^{'} (t) = \frac{48 000}{t ^{2}} e^{- 40/ t} > 0.$

La fonction $V$ est strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ .

Démonstration

$V$ est de la forme $1200 e^{w}$ avec $w (t) = - 40 t^{- 1}$ , donc $w^{'} (t) = 40 t^{- 2} = \frac{40}{t ^{2}}$ , et la formule $(e^{w})^{'} = w^{'} e^{w}$ du chapitre 4 donne

$V^{'} (t) = 1200 \times \frac{40}{t ^{2}} e^{- 40/ t} = \frac{48 000}{t ^{2}} e^{- 40/ t} .$

Une exponentielle et un carré sont strictement positifs : $V^{'} (t) > 0$ .

!Attention

Le facteur $w^{'} = 40/ t^{2}$ est positif, alors que l'exposant $- 40/ t$ est négatif. C'est là que l'on se trompe : le signe de $w$ ne dit rien du signe de $w^{'}$ . Une exponentielle décroissante en $t$ s'écrit $e^{- k t}$ , pas $e^{- k / t}$ .

11.3.3 Convexité et point d'inflexion

Proposition 11.4Un point d'inflexion à

20

ans

Pour tout $t > 0$ ,

$V^{''} (t) = \frac{96 000 ( 20 - t )}{t ^{4}} e^{- 40/ t} .$

Donc $V$ est convexe sur $] 0; 20]$ et concave sur $[20; + \infty [$ : le point de la courbe d'abscisse $20$ est un point d'inflexion.

Démonstration

On dérive $V^{'} (t) = 48000 t^{- 2} e^{- 40/ t}$ comme un produit :

$V^{''} (t) = 48000 (- 2 t^{- 3} e^{- 40/ t} + t^{- 2} \times \frac{40}{t ^{2}} e^{- 40/ t}) = 48000 t^{- 4} e^{- 40/ t} (- 2 t + 40),$

ce qui est bien $\frac{96 000 ( 20 - t )}{t ^{4}} e^{- 40/ t}$ . Les facteurs $t^{4}$ et $e^{- 40/ t}$ étant strictement positifs, $V^{''}$ est du signe de $20 - t$ .

iRemarque

Le point d'inflexion n'est pas un ornement : il est l'âge où la vitesse de production est maximale. En effet $V^{'}$ croît puis décroît, avec un maximum en $t = 20$ :

$V^{'} (20) = \frac{48 000}{400} e^{- 2} = 120 e^{- 2} \approx 16, 2 m^{3} /ha/an.$

Les forestiers appellent cet âge la culmination de l'accroissement courant.

11.4 Optimiser : à quel âge couper ?

11.4.1 La production moyenne annuelle

Le volume $V (t)$ ne répond pas à la question du forestier : il croît toujours, donc il conseillerait d'attendre indéfiniment. Ce qui décide, c'est le volume produit par année d'immobilisation de la parcelle.

Définition 11.5Production moyenne annuelle

La production moyenne annuelle d'un peuplement coupé à l'âge $t$ est

$M (t) = \frac{V ( t )}{t} = \frac{1 200 e ^{- 40/ t}}{t}, t > 0.$

C'est aussi le coefficient directeur de la droite joignant l'origine au point de la courbe de $V$ d'abscisse $t$ .

Proposition 11.6Un maximum à

40

ans

Pour tout $t > 0$ ,

$M^{'} (t) = \frac{1 200 ( 40 - t )}{t ^{3}} e^{- 40/ t} .$

La fonction $M$ croît sur $] 0; 40]$ , décroît sur $[40; + \infty [$ , et son maximum vaut exactement

$M (40) = \frac{1 200 e ^{- 1}}{40} = \frac{30}{e} \approx 11, 04 m^{3} /ha/an.$

Démonstration

$M$ est le quotient de $V$ par $t$ , donc

$M^{'} (t) = \frac{V ^{'} ( t ) t - V ( t )}{t ^{2}} .$

Or $V^{'} (t) t = \frac{48 000}{t} e^{- 40/ t}$ , de sorte que

$V^{'} (t) t - V (t) = 1200 e^{- 40/ t} (\frac{40}{t} - 1) = \frac{1 200 ( 40 - t )}{t} e^{- 40/ t},$

et en divisant par $t^{2}$ on obtient la formule annoncée. Les facteurs $t^{3}$ et $e^{- 40/ t}$ sont strictement positifs : $M^{'}$ est du signe de $40 - t$ .

