Thème 4 — Calculs d'aires

Cours complet · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 14 · terminale, option mathématiques complémentaires

Travailler ce chapitre sur Adloun Exercices corrigés de ce chapitre

Une commune possède un étang. Elle veut l'empoissonner — les fédérations de pêche raisonnent en kilogrammes par hectare —, elle doit le déclarer au fichier des plans d'eau, et elle acquitte une redevance qui dépend de sa surface. Il faut donc un nombre, et le maire pose la question la plus simple du monde : quelle est la surface de l'étang ?

Le chapitre 7 semble avoir tout dit : une aire, c'est une intégrale. Mais il a répondu à une autre question. Il savait calculer l'aire sous la courbe d'une fonction connue, et il la calculait avec une primitive. Ici il n'y a ni fonction, ni formule, ni primitive : il y a un contour, relevé au GPS, qui ne ressemble à rien de répertorié. Et pourtant l'aire existe, et il faut la mesurer.

C'est tout l'objet de ce thème. Mesurer une aire, ce n'est pas la calculer : c'est l'encadrer, l'approcher, recouper plusieurs méthodes, et — c'est le plus important — savoir de combien on se trompe. Un nombre sans sa marge d'incertitude n'est pas un résultat de mesure. Nous mesurerons donc le même étang de quatre façons indépendantes : en comptant des carreaux, en relevant des largeurs, en tirant des points au hasard, et en pesant du papier. Puis nous irons voir ailleurs ce qu'une aire sait mesurer d'autre : une énergie à stocker, un logarithme, une probabilité.

Problématique. Comment mesurer une aire quand aucune formule et aucune primitive ne s'appliquent, et comment savoir ce que vaut la mesure obtenue ?

iRemarquePlan de travail

Ce thème est prévu pour trois semaines environ.

Semaine 1 — la question et les deux méthodes « de terrain » : le quadrillage (sections 1 et 2) et le relevé de largeurs (section 3). On y réinvestit la relation de Chasles et la méthode des rectangles du chapitre 7, et la convexité du chapitre 5.
Semaine 2 — le hasard et la balance (section 4), puis la synthèse : un chiffre et sa marge (section 5). L'écart type d'une fréquence, vu au chapitre 8, y explique pourquoi la méthode de Monte-Carlo est lente.
Semaine 3 — ce que les aires mesurent ailleurs (section 6) : l'énergie, par une aire entre deux courbes (chapitres 6 et 7) ; le logarithme, par l'aire sous l'hyperbole (chapitre 3) ; la probabilité, par l'aire sous une densité (chapitre 9). Le dernier problème remonte à Archimède et à la somme d'une suite géométrique (chapitre 1).

14.1 Une aire dont aucune formule ne rend compte

14.1.1 L'étang du Vieux Moulin

L'étang mesure $200$ m de long ; un ruisseau l'alimente à l'ouest, un déversoir le vide à l'est. Le géomètre en a relevé le contour au GPS : c'est une ligne fermée, lisse, sans le moindre segment de droite.

Trois constats, et ils commandent tout ce qui suit.

L'étang tient dans un rectangle de $200 \times 120 = 24000$ m $^{2}$ , et il en occupe visiblement une bonne moitié. Un ordre de grandeur est déjà acquis : entre $10000$ et $18000$ m $^{2}$ . Toute méthode qui donnerait $3000$ ou $40000$ serait à jeter sans discussion.
Le contour n'est ni un cercle, ni un rectangle, ni un polygone : aucune formule d'aire du collège ne s'applique.
Le contour n'est pas non plus la courbe d'une fonction : au-dessus d'une même abscisse, il y a deux points, la rive nord et la rive sud. On peut cependant décrire l'étang comme la région comprise entre ces deux rives, et là, l'aire sera $\int_{0}^{200} (rive nord - rive sud) d x$ : une aire entre deux courbes, exactement comme au chapitre 7.

iRemarquePourquoi le chapitre 7 ne suffit pas

La formule $\int_{a}^{b} (f - g)$ est bien la bonne, mais elle ne sert à rien tant qu'on ne sait pas calculer l'intégrale. Or, pour ce contour, aucune primitive ne s'exprime avec les fonctions au programme. Ce n'est pas un défaut de ce contour-là : c'est le cas ordinaire. Les primitives que l'on sait écrire sont l'exception, pas la règle.

