Thème 2 — Modèles d'évolution

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Un service hospitalier doit trancher. Le même antibiotique peut être donné de deux façons : trois injections dans la journée, ou une perfusion continue au goutte-à-goutte. La dose journalière sera la même dans les deux cas. Est-ce, pour autant, la même chose pour le patient ?

La question n'est pas rhétorique, et elle est mathématique. La première situation se décrit par une suite : on note la quantité présente juste après chaque injection, et l'on passe d'un terme au suivant. La seconde se décrit par une fonction du temps, solution d'une équation différentielle. Deux langages, deux chapitres de ce livre — et une question : que se disent-ils l'un à l'autre ?

Le programme formule ainsi ce thème : « phénomènes dépendant du temps, modélisés par des suites ou par des fonctions. Mise en regard des modèles discrets et continus. » Il n'y a donc ici aucune notion nouvelle à apprendre. Il y a des outils déjà installés, séparément, à faire travailler ensemble sur une même situation.

iRemarqueCe que ce thème mobilise

Chapitre 1 — suites géométriques, suites arithmético-géométriques, point fixe, comportement quand $n$ devient grand. C'est le langage du discret.
Chapitre 6 — équations $y^{'} = a y$ et $y^{'} = a y + b$ , solution constante, méthode d'Euler. C'est le langage du continu, et Euler est le pont entre les deux.
Chapitre 3 — le logarithme, qui traduit un facteur multiplicatif en durée : demi-vie, temps de doublement, taux équivalents.
Chapitre 7 — la valeur moyenne d'une fonction, qui permettra de comparer honnêtement deux protocoles.
Chapitres 4 et 5 — dériver une exponentielle composée, et lire une convexité pour comprendre dans quel sens la méthode d'Euler se trompe.
Chapitre 10 — l'ajustement affine après changement de variable, pour remonter de relevés expérimentaux au coefficient du modèle.

Problématique. Une même évolution peut-elle se décrire indifféremment par une suite ou par une équation différentielle ? Quand les deux descriptions coïncident-elles exactement, quand décrochent-elles, et que fabrique au juste la méthode d'Euler lorsqu'elle passe de l'une à l'autre ?

12.1 Une même évolution, deux langages

12.1.1 Le dictionnaire

Prenons la plus simple des évolutions : une grandeur dont il disparaît, par unité de temps, une proportion fixe de ce qui reste. C'est la décroissance radioactive, l'élimination d'un médicament, le refroidissement d'un corps, le renouvellement de l'air d'une pièce. Le chapitre 1 la décrit par une suite géométrique ; le chapitre 6, par l'équation $y^{'} = a y$ . Le lien entre les deux est exact, et c'est le point de départ de tout ce thème.

Proposition 12.1Passage exact, sans apport

Soit $y$ la solution de $y^{'} = a y$ telle que $y (0) = y_{0}$ , c'est-à-dire $y (t) = y_{0} e^{a t}$ . Fixons un pas de temps $h > 0$ et posons $u_{n} = y (nh)$ : ce sont les valeurs de $y$ relevées toutes les $h$ unités de temps. Alors $(u_{n})$ est géométrique de raison

$q = e^{ah} .$

Réciproquement, une suite géométrique de premier terme $u_{0}$ et de raison $q > 0$ est exactement la restriction aux instants $nh$ de la fonction $t \mapsto u_{0} e^{a t}$ , où $a = \frac{ln q}{h}$ .

Démonstration

Pour tout $n$ ,

$u_{n + 1} = y ((n + 1) h) = y_{0} e^{a (nh + h)} = y_{0} e^{anh} \times e^{ah} = u_{n} \times e^{ah} .$

Le facteur $e^{ah}$ ne dépend pas de $n$ : la suite est bien géométrique, de raison $q = e^{ah}$ . Pour la réciproque, il s'agit de résoudre $e^{ah} = q$ , ce qui est possible parce que $q$ est strictement positif : on prend le logarithme (chapitre 3), d'où $ah = ln q$ .

Dès qu'un apport régulier s'ajoute — une prise de médicament, un versement, des occupants qui respirent, une rivière qui alimente un lac —, la même traduction existe, et elle est tout aussi exacte.