$t M^{'} (t) M 0 + ↗ 400 \frac{30}{e} - ↘ + \infty$

11.4.2 Un résultat qui n'est pas une coïncidence

Proposition 11.7À l'optimum, la production moyenne égale la production courante

Pour toute fonction $V$ dérivable et strictement positive sur $] 0; + \infty [$ , en posant $M (t) = V (t) / t$ :

$M^{'} (t) = 0 ⟺ V^{'} (t) = \frac{V ( t )}{t} = M (t) .$

Démonstration

En dérivant le quotient, $M^{'} (t) = \frac{V ^{'} ( t ) t - V ( t )}{t ^{2}}$ . Comme $t^{2} > 0$ , $M^{'} (t) = 0$ équivaut à $V^{'} (t) t = V (t)$ , c'est-à-dire à $V^{'} (t) = V (t) / t$ .

On vérifie sur le modèle : $V^{'} (40) = \frac{48 000}{1 600} e^{- 1} = \frac{30}{e}$ , exactement la valeur de $M (40)$ .

!Le réflexe

C'est un résultat établi au chapitre 4 — « au minimum du coût moyen, coût marginal et coût moyen sont égaux » — dans un tout autre décor. Là on minimisait un coût moyen, ici on maximise une production moyenne : la démonstration est la même à un mot près. Reconnaître un résultat déjà rencontré sous un autre habillage, c'est exactement ce qu'un thème d'étude cherche à provoquer.

11.5 Encadrer : balayage, puis dichotomie

L'optimum est plat : couper à $35$ ou à $45$ ans coûte moins de $1 %$ de production. La vraie question de gestion n'est donc pas « quel est l'âge optimal ? » mais « sur quelle plage d'âges reste-t-on au-dessus d'un seuil acceptable ? ». On se fixe le seuil de $10$ m $^{3}$ /ha/an et l'on cherche les solutions de

$M (t) = 10.$

Méthode : Compter d'abord, calculer ensuite

Le tableau de variation de $M$ donne le nombre de solutions avant tout calcul. Sur $] 0; 40]$ , $M$ est continue et strictement croissante, de valeurs proches de $0$ jusqu'à $30/ e \approx 11, 04$ : comme $10$ est compris entre ces deux valeurs, le théorème des valeurs intermédiaires (admis, chapitre 2) donne exactement une solution. Sur $[40; + \infty [$ , $M$ décroît de $11, 04$ vers $0$ : encore exactement une. Il y en a donc deux, et pas davantage.

L'équation $\frac{1 200 e ^{- 40/ t}}{t} = 10$ ne se résout pas exactement : $t$ apparaît à la fois dans l'exposant et au dénominateur. On l'encadre.


from math import exp

def M(t):
    return 1200 * exp(-40/t) / t

def balayage(f, k, debut, pas, croissante=True):
    # Encadre la solution de f(x) = k, en partant d'un point ou f(debut) est
    # du bon cote du seuil. Renvoie (x - pas, x).
    x = debut
    while (f(x) < k) if croissante else (f(x) > k):
        x = x + pas
    return (x - pas, x)

def dichotomie(f, a, b, k, precision):
    # Hypothese : f continue et strictement monotone sur [a, b],
    # avec f(a) - k et f(b) - k de signes contraires.
    etapes = 0
    while b - a > precision:
        m = (a + b) / 2
        if (f(a) - k) * (f(m) - k) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
        etapes = etapes + 1
    return a, b, etapes

print(balayage(M, 10, 20, 1))                    # (26, 27)
print(balayage(M, 10, 45, 1, croissante=False))  # (64, 65)
print(dichotomie(M, 26, 27, 10, 0.001))          # (26.4521..., 26.4531..., 10)
print(dichotomie(M, 64, 65, 10, 0.001))          # (64.6133..., 64.6143..., 10)

Le balayage au pas $1$ donne $M (26) \approx 9, 91$ et $M (27) \approx 10, 10$ d'un côté, $M (64) \approx 10, 04$ et $M (65) \approx 9, 98$ de l'autre ; la dichotomie resserre en dix étapes :

$t_{1} \approx 26, 45 ans et t_{2} \approx 64, 61 ans.$

Proposition 11.8Réponse à la question posée

La production moyenne dépasse $10$ m $^{3}$ /ha/an pour tout âge de coupe compris entre $26$ ans et demi et $64$ ans et demi environ — une plage de près de trente-huit ans. L'optimum théorique est à $40$ ans, mais il n'a rien d'impératif.

