Thème 3 — Approche historique de la fonction logarithme

Le chapitre 3 s'ouvrait sur deux lignes écrites l'une au-dessus de l'autre : les puissances de $2$, et leurs exposants. On y voyait $8\times 16$ se transformer en $3+4$. C'était un jouet, et il faut le dire : cette table ne sait multiplier que des puissances de $2$. Entre $16$ et $32$, il n'y a rien. Or les astronomes du XVI^e siècle ne multipliaient pas des puissances de $2$ : ils multipliaient des nombres à sept chiffres, tirés de tables de sinus, et ils le faisaient des centaines de fois par calcul.

Ce thème est l'histoire du passage du jouet à l'instrument. Elle court sur cent cinquante ans, de $1614$ à $1748$, et elle réserve une surprise : au bout du chemin, le logarithme des calculateurs — celui qui épargne des heures de multiplication — se révèle être exactement le même objet que le logarithme des géomètres, apparu de son côté comme une aire sous une hyperbole. Cette rencontre est le point culminant du thème, et elle mobilise l'intégration du chapitre 7.

Problématique. Comment fabrique-t-on une table de logarithmes quand on n'a pas de logarithmes ? Et pourquoi la fonction obtenue est-elle exactement l'aire sous la courbe de $\frac{1}{x}$ ?

Chapitres mobilisés. Suites géométriques (chapitre 1), limites et dichotomie (chapitre 2), équation fonctionnelle du logarithme (chapitre 3), dérivation d'une composée et « dérivée nulle sur un intervalle » (chapitre 4), convexité (chapitre 5), primitives (chapitre 6), intégrale comme aire et méthode des rectangles (chapitre 7), ajustement affine après changement de variable (chapitre 10).

13.1 Le problème : multiplier au XVI^e siècle

13.1.1 Sept chiffres, à la main

Un astronome qui veut prévoir la position d'une planète, ou un navigateur qui veut déterminer sa longitude, manipulent des tables trigonométriques. Au XVI^e siècle, ces tables donnent les sinus avec sept ou huit chiffres significatifs — non pas par coquetterie, mais parce qu'une erreur sur la sixième décimale d'un sinus se traduit, après propagation, par plusieurs kilomètres d'erreur sur une position.

Multiplier deux nombres de sept chiffres à la main, c'est effectuer $49$ produits de chiffres, puis les additionner en colonnes en gérant les retenues. Une division en demande davantage. Une racine carrée, davantage encore. Le calcul d'une seule éphéméride en réclame des centaines. Le goulot d'étranglement de l'astronomie de cette époque n'est pas l'observation : c'est l'arithmétique.

13.1.2 Une première ruse : la prosthaphérèse

Avant les logarithmes, les astronomes disposaient déjà d'un procédé pour remplacer un produit par une somme. Il s'appuie sur les formules d'addition de la trigonométrie, et porte le nom savant de prosthaphérèse — du grec, « addition-soustraction ». Il aurait été mis au point vers $1580$ dans l'entourage de l'astronome danois Tycho Brahe, et il était employé en Europe à la fin du siècle.

13.2 Napier (1614) : mettre les deux progressions en mouvement

13.2.1 La construction cinématique

John Napier ($1550$–$1617$), baron de Merchiston, en Écosse, publie à Édimbourg en $1614$ un ouvrage au titre modeste : Mirifici logarithmorum canonis descriptio, « description de l'admirable règle des logarithmes ». Le mot logarithme est de lui : il le forme sur les mots grecs logos (rapport) et arithmos (nombre) — le « nombre du rapport ». On lui prête une vingtaine d'années de calculs pour y parvenir.

Le tableau du chapitre 3 mettait en regard deux progressions, l'une géométrique, l'autre arithmétique. Son défaut est d'être discret : entre deux colonnes, il n'y a rien. L'idée de Napier est d'une simplicité déconcertante : faire bouger les deux progressions. Un point qui se déplace passe par toutes les positions intermédiaires ; il n'y a plus de trous.

13.2.2 Ce que ce logarithme sait faire, et ce qu'il ne sait pas faire

Démonstration

Par l'équation fonctionnelle du chapitre 3,

$$L(a)-L(b)=10^7\left[\ln \left(\frac{10^7}{a}\right)-\ln \left(\frac{10^7}{b}\right)\right]=10^7\ln \left(\frac{10^7}{a}\times \frac{b}{10^7}\right)=10^7\ln \left(\frac{b}{a}\right).$$

Si $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, les deux différences valent le même nombre.

C'est exactement ce dont le navigateur a besoin : toute la trigonométrie sphérique se ramène à des règles de trois, c'est-à-dire à des égalités de rapports. Napier a donc construit l'outil de son époque, pas le nôtre.