Proposition 12.2Passage exact, avec apport

Soit $y$ une solution de $y^{'} = a y + β$ avec $a \neq = 0$ , et $u_{n} = y (nh)$ . Alors $(u_{n})$ est arithmético-géométrique :

$u_{n + 1} = q u_{n} + b, avec q = e^{ah} et b = \frac{β}{a} (e^{ah} - 1) .$

De plus les deux modèles ont le même équilibre : le point fixe $\frac{b}{1 - q}$ de la suite vaut $- \frac{β}{a}$ , la solution constante de l'équation différentielle.

Démonstration

D'après le chapitre 6, $y (t) = C e^{a t} - \frac{β}{a}$ . Donc

$y (t + h) = C e^{a t} e^{ah} - \frac{β}{a} = e^{ah} (y (t) + \frac{β}{a}) - \frac{β}{a} = e^{ah} y (t) + \frac{β}{a} (e^{ah} - 1),$

ce qui est bien la relation annoncée, prise en $t = nh$ . Quant au point fixe,

$\frac{b}{1 - q} = \frac{\frac{β}{a} ( e ^{ah} - 1 )}{1 - e ^{ah}} = \frac{β}{a} \times \frac{e ^{ah} - 1}{- ( e ^{ah} - 1 )} = - \frac{β}{a} .$

!Le réflexe

Un modèle discret et un modèle continu ne diffèrent pas par leur difficulté : ils diffèrent par ce qu'ils prétendent décrire. Le discret ne dit rien entre deux observations ; le continu prétend tout dire, à chaque instant. Avant de choisir, il faut donc savoir si le phénomène étudié se produit vraiment par à-coups (des prises, des versements, des générations) ou vraiment en flux (une élimination, un refroidissement, une ventilation).

12.1.2 Quand les deux descriptions coïncident, et quand elles décrochent

Exemple 12.3L'iode 131, ou la coïncidence parfaite

L'iode 131, utilisé en médecine nucléaire, a une demi-vie de 8 jours. Un échantillon d'activité initiale $400$ MBq est décrit par $A^{'} = - k A$ avec $e^{- 8 k} = \frac{1}{2}$ , soit $k = \frac{ln 2}{8} \approx 0, 0866$ par jour, et

$A (t) = 400 e^{- k t} .$

Les relevés quotidiens forment la suite $A_{n} = A (n) = 400 q^{n}$ avec $q = e^{- k} = 2^{- 1/8} \approx 0, 9170$ : chaque jour, $8, 30 %$ de l'activité disparaît. Les deux modèles ne peuvent pas se contredire, puisque l'un est l'autre lu aux instants entiers. Et l'on retrouve bien $A (8) = 200$ , $A (16) = 100$ , $A (24) = 50$ .

!AttentionUn taux « par an » n'est pas un taux instantané

« Cette population perd $40 %$ par an. » Deux lecteurs traduisent, et n'écrivent pas la même chose :

$u_{n + 1} = 0, 6 u_{n} ou y^{'} = - 0, 4 y .$

La première dit qu'il reste $60 %$ au bout d'un an ; la seconde qu'il en reste $e^{- 0, 4} \approx 67 %$ . Au bout de six ans, la première donne $47$ individus pour mille, la seconde $91$ : presque le double. Le taux instantané $k$ et la perte annuelle $1 - q$ ne se confondent pas. Ils sont liés par $q = e^{- k}$ , donc $k = - ln q$ : ici $k = - ln 0, 6 \approx 0, 51$ , et non $0, 4$ .

iRemarque

Pourquoi les deux traductions sont-elles néanmoins proches pour de petits taux ? Parce que $e^{- k} \approx 1 - k$ quand $k$ est petit : c'est l'approximation affine de l'exponentielle au voisinage de $0$ , autrement dit sa tangente (chapitre 4). Pour $k = 0, 02$ l'écart est de deux dix-millièmes ; pour $k = 0, 4$ il est de sept points. C'est déjà toute l'histoire de la méthode d'Euler, que l'on retrouvera au paragraphe 3.

