Thème 2 — Modèles d'évolution

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Les modèles démographiques : une croissance exponentielle et un modèle logistique, limité par les ressources.

Un service hospitalier doit trancher. Le même antibiotique peut être donné de deux façons : trois injections dans la journée, ou une perfusion continue au goutte-à-goutte. La dose journalière sera la même dans les deux cas. Est-ce, pour autant, la même chose pour le patient ?

La question n'est pas rhétorique, et elle est mathématique. La première situation se décrit par une suite : on note la quantité présente juste après chaque injection, et l'on passe d'un terme au suivant. La seconde se décrit par une fonction du temps, solution d'une équation différentielle. Deux langages, deux chapitres de ce livre — et une question : que se disent-ils l'un à l'autre ?

Le programme formule ainsi ce thème : « phénomènes dépendant du temps, modélisés par des suites ou par des fonctions. Mise en regard des modèles discrets et continus. » Il n'y a donc ici aucune notion nouvelle à apprendre. Il y a des outils déjà installés, séparément, à faire travailler ensemble sur une même situation.

iRemarqueCe que ce thème mobilise

Chapitre 1 — suites géométriques, suites arithmético-géométriques, point fixe, comportement quand $n$ devient grand. C'est le langage du discret.
Chapitre 6 — équations $y^{'} = a y$ et $y^{'} = a y + b$ , solution constante, méthode d'Euler. C'est le langage du continu, et Euler est le pont entre les deux.
Chapitre 3 — le logarithme, qui traduit un facteur multiplicatif en durée : demi-vie, temps de doublement, taux équivalents.
Chapitre 7 — la valeur moyenne d'une fonction, qui permettra de comparer honnêtement deux protocoles.
Chapitres 4 et 5 — dériver une exponentielle composée, et lire une convexité pour comprendre dans quel sens la méthode d'Euler se trompe.
Chapitre 10 — l'ajustement affine après changement de variable, pour remonter de relevés expérimentaux au coefficient du modèle.

Problématique. Une même évolution peut-elle se décrire indifféremment par une suite ou par une équation différentielle ? Quand les deux descriptions coïncident-elles exactement, quand décrochent-elles, et que fabrique au juste la méthode d'Euler lorsqu'elle passe de l'une à l'autre ?

12.1 Une même évolution, deux langages

12.1.1 Le dictionnaire

Prenons la plus simple des évolutions : une grandeur dont il disparaît, par unité de temps, une proportion fixe de ce qui reste. C'est la décroissance radioactive, l'élimination d'un médicament, le refroidissement d'un corps, le renouvellement de l'air d'une pièce. Le chapitre 1 la décrit par une suite géométrique ; le chapitre 6, par l'équation $y^{'} = a y$ . Le lien entre les deux est exact, et c'est le point de départ de tout ce thème.

Proposition 12.1Passage exact, sans apport

Soit $y$ la solution de $y^{'} = a y$ telle que $y (0) = y_{0}$ , c'est-à-dire $y (t) = y_{0} e^{a t}$ . Fixons un pas de temps $h > 0$ et posons $u_{n} = y (nh)$ : ce sont les valeurs de $y$ relevées toutes les $h$ unités de temps. Alors $(u_{n})$ est géométrique de raison

$q = e^{ah} .$

Réciproquement, une suite géométrique de premier terme $u_{0}$ et de raison $q > 0$ est exactement la restriction aux instants $nh$ de la fonction $t \mapsto u_{0} e^{a t}$ , où $a = \frac{ln q}{h}$ .

Démonstration

Pour tout $n$ ,

$u_{n + 1} = y ((n + 1) h) = y_{0} e^{a (nh + h)} = y_{0} e^{anh} \times e^{ah} = u_{n} \times e^{ah} .$

Le facteur $e^{ah}$ ne dépend pas de $n$ : la suite est bien géométrique, de raison $q = e^{ah}$ . Pour la réciproque, il s'agit de résoudre $e^{ah} = q$ , ce qui est possible parce que $q$ est strictement positif : on prend le logarithme (chapitre 3), d'où $ah = ln q$ .

Dès qu'un apport régulier s'ajoute — une prise de médicament, un versement, des occupants qui respirent, une rivière qui alimente un lac —, la même traduction existe, et elle est tout aussi exacte.

Proposition 12.2Passage exact, avec apport

Soit $y$ une solution de $y^{'} = a y + β$ avec $a \neq = 0$ , et $u_{n} = y (nh)$ . Alors $(u_{n})$ est arithmético-géométrique :

$u_{n + 1} = q u_{n} + b, avec q = e^{ah} et b = \frac{β}{a} (e^{ah} - 1) .$

De plus les deux modèles ont le même équilibre : le point fixe $\frac{b}{1 - q}$ de la suite vaut $- \frac{β}{a}$ , la solution constante de l'équation différentielle.

Démonstration

D'après le chapitre 6, $y (t) = C e^{a t} - \frac{β}{a}$ . Donc

$y (t + h) = C e^{a t} e^{ah} - \frac{β}{a} = e^{ah} (y (t) + \frac{β}{a}) - \frac{β}{a} = e^{ah} y (t) + \frac{β}{a} (e^{ah} - 1),$

ce qui est bien la relation annoncée, prise en $t = nh$ . Quant au point fixe,

$\frac{b}{1 - q} = \frac{\frac{β}{a} ( e ^{ah} - 1 )}{1 - e ^{ah}} = \frac{β}{a} \times \frac{e ^{ah} - 1}{- ( e ^{ah} - 1 )} = - \frac{β}{a} .$

!Le réflexe

Un modèle discret et un modèle continu ne diffèrent pas par leur difficulté : ils diffèrent par ce qu'ils prétendent décrire. Le discret ne dit rien entre deux observations ; le continu prétend tout dire, à chaque instant. Avant de choisir, il faut donc savoir si le phénomène étudié se produit vraiment par à-coups (des prises, des versements, des générations) ou vraiment en flux (une élimination, un refroidissement, une ventilation).

12.1.2 Quand les deux descriptions coïncident, et quand elles décrochent

Exemple 12.3L'iode 131, ou la coïncidence parfaite

L'iode 131, utilisé en médecine nucléaire, a une demi-vie de 8 jours. Un échantillon d'activité initiale $400$ MBq est décrit par $A^{'} = - k A$ avec $e^{- 8 k} = \frac{1}{2}$ , soit $k = \frac{ln 2}{8} \approx 0, 0866$ par jour, et

$A (t) = 400 e^{- k t} .$

Les relevés quotidiens forment la suite $A_{n} = A (n) = 400 q^{n}$ avec $q = e^{- k} = 2^{- 1/8} \approx 0, 9170$ : chaque jour, $8, 30 %$ de l'activité disparaît. Les deux modèles ne peuvent pas se contredire, puisque l'un est l'autre lu aux instants entiers. Et l'on retrouve bien $A (8) = 200$ , $A (16) = 100$ , $A (24) = 50$ .

Exercices du chapitre

Doses répétées ou perfusion, le même plateau ? corrigé
La méthode d'Euler relit le chapitre 1 corrigé
Le pas critique corrigé
Problème — Le dioxyde de carbone d'une salle de classe corrigé
Une décroissance, deux écritures corrigé
Le thermomètre relevé toutes les cinq minutes corrigé

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