Thème 3 — Approche historique de la fonction logarithme

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Les courbes de l'exponentielle et du logarithme népérien, symétriques par rapport à la droite y = x.

Le chapitre 3 s'ouvrait sur deux lignes écrites l'une au-dessus de l'autre : les puissances de $2$ , et leurs exposants. On y voyait $8 \times 16$ se transformer en $3 + 4$ . C'était un jouet, et il faut le dire : cette table ne sait multiplier que des puissances de $2$ . Entre $16$ et $32$ , il n'y a rien. Or les astronomes du XVI^e siècle ne multipliaient pas des puissances de $2$ : ils multipliaient des nombres à sept chiffres, tirés de tables de sinus, et ils le faisaient des centaines de fois par calcul.

Ce thème est l'histoire du passage du jouet à l'instrument. Elle court sur cent cinquante ans, de $1614$ à $1748$ , et elle réserve une surprise : au bout du chemin, le logarithme des calculateurs — celui qui épargne des heures de multiplication — se révèle être exactement le même objet que le logarithme des géomètres, apparu de son côté comme une aire sous une hyperbole. Cette rencontre est le point culminant du thème, et elle mobilise l'intégration du chapitre 7.

Problématique. Comment fabrique-t-on une table de logarithmes quand on n'a pas de logarithmes ? Et pourquoi la fonction obtenue est-elle exactement l'aire sous la courbe de $\frac{1}{x}$ ?

Chapitres mobilisés. Suites géométriques (chapitre 1), limites et dichotomie (chapitre 2), équation fonctionnelle du logarithme (chapitre 3), dérivation d'une composée et « dérivée nulle sur un intervalle » (chapitre 4), convexité (chapitre 5), primitives (chapitre 6), intégrale comme aire et méthode des rectangles (chapitre 7), ajustement affine après changement de variable (chapitre 10).

13.1 Le problème : multiplier au XVI^e siècle

13.1.1 Sept chiffres, à la main

Un astronome qui veut prévoir la position d'une planète, ou un navigateur qui veut déterminer sa longitude, manipulent des tables trigonométriques. Au XVI^e siècle, ces tables donnent les sinus avec sept ou huit chiffres significatifs — non pas par coquetterie, mais parce qu'une erreur sur la sixième décimale d'un sinus se traduit, après propagation, par plusieurs kilomètres d'erreur sur une position.

Multiplier deux nombres de sept chiffres à la main, c'est effectuer $49$ produits de chiffres, puis les additionner en colonnes en gérant les retenues. Une division en demande davantage. Une racine carrée, davantage encore. Le calcul d'une seule éphéméride en réclame des centaines. Le goulot d'étranglement de l'astronomie de cette époque n'est pas l'observation : c'est l'arithmétique.

iRemarque

Laplace résumera l'affaire d'une formule restée célèbre : l'invention des logarithmes, en réduisant à quelques jours le travail de plusieurs mois, « double, si l'on peut ainsi dire, la vie des astronomes ». La phrase n'est pas une figure de style. Kepler a mis plus de vingt ans à établir les Tables rudolphines ( $1627$ ) ; il s'est servi des logarithmes de Briggs pour les achever, et a publié en $1624$ sa propre table, construite sur une base purement géométrique.

13.1.2 Une première ruse : la prosthaphérèse

Avant les logarithmes, les astronomes disposaient déjà d'un procédé pour remplacer un produit par une somme. Il s'appuie sur les formules d'addition de la trigonométrie, et porte le nom savant de prosthaphérèse — du grec, « addition-soustraction ». Il aurait été mis au point vers $1580$ dans l'entourage de l'astronome danois Tycho Brahe, et il était employé en Europe à la fin du siècle.

Exemple 13.1Multiplier deux sinus sans multiplier

En additionnant les deux formules connues

$cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b, cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b,$

on obtient, en les soustrayant cette fois,

$sin a sin b = \frac{cos ( a - b ) - cos ( a + b )}{2} .$

Le membre de gauche est un produit ; celui de droite ne contient que des lectures de table, une soustraction et une division par $2$ . Le produit a disparu.

!Attention

La prosthaphérèse ne traite que des nombres compris entre $- 1$ et $1$ , puisqu'il faut les lire comme des sinus ou des cosinus. Pour multiplier deux nombres quelconques, il faut d'abord les ramener dans cet intervalle en déplaçant la virgule, puis rétablir l'ordre de grandeur à la fin — une gymnastique où l'on se trompe. Surtout, le procédé ne dit rien des divisions, ni des racines, qui sont pourtant le quotidien de l'astronome. Le logarithme, lui, traitera les quatre opérations d'un coup.