!Attention

Le balayage n'est fiable que parce que le tableau de variation a déjà garanti qu'il y a une solution et une seule sur chaque branche. Lancé sans cette étude, il peut enjamber les deux solutions et n'en signaler aucune. Noter aussi que le second appel part de $45$ , du côté décroissant : le sens de parcours n'est pas le même, et c'est l'étude de fonction qui le dit.

iRemarquePourquoi la dichotomie l'emporte

Pour atteindre une précision de $1 0^{- 3}$ , le balayage depuis $t = 20$ demanderait plus de $6000$ tours de boucle ; la dichotomie n'en demande que dix, parce que l'amplitude est divisée par deux à chaque étape : $1/ 2^{10} = 1/1024 < 1 0^{- 3}$ . En revanche la dichotomie exige un encadrement de départ — que le balayage, lui, fournit. Les deux algorithmes ne sont pas concurrents : ils s'enchaînent.

11.6 Jusqu'où le modèle est-il valide ?

C'est la question qu'un thème d'étude ne doit jamais escamoter. Trois réponses, de la plus technique à la plus décisive.

Interpoler, oui ; extrapoler, avec méfiance. Les mesures couvrent $15$ à $50$ ans. Calculer $V (28)$ est une interpolation : la valeur est encadrée par des observations. Calculer $V (120) \approx 860$ m $^{3}$ /ha est une extrapolation : rien ne l'appuie. Et la borne haute de la plage acceptable, $t_{2} \approx 64, 6$ ans, tombe déjà en dehors des mesures : elle est une conséquence du modèle, non un fait observé.
Le modèle ignore la mort des arbres. $V$ est croissante par construction, donc elle prévoit qu'un peuplement de $200$ ans porte encore $982$ m $^{3}$ /ha. En réalité les tempêtes, les insectes et la sénescence font chuter le volume. Le modèle est structurellement incapable de le dire : aucun jeu de données ne le corrigerait.
Le modèle décrit une station, pas une espèce. Les paramètres $K$ et $b$ ont été estimés sur huit parcelles de même sol et de même climat. Les transporter à une autre région n'a pas de sens : ce sont eux, et non la forme de la fonction, qui portent la géographie.

!Le réflexe

Un modèle se juge sur trois questions, et dans cet ordre : restitue-t-il les données ? (ici oui, à $1, 5 %$ ) ; respecte-t-il ce que l'on sait du phénomène ? (croissance, saturation, inflexion : oui) ; sur quel intervalle a-t-on le droit de s'en servir ? (ici $15$ à $65$ ans, guère au-delà). La troisième question est celle que l'on oublie.

11.7 Une seconde situation, plus brève : la vitesse d'une enzyme

Le même trajet se refait ailleurs, en une page. En biochimie, la vitesse $v$ à laquelle une enzyme transforme un substrat dépend de la concentration $s$ de ce substrat. On mesure, sur six concentrations, la vitesse initiale de la réaction.

$s (μ mol/L) v (μ mol/L/min) 5 10, 2 10 17, 0 20 26, 9 40 36, 7 80 45, 9 160 52, 0$

Le nuage monte puis s'aplatit : l'enzyme sature. Le modèle admis par les biochimistes est celui de Michaelis et Menten,

$v (s) = \frac{v _{m a x} s}{K _{m} + s}, s \geq 0.$

Méthode : Redresser une hyperbole

On prend l'inverse des deux membres :

$\frac{1}{v} = \frac{K _{m} + s}{v _{m a x} s} = \frac{K _{m}}{v _{m a x}} \times \frac{1}{s} + \frac{1}{v _{m a x}} .$

En posant $x = \frac{1}{s}$ et $y = \frac{1}{v}$ , la relation est affine. La pente vaut $K_{m} / v_{m a x}$ et l'ordonnée à l'origine $1/ v_{m a x}$ .