12.2 L'apport régulier : doses répétées ou perfusion continue

Revenons à la question du début. Un antibiotique s'élimine avec un coefficient $k = 0, 1$ par heure — une demi-vie de $10 ln 2 \approx 6, 9$ heures. Le médecin veut délivrer $1200$ mg par jour. Il a le choix entre :

le protocole discret : $400$ mg toutes les $8$ heures, en injection ;
le protocole continu : une perfusion de $50$ mg par heure.

Les deux délivrent $1200$ mg par jour. Il reste à savoir ce qu'ils font, eux, de la concentration.

12.2.1 Le protocole discret

Entre deux injections, il ne se passe qu'une chose : l'élimination. Sur une durée $h$ , la quantité présente est donc multipliée par $q = e^{- k h}$ , puis l'injection ajoute la dose $Q$ .

Méthode : Modéliser des prises répétées

On note $u_{n}$ la quantité présente juste après la prise de rang $n$ (la première portant le rang $0$ ). Alors

$u_{n + 1} = q u_{n} + Q, q = e^{- k h},$

suite arithmético-géométrique. Son point fixe

$c = \frac{Q}{1 - q}$

est la valeur du pic en régime stationnaire ; le creux, atteint juste avant la prise suivante, vaut $q c$ . Comme $0 < q < 1$ , la suite converge vers $c$ : la quantité ne s'accumule pas indéfiniment.

Ici $h = 8$ et $k = 0, 1$ , donc $q = e^{- 0, 8} \approx 0, 4493$ et

$u_{n + 1} = 0, 4493 u_{n} + 400, c = \frac{400}{1 - e ^{- 0, 8}} \approx 726, 4 mg, q c \approx 326, 4 mg .$

Proposition 12.4L'amplitude du régime stationnaire est la dose

Avec les notations précédentes, l'écart entre le pic et le creux vaut

$c - q c = c (1 - q) = Q .$

Il ne dépend donc ni de $k$ , ni de $h$ pris séparément : c'est exactement la dose administrée à chaque prise.

12.2.2 Le protocole continu

La perfusion apporte $D$ mg par heure pendant que l'organisme élimine : c'est l'équation du chapitre 6,

$y^{'} = - k y + D .$

Sa solution constante est $\frac{D}{k}$ — ici $\frac{50}{0 , 1} = 500$ mg. Partant de $y (0) = 0$ ,

$y (t) = \frac{D}{k} (1 - e^{- k t}) = 500 (1 - e^{- 0, 1 t}) .$

La concentration monte, sans jamais dépasser $500$ mg : c'est le plateau.

12.2.3 La mise en regard

Nous avons donc, pour la même dose journalière, une dent de scie oscillant entre $326$ et $726$ mg d'un côté, une montée régulière vers $500$ mg de l'autre. Les trois énoncés suivants disent tout ce qu'il y a à en dire, et ils sont exacts.

◆Théorème 12.5Deux protocoles, une même exposition

Soit $k > 0$ . On compare :

une perfusion de débit $D$ , de plateau $\frac{D}{k}$ ;
des prises de dose $Q = D h$ espacées de $h$ , de pic $c = \frac{Q}{1 - e ^{- k h}}$ .

Alors :

la valeur moyenne de la dent de scie sur une période du régime stationnaire vaut exactement $\frac{D}{k}$ , c'est-à-dire le plateau de la perfusion ;
l'écart au plateau décroît, dans les deux modèles, comme $e^{- k t}$ : le protocole ne change pas la vitesse d'installation ;
quand $h$ tend vers $0$ à dose journalière constante, le pic et le creux tendent tous deux vers $\frac{D}{k}$ .

Démonstration

(1) En régime stationnaire, sur une période $[0; h]$ comptée à partir d'une prise, la quantité vaut $u (t) = c e^{- k t}$ . Sa valeur moyenne (chapitre 7) est

$\frac{1}{h} \int_{0}^{h} c e^{- k t} d t = \frac{c}{h} [\frac{e ^{- k t}}{- k}]_{0}^{h} = \frac{c}{h} \times \frac{1 - e ^{- k h}}{k} = \frac{Q}{h k} = \frac{D h}{h k} = \frac{D}{k},$

en utilisant $c (1 - e^{- k h}) = Q$ puis $Q = D h$ .