13.3 Briggs : la base dix, et la fabrication d'une table

13.3.1 La visite de 1615

Henry Briggs ($1561$–$1630$), professeur de géométrie au Gresham College de Londres, lit la Descriptio et en mesure aussitôt la portée. Il se rend à Édimbourg en $1615$, puis de nouveau en $1616$. De ces rencontres sort une décision commune : changer les conventions. Le logarithme de $1$ vaudra $0$, celui de $10$ vaudra $1$, et la fonction sera croissante. C'est le logarithme décimal, que nous notons $\log$ :

$$\log x=\frac{\ln x}{\ln 10}.$$

Une table n'a donc besoin de contenir que les mantisses des nombres compris entre $1$ et $10$ : les mêmes lignes servent pour $3,92$, pour $39,2$, pour $3920$ et pour $0,00392$. En base népérienne, la même économie n'existe pas : multiplier par $1000$ ajoute $\ln 1000=6,907755\dots$, un nombre qu'aucune tête ne retient. La base dix n'est pas une élégance, c'est une nécessité pratique.

13.3.2 Fabriquer une table quand on n'a pas de logarithmes

Voici le vrai problème, celui que l'on oublie toujours. Briggs veut écrire $\log 2$ ; il n'a ni calculatrice, ni série, ni fonction exponentielle — rien de ce qui sert aujourd'hui. Il n'a qu'une opération à sa disposition : l'extraction de racine carrée, qu'on sait faire à la main depuis l'Antiquité.

from math import sqrt, log10

def log_briggs(x, n):
    # Encadre log10(x) pour 1 <= x <= 10, avec n extractions de racine carree.
    g, d = 0.0, 1.0          # encadrement des exposants
    vg, vd = 1.0, 10.0       # valeurs correspondantes : 10**g et 10**d
    for _ in range(n):
        t = (g + d) / 2
        v = sqrt(vg * vd)    # = 10**t, obtenu par UNE racine carree
        if v > x:
            d, vd = t, v
        else:
            g, vg = t, v
    return (g, d)

for n in [3, 6, 10, 20]:
    g, d = log_briggs(2, n)
    print(n, round(g, 8), round(d, 8))
print("log 2 =", log10(2))

3 0.25 0.375
6 0.296875 0.3125
10 0.30078125 0.30175781
20 0.30102921 0.30103016
log 2 = 0.3010299956639812

Vingt racines carrées suffisent pour six décimales. Briggs en a fait bien davantage : sa Logarithmorum chilias prima ($1617$) donne les logarithmes de $1$ à $1000$ avec quatorze décimales, et son Arithmetica logarithmica ($1624$) ceux de $1$ à $20000$ et de $90000$ à $100000$, toujours à quatorze décimales — trente mille nombres. Le Hollandais Adriaan Vlacq comble en $1628$ la tranche manquante, à dix décimales : la table des cent mille logarithmes est complète, et elle servira de source à presque toutes celles des trois siècles suivants.

13.3.3 Un nombre qui sort de nulle part

Briggs emploie aussi un second procédé, plus rapide. Il extrait des racines carrées de $10$ encore et encore, et regarde ce que devient le résultat.

from math import sqrt, log

x = 10.0
for k in range(1, 12):
    x = sqrt(x)
    print(k, round(x, 12), round((x - 1) * 2**k, 9))
print("ln 10 =", log(10))

1 3.162277660168 4.32455532
2 1.778279410039 3.11311764
3 1.333521432163 2.668171457
4 1.154781984689 2.476511755
5 1.074607828321 2.387450506
6 1.036632928438 2.34450742
7 1.018151721718 2.32342038
8 1.009035044841 2.312971479
9 1.004507364254 2.307770498
10 1.002251148293 2.305175852
11 1.0011249414 2.303879987
ln 10 = 2.302585092994046

À force de racines, $10^{1/2^k}$ se rapproche de $1$, et l'écart $10^{1/2^k}-1$, multiplié par $2^k$, se stabilise — sur $\ln 10=2,302585\dots$, que Briggs ne pouvait pas nommer. Poussant l'opération jusqu'à cinquante-quatre racines carrées successives, il obtient

$$10^{1/2^{54}}-1=0,0000000000000001278191493\dots$$

et, en divisant $\frac{1}{2^{54}}$ par ce nombre,

$$0,4342944819\dots$$

13.4 Se servir d'une table

13.4.1 Caractéristique et mantisse

Une table de logarithmes est un objet d'une extrême densité : quelques dizaines de pages de chiffres serrés, sans un mot. On y lit la mantisse ; la caractéristique, elle, ne s'écrit nulle part — c'est à l'utilisateur de la fournir, à partir de l'ordre de grandeur du nombre.

13.5 La règle à calcul : le logarithme devenu longueur

Si l'on trace, sur une règle, chaque nombre à l'abscisse de son logarithme, additionner deux logarithmes revient à mettre bout à bout deux longueurs. Il n'y a plus rien à lire ni à écrire : il suffit de faire glisser.

L'Anglais Edmund Gunter trace une telle échelle en $1620$ — on l'utilisait avec un compas, en reportant les longueurs. Vers $1622$, William Oughtred en accole deux, dont l'une coulisse : la règle à calcul est née.