13.2 Napier (1614) : mettre les deux progressions en mouvement

13.2.1 La construction cinématique

John Napier ( $1550$ – $1617$ ), baron de Merchiston, en Écosse, publie à Édimbourg en $1614$ un ouvrage au titre modeste : Mirifici logarithmorum canonis descriptio, « description de l'admirable règle des logarithmes ». Le mot logarithme est de lui : il le forme sur les mots grecs logos (rapport) et arithmos (nombre) — le « nombre du rapport ». On lui prête une vingtaine d'années de calculs pour y parvenir.

Le tableau du chapitre 3 mettait en regard deux progressions, l'une géométrique, l'autre arithmétique. Son défaut est d'être discret : entre deux colonnes, il n'y a rien. L'idée de Napier est d'une simplicité déconcertante : faire bouger les deux progressions. Un point qui se déplace passe par toutes les positions intermédiaires ; il n'y a plus de trous.

Définition 13.2Le logarithme de Napier

Napier considère deux points en mouvement.

Le premier parcourt un segment de longueur $1 0^{7}$ à une vitesse proportionnelle à la distance qu'il lui reste à parcourir : il ralentit sans cesse, et n'atteint jamais l'extrémité. On note $y$ la distance qui lui reste.
Le second parcourt une demi-droite à vitesse constante, en partant en même temps. On note $x$ la distance qu'il a parcourue.

Napier appelle $x$ le logarithme de $y$ . Avec nos notations, on admet que cette définition revient à

$L (y) = 1 0^{7} ln (\frac{1 0 ^{7}}{y}), 0 < y \leq 1 0^{7} .$

iRemarque

Le nombre $1 0^{7}$ n'est pas là par goût des grands nombres : c'est la longueur du « sinus total » des tables trigonométriques de l'époque, qui donnaient les sinus sous forme d'entiers à sept chiffres, faute de virgule décimale d'usage courant. La table de Napier donne le logarithme du sinus de chaque minute d'arc entre $0$ et $90$ degrés, soit $5400$ lignes.

13.2.2 Ce que ce logarithme sait faire, et ce qu'il ne sait pas faire

Proposition 13.3La règle de Napier

Pour tous $a$ et $b$ dans $] 0; 1 0^{7}]$ :

$L (a) - L (b) = 1 0^{7} ln (\frac{b}{a}) .$

En conséquence, si $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , alors $L (a) - L (b) = L (c) - L (d)$ : à rapports égaux, différences de logarithmes égales.

Démonstration

Par l'équation fonctionnelle du chapitre 3,

$L (a) - L (b) = 1 0^{7} [ln (\frac{1 0 ^{7}}{a}) - ln (\frac{1 0 ^{7}}{b})] = 1 0^{7} ln (\frac{1 0 ^{7}}{a} \times \frac{b}{1 0 ^{7}}) = 1 0^{7} ln (\frac{b}{a}) .$

Si $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , les deux différences valent le même nombre.

C'est exactement ce dont le navigateur a besoin : toute la trigonométrie sphérique se ramène à des règles de trois, c'est-à-dire à des égalités de rapports. Napier a donc construit l'outil de son époque, pas le nôtre.

!Attention

Le logarithme de Napier ne vérifie pas $L (ab) = L (a) + L (b)$ . Il vérifie

$L (\frac{ab}{1 0 ^{7}}) = L (a) + L (b),$

avec ce facteur $1 0^{7}$ encombrant, et il est décroissant : $L (1 0^{7}) = 0$ , et $L$ augmente quand $y$ diminue. Ce n'est donc pas notre logarithme népérien, malgré son nom. L'adjectif « népérien » est un hommage à Napier, pas une description : le logarithme népérien au sens moderne n'apparaîtra qu'un demi-siècle plus tard, et sous la plume d'autres que lui.

iRemarque

Un horloger suisse, Jost Bürgi ( $1552$ – $1632$ ), avait construit de son côté un système équivalent, vraisemblablement dès le début du siècle ; mais il ne le publia qu'en $1620$ , à Prague, six ans après Napier. L'antériorité de la publication a fait le reste.

Exercices du chapitre

Le logarithme de Napier n'est pas le nôtre corrigé
Caractéristique et mantisse corrigé
L'algorithme de Briggs corrigé
Problème — De la table à l'hyperbole corrigé
Multiplier avant les logarithmes corrigé
Se servir d'une table corrigé

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Thème 3 — Approche historique de la fonction logarithme

13.1 Le problème : multiplier au XVIe siècle

13.1.1 Sept chiffres, à la main

13.1.2 Une première ruse : la prosthaphérèse

13.2 Napier (1614) : mettre les deux progressions en mouvement

13.2.1 La construction cinématique

13.2.2 Ce que ce logarithme sait faire, et ce qu'il ne sait pas faire

Exercices du chapitre

13.1 Le problème : multiplier au XVI^e siècle