(2) Pour la suite, $u_{n} - c = (u_{0} - c) q^{n}$ avec $q = e^{- k h}$ , donc

$u_{n} - c = (u_{0} - c) e^{- k (nh)} = (u_{0} - c) e^{- k t_{n}} .$

Pour la fonction, $y (t) - \frac{D}{k} = (y (0) - \frac{D}{k}) e^{- k t}$ . C'est la même exponentielle.

(3) Le pic vaut $\frac{D h}{1 - e ^{- k h}}$ . Or $e^{- k h} \approx 1 - k h$ quand $h$ est petit, donc $1 - e^{- k h} \approx k h$ et le pic est proche de $\frac{D h}{k h} = \frac{D}{k}$ . Le creux, qui n'en diffère que de $Q = D h$ , tend vers la même valeur. Ce dernier point utilise l'approximation affine de l'exponentielle et n'est pas une démonstration au sens strict ; on l'admet.

!Le réflexe

Retenir la figure sous cette forme : le protocole choisit l'amplitude, jamais la vitesse ni la moyenne. Diviser l'intervalle entre deux prises par $2$ divise l'amplitude par $2$ , sans rien changer ni au temps d'installation ni à la quantité totale reçue. C'est exactement ce que fait la pratique clinique quand elle passe de trois à six prises par jour.

!Attention

Confondre le pic du modèle discret et le plateau du modèle continu est l'erreur la plus coûteuse de ce thème. Ici le pic vaut $726$ mg et le plateau $500$ mg : un rapport de $1, 45$ . Sur un médicament à marge étroite, c'est la différence entre un traitement et un empoisonnement. Le point fixe $\frac{Q}{1 - q}$ répond à la question « combien juste après la prise ? », et à aucune autre.

12.3 Le pont : la méthode d'Euler fabrique un modèle discret

Les deux paragraphes précédents traduisaient une équation en suite exactement, mais à condition de savoir résoudre l'équation. La méthode d'Euler (chapitre 6) fait la même chose sans jamais résoudre — et c'est pour cela qu'elle est précieuse. Elle ne fournit donc pas la même suite. Voyons laquelle.

Proposition 12.6Euler fabrique une suite arithmético-géométrique

Appliquée à l'équation $y^{'} = a y + b$ avec le pas $h$ , la méthode d'Euler produit la suite

$y_{n + 1} = y_{n} + h (a y_{n} + b) = raison (1 + ah) y_{n} + apport h b .$

C'est une suite arithmético-géométrique de raison $A = 1 + ah$ , dont le point fixe vaut

$\frac{hb}{1 - ( 1 + ah )} = \frac{hb}{- ah} = - \frac{b}{a} :$

exactement l'équilibre de l'équation différentielle, quel que soit le pas.

Autrement dit, Euler ne se trompe jamais sur l'état d'équilibre. Ce qu'elle remplace, c'est la raison : le passage exact du paragraphe 1 donnait $q = e^{ah}$ , Euler écrit $1 + ah$ — la tangente de l'exponentielle en $0$ .

iRemarqueDans quel sens Euler se trompe

La fonction exponentielle est convexe (chapitre 5), donc sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes ; en particulier, pour tout réel $x$ ,

$e^{x} \geq 1 + x .$

La raison d'Euler est donc toujours inférieure ou égale à la raison exacte. Pour $a < 0$ , cela signifie qu'Euler fait décroître l'écart à l'équilibre plus vite que la réalité : la ligne brisée rejoint le plateau trop tôt. L'erreur n'est pas due au hasard, elle a un signe.