13.6 L'autre logarithme : l'aire sous l'hyperbole

Nous quittons un instant les calculateurs pour les géomètres. Au milieu du XVII^e siècle, une question occupe les mathématiciens : quelle est l'aire comprise entre la courbe d'équation $y=\frac{1}{x}$, l'axe des abscisses et deux verticales ? Les paraboles $y=x^2$, $y=x^3$ étaient traitées ; l'hyperbole résistait. Personne, à ce moment, ne songe aux logarithmes : ce sont deux mondes séparés.

13.6.1 Le théorème de Grégoire de Saint-Vincent

Le jésuite flamand Grégoire de Saint-Vincent publie en $1647$, à Anvers, un énorme Opus geometricum où figure le résultat suivant.

Démonstration ((accessible avec les chapitres 4 et 7))

Fixons $a>0$ et posons, pour $x>0$,

$$g(x)=A(ax)-A(x).$$

D'après le théorème fondamental du chapitre 7, $A$ est dérivable sur $]0;+\infty [$ et $A^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$. La fonction $x\mapsto A(ax)$ est de la forme $f(ax)$, donc sa dérivée vaut $a{A}^{\prime }(ax)$ (chapitre 4). Ainsi

$$g^{\prime }(x)=a\times \frac{1}{ax}-\frac{1}{x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x}=0.$$

La dérivée de $g$ est nulle sur l'intervalle $]0;+\infty [$ : $g$ y est donc constante (résultat admis au chapitre 4). Sa valeur constante se lit en $x=1$ :

$$g(1)=A(a)-A(1)=A(a)-0=A(a).$$

Donc $A(ax)-A(x)=A(a)$ pour tout $x>0$, ce qui est le résultat annoncé.

Démonstration

Par la relation de Chasles (chapitre 7), ${\int }_a^b\frac{\mathrm{d}t}{t}=A(b)-A(a)$. En appliquant le théorème avec $x=\frac{b}{a}$, on a $A(b)=A\left(a\times \frac{b}{a}\right)=A(a)+A\left(\frac{b}{a}\right)$, d'où le résultat.

13.6.2 La rencontre

Un élève de Grégoire de Saint-Vincent, le jésuite Alphonse Antoine de Sarasa, tire en $1649$ la conclusion que son maître n'avait pas formulée : une fonction qui transforme les produits en sommes, c'est un logarithme. Les aires sous l'hyperbole sont des logarithmes.

La portée de cette remarque est considérable. D'un côté, une technique de calcul née d'un besoin d'astronomes et fabriquée à coups de racines carrées. De l'autre, une question de géométrie pure sur une conique. Les deux objets n'ont, à première vue, rien à voir — et ce sont les mêmes.

Démonstration

La fonction $\ln$ vérifie elle aussi $\ln 1=0$, et sa dérivée est $\frac{1}{x}$ (chapitre 3). La différence $A-\ln$ a donc une dérivée nulle sur l'intervalle $]0;+\infty [$ : elle y est constante, et cette constante vaut $A(1)-\ln 1=0$. Donc $A=\ln$. La seconde égalité s'obtient en divisant par $A(10)=\ln 10$.

13.6.3 Euler, ou l'histoire remise à l'envers

Restait à mettre tout cela en ordre. Nicolaus Mercator publie en $1668$ une Logarithmotechnia où il calcule ces aires par un développement en somme infinie — c'est là, semble-t-il, qu'apparaît l'expression logarithme naturel. Puis Leonhard Euler, dans son Introductio in analysin infinitorum ($1748$), opère le renversement décisif : il place la fonction exponentielle au départ, introduit la notation $e$, et définit le logarithme comme sa fonction réciproque.

13.7 Ce qui a disparu, ce qui reste

13.7.1 La fin des tables

Pendant trois siècles et demi, tout calcul un peu sérieux passe par une table ou par une règle. En France, les tables de logarithmes à cinq décimales sont dans tous les cartables de lycée jusqu'aux années $1970$. Puis, en quelques années, tout s'arrête : la première calculatrice scientifique de poche, la HP-35, sort en $1972$ ; les derniers fabricants de règles à calcul cessent leur production au milieu de la décennie ; une circulaire de $1986$ fixe en France les conditions d'emploi des calculatrices dans les examens et concours. Une technique vieille de trois cent cinquante ans disparaît en une génération.

13.7.2 Ce qui reste

Ce qui a disparu, c'est le logarithme comme procédé de calcul. Ce qui reste, et qui n'a fait que croître, c'est le logarithme comme échelle : la façon dont on regarde des grandeurs qui varient sur plusieurs ordres de grandeur.

• Le pH d'une solution, la magnitude d'un séisme, le décibel, la magnitude apparente des étoiles : autant d'échelles logarithmiques, où ajouter une unité revient à multiplier la grandeur physique par un facteur fixe. Le chapitre 3 en a traité plusieurs.
• L'octave en musique : une octave, c'est un doublement de fréquence, et le clavier est une règle à calcul que l'on joue.
• Le papier logarithmique : porter $\log y$ contre $\log x$ redresse une loi puissance en une droite, dont la pente est l'exposant. C'est l'ajustement après changement de variable du chapitre 10, et c'est l'outil de travail de toute la biologie et de toute l'économie quantitatives.

13.8 Bilan