L'ajustement des six couples $(1/ s; 1/ v)$ donne

$y = 0, 4079 x + 0, 016949, r = 0, 99983,$

d'où $v_{m a x} = \frac{1}{0 , 016949} \approx 59, 0$ et $K_{m} = 0, 4079 \times 59, 0 \approx 24, 1$ . On retient

$v (s) = \frac{60 s}{25 + s} .$

Exemple 11.9Étude éclair

Sur $[0; + \infty [$ :

$v^{'} (s) = \frac{60 ( 25 + s ) - 60 s}{( 25 + s ) ^{2}} = \frac{1 500}{( 25 + s ) ^{2}} > 0, v^{''} (s) = - \frac{3 000}{( 25 + s ) ^{3}} < 0.$

La fonction est donc strictement croissante et concave : chaque $μ$ mol/L de substrat supplémentaire rapporte moins que la précédente. Sa limite en $+ \infty$ est $60$ : l'enzyme sature. Enfin $v (s) = 54$ , soit $90 %$ de $v_{m a x}$ , équivaut à

$60 s = 54 (25 + s) ⟺ 6 s = 1350 ⟺ s = 225,$

c'est-à-dire neuf fois $K_{m}$ . Pour gagner les dix derniers pour cent, il faut multiplier la concentration par neuf : c'est le prix de la saturation.

11.8 Bilan

Proposition 11.10L'essentiel du thème

Modéliser, c'est choisir une forme, et la forme se choisit sur ce que l'on sait du phénomène — croissance, saturation, symétrie, positivité — avant de se choisir sur les données. Un bon coefficient de corrélation ne valide jamais un modèle à lui seul.
On ne sait ajuster qu'une droite. Toute la technique consiste à redresser le nuage par un changement de variable : $z = ln y$ pour un modèle exponentiel, $(ln x; ln y)$ pour une loi puissance, $u = 1/ x$ pour un modèle inverse, et leurs compositions. On transforme, on ajuste, on revient.
Le modèle une fois écrit devient une fonction : domaine, limites et asymptotes (chapitre 2), dérivée et tableau de variation (chapitre 4), dérivée seconde, convexité et point d'inflexion (chapitre 5). Chacun de ces objets a une lecture concrète — l'asymptote est une capacité, le point d'inflexion l'instant de croissance maximale, l'extremum l'optimum de gestion.
Optimiser une moyenne, c'est chercher où la droite issue de l'origine touche la courbe ; à cet endroit, valeur moyenne et valeur marginale sont égales. Résultat démontré au chapitre 4 pour un coût, valable ici pour une production.
Deux algorithmes, dans cet ordre. Le tableau de variation et le théorème des valeurs intermédiaires (admis) garantissent l'existence et le nombre de solutions ; le balayage fournit un premier encadrement ; la dichotomie le resserre en divisant l'amplitude par deux à chaque étape. Aucun des deux ne dispense de l'étude préalable.
Interpoler n'est pas extrapoler. À l'intérieur de la plage mesurée, le modèle interpole et l'on peut lui faire confiance. À l'extérieur, il n'énonce plus que les conséquences de la forme qu'on lui a imposée : le volume de bois croît indéfiniment, le glacier ne disparaît jamais, le sprinter court en zéro seconde. C'est là, et non dans les calculs, que se joue la valeur d'un modèle.

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Thème 1 — Modèles définis par une fonction d'une variable

11.1 La question, et les données

11.1.1 Ce que l'on a mesuré

11.1.2 Ce que la forêt impose à la fonction

11.2 Choisir un modèle : redresser le nuage

11.2.1 Deux changements de variable enchaînés

Méthode : Redresser V=Ke−b/t

11.2.2 L'ajustement

11.3 Étudier la fonction obtenue

11.3.1 Domaine, limites, continuité

11.3.2 Variations

11.3.3 Convexité et point d'inflexion

11.4 Optimiser : à quel âge couper ?

11.4.1 La production moyenne annuelle

11.4.2 Un résultat qui n'est pas une coïncidence

11.5 Encadrer : balayage, puis dichotomie

Méthode : Compter d'abord, calculer ensuite

11.6 Jusqu'où le modèle est-il valide ?

11.7 Une seconde situation, plus brève : la vitesse d'une enzyme

Méthode : Redresser une hyperbole

11.8 Bilan

Méthode : Redresser $V = K e^{- b / t}$