◆Théorème 12.7Le pas critique

Soit $k > 0$ . Pour l'équation $y^{'} = - k y + b$ , la suite d'Euler de pas $h$ converge vers l'équilibre $\frac{b}{k}$ si et seulement si

$∣1 - k h ∣ < 1, c’est- a ˋ -dire 0 < h < \frac{2}{k} .$

Plus précisément, en posant $A = 1 - k h$ :

si $0 < h < \frac{1}{k}$ , alors $0 < A < 1$ : montée (ou descente) régulière ;
si $\frac{1}{k} < h < \frac{2}{k}$ , alors $- 1 < A < 0$ : la suite oscille autour de l'équilibre en s'en rapprochant — ce que la solution exacte ne fait jamais ;
si $h > \frac{2}{k}$ , alors $∣ A ∣ > 1$ : la suite diverge, en oscillant de plus en plus fort.

Démonstration

Posons $v_{n} = y_{n} - \frac{b}{k}$ l'écart à l'équilibre. Comme $\frac{b}{k}$ est le point fixe, la méthode du chapitre 1 donne $v_{n + 1} = A v_{n}$ , donc $v_{n} = v_{0} A^{n}$ et $∣ v_{n} ∣ = ∣ v_{0} ∣ \times ∣ A ∣^{n}$ .

La suite $(∣ A ∣^{n})$ est géométrique de raison positive $∣ A ∣$ : le chapitre 1 s'applique. Elle tend vers $0$ si $∣ A ∣ < 1$ , vaut constamment $∣ v_{0} ∣$ si $∣ A ∣ = 1$ , et tend vers $+ \infty$ si $∣ A ∣ > 1$ . Donc $v_{n} \to 0$ — c'est-à-dire $y_{n} \to \frac{b}{k}$ — si et seulement si $∣ A ∣ < 1$ .

Enfin

$∣1 - k h ∣ < 1 ⟺ - 1 < 1 - k h < 1 ⟺ 0 < k h < 2 ⟺ 0 < h < \frac{2}{k},$

et le signe de $A = 1 - k h$ change en $h = \frac{1}{k}$ .

!Attention

Le chapitre 6 avertissait qu'« un pas trop grand ne donne pas une réponse un peu fausse, mais une réponse qualitativement fausse ». On sait maintenant pourquoi, et à partir de quand : la raison de la suite auxiliaire sort de l'intervalle $] - 1; 1 [$ . Le calcul, lui, ne s'arrête pas et ne prévient pas ; il produit des concentrations négatives et des températures inférieures à celle de la pièce. Le seul garde-fou reste de diviser le pas jusqu'à ce que le résultat cesse de bouger.

Le programme demande d'écrire cet algorithme et de le faire tourner. On l'écrit de manière modulaire, puis on met les deux raisons face à face.


from math import exp

def euler(f, t0, y0, h, n):
    """Approche la solution de y' = f(t, y) partant de y(t0) = y0."""
    t, y = t0, y0
    for _ in range(n):
        y = y + h * f(t, y)
        t = t + h
    return y

# Perfusion : y' = -0,1 y + 50, y(0) = 0, plateau 500. Valeur cherchee en t = 40 h.
perfusion = lambda t, y: -0.1 * y + 50
exacte = 500 * (1 - exp(-0.1 * 40))

for h in (2, 10, 15, 22):
    n = round(40 / h)
    print(h, round(1 - 0.1 * h, 3), round(euler(perfusion, 0, 0, h, n), 2))
# 2   raison  0.8   -> 494.24   (au-dessus de la valeur exacte, comme toujours)
# 10  raison  0.0   -> 500.0    (le pas tombe pile sur le point fixe : un hasard)
# 15  raison -0.5   -> 562.5    (au-dessus du plateau : la suite oscille)
# 22  raison -1.2   -> -220.0   (une concentration negative : la suite diverge)
print(round(exacte, 2))   # 490.84

iRemarque

Le pas $h = 10$ mérite un mot : la raison $1 - 0, 1 \times 10$ vaut $0$ , et la suite d'Euler atteint le plateau dès le premier pas, exactement. Ce n'est pas une précision, c'est une coïncidence arithmétique : la ligne brisée est fausse partout ailleurs. Une méthode numérique qui donne la bonne réponse pour la mauvaise raison reste une méthode numérique fausse.

12.4 Choisir : c'est la situation qui tranche

Rien, dans les mathématiques, n'impose l'un des deux modèles. C'est le phénomène qui tranche, et la question à se poser est toujours la même : l'événement qui fait changer la grandeur se produit-il à des instants séparés, ou en flux ?

$Situation M e ˊ dicament Radioactivit e ˊ Population E ˊ pid e ˊ mie Capital Air d’une pi e ˋ ce Ce qui est discret les prises rien (les relev e ˊ s seulement) les g e ˊ n e ˊ rations, les recensements les vagues de contamination les versements d’int e ˊ r e ˆ ts les a e ˊ rations a ˋ l’intercours Ce qui est continu l’ e ˊ limination, la perfusion la d e ˊ sint e ˊ gration naissances et d e ˊ c e ˋ s e ˊ tal e ˊ s le comptage quotidien la capitalisation continue la ventilation m e ˊ canique$

Le capital placé est le cas où la question se pose le plus nettement, parce que les deux protocoles existent vraiment et que les banques ont dû se donner un vocabulaire pour les distinguer.

Exemple 12.8Trois façons de placer dix mille euros

Au taux nominal de $6 %$ par an :

intérêts versés une fois par an : $C_{n} = 10000 \times 1, 0 6^{n}$ , soit $17908, 48$ € au bout de dix ans ;
versés chaque mois au taux $\frac{6 %}{12}$ : $10000 \times 1, 00 5^{120} \approx 18193, 97$ € ;
capitalisation continue, $C^{'} = 0, 06 C$ : $10000 e^{0, 6} \approx 18221, 19$ €

Les facteurs annuels correspondants sont $1, 0600$ , puis $1, 00 5^{12} \approx 1, 0617$ , puis $e^{0, 06} \approx 1, 0618$ . Ils montent quand la capitalisation se resserre, mais ils ne montent pas indéfiniment.

iRemarqueTrois taux, trois noms

Le vocabulaire bancaire est exactement le dictionnaire du paragraphe 1.

Le taux nominal $r$ est celui qu'on annonce.
Le taux annuel effectif est $q - 1$ , où $q$ est le vrai facteur d'une année : pour une capitalisation continue, $e^{r} - 1$ , soit $6, 18 %$ ici.
Le taux instantané $λ$ équivalent à un taux annuel effectif $r$ est $λ = ln (1 + r)$ , soit $ln 1, 06 \approx 5, 83 %$ pour $6 %$ par an.

Passer d'un taux à l'autre, c'est passer de $q$ à $ln q$ : le chapitre 3, et rien d'autre.

12.5 Bilan

Proposition 12.9L'essentiel du thème

Le dictionnaire est exact. Une suite géométrique de raison $q > 0$ et une exponentielle $e^{a t}$ décrivent la même évolution dès que $q = e^{ah}$ , où $h$ est le pas d'observation. Avec un apport, $u_{n + 1} = q u_{n} + b$ correspond à $y^{'} = a y + β$ pourvu que $b = \frac{β}{a} (e^{ah} - 1)$ ; les deux modèles ont alors le même équilibre.
Un taux « par période » n'est pas un taux instantané : ils sont liés par $q = e^{- k}$ , donc $k = - ln q$ . Les confondre est l'erreur type du thème.
Doses répétées contre flux continu. À dose journalière égale, la moyenne de la dent de scie est le plateau du modèle continu, l'écart au plateau décroît selon le même $e^{- k t}$ , et l'amplitude vaut exactement la dose. Le protocole choisit l'amplitude, jamais la moyenne ni la vitesse.
La méthode d'Euler fabrique une suite arithmético-géométrique de raison $1 + ah$ et de point fixe $- \frac{b}{a}$ . Elle ne se trompe jamais sur l'équilibre, toujours sur la raison — et par convexité de l'exponentielle, toujours dans le même sens.
Le critère de convergence des suites géométriques est le critère de stabilité d'Euler : la méthode ne converge que si $∣1 + ah ∣ < 1$ . Au-delà, elle rend des nombres qui ne veulent rien dire.
Le choix du modèle n'est pas mathématique. Il dépend de la question : les événements se produisent-ils à des instants séparés (prises, versements, générations) ou en flux (élimination, ventilation, capitalisation continue) ?

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