Le chapitre 7 avait déjà croisé ce mur, avec $\int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x$ . Il l'avait franchi par des rectangles, des trapèzes et du hasard. Ici nous allons faire la même chose, mais sur un objet où il n'y a même plus de fonction à évaluer — seulement une question à laquelle on sait répondre : ce point est-il dans l'étang, oui ou non ?

14.1.2 Le contour numérisé

Pour que tout ce qui suit soit reproductible, le géomètre nous livre son relevé sous forme numérique. Il décrit l'étang par sa ligne médiane et sa demi-largeur, en fonction de la distance $x$ à la pointe ouest, en mètres, en posant $s = \frac{x}{200}$ :

$m (s) = 65 + 120 s (1 - s) (2 s - 1), ℓ (s) = 90 s (1 - s) (1 + 0, 5 s - 0, 6 s^{2}) .$

La rive nord est à l'ordonnée $m + ℓ$ , la rive sud à $m - ℓ$ .


from math import sqrt

def milieu(s):
    return 65 + 120 * s * (1 - s) * (2 * s - 1)

def demi_largeur(s):
    return 90 * sqrt(s * (1 - s)) * (1 + 0.5 * s - 0.6 * s * s)

def dans(x, y):
    """Le point (x, y), en metres, est-il dans l'etang ?"""
    if x < 0 or x > 200:
        return False
    s = x / 200
    return abs(y - milieu(s)) <= demi_largeur(s)

!Attention

Avoir ces formules ne dispense de rien. La largeur $2 ℓ$ contient un facteur $s (1 - s)$ : aucune primitive de cette fonction ne s'écrit avec les fonctions du programme. On ne s'autorisera donc à utiliser dans que pour ce qu'un relevé de terrain permet réellement : répondre par oui ou par non à la question « ce point est-il dans l'étang ? ». Toute autre utilisation serait une tricherie, et surtout ne servirait à rien sur un étang réel, où l'on n'a pas de formule du tout.

iRemarqueLa « vraie » valeur, et ce qu'elle vaut

Il nous faudra bien une référence pour juger nos méthodes. On l'obtient en découpant l'étang en tranches verticales très fines et en sommant les trapèzes correspondants, c'est-à-dire en poussant très loin une des méthodes que nous allons étudier :

nombre de tranches	$10000$	$100000$	$1000000$
aire obtenue (m $^{2}$ )	$15020, 7257$	$15020, 7394$	$15020, 7399$

Les quatre premières décimales ne bougent plus : on retient

$A = 15020, 74 m^{2}, soit 1, 502074 ha.$

Cette valeur n'est pas plus « exacte » que les autres : elle est simplement obtenue au prix d'un effort de calcul sans rapport avec l'enjeu. Sur le terrain, personne ne la connaît. Elle nous servira d'arbitre, et de rien d'autre.

14.2 Compter des carreaux

14.2.1 Encadrer par excès et par défaut

La méthode la plus ancienne est aussi la plus sûre. On pose sur la carte un quadrillage de pas $p$ , et l'on compte deux fois :

les carreaux entièrement contenus dans l'étang : leur aire totale est certainement inférieure à $A$ ;
les carreaux rencontrés, c'est-à-dire ceux qui contiennent au moins un point de l'étang : leur aire totale est certainement supérieure à $A$ .

Méthode : Mesurer une aire par quadrillage

Choisir un pas $p$ et poser le quadrillage sur la carte.
Compter $n^{-}$ , le nombre de carreaux entièrement dedans, et $n^{+}$ , le nombre de carreaux rencontrés. On a toujours $n^{-} \leq n^{+}$ .
Écrire l'encadrement

$n^{-} \times p^{2} \leq A \leq n^{+} \times p^{2} .$

Retenir le milieu $\frac{( n ^{-} + n ^{+} ) p ^{2}}{2}$ comme estimation, et la demi-largeur de l'encadrement comme marge d'incertitude.
Si la marge est trop grande, diviser le pas par deux et recommencer.

Sur la figure, le pas de $20$ m donne $n^{-} = 23$ et $n^{+} = 51$ , donc

$23 \times 400 = 9200 \leq A \leq 51 \times 400 = 20400,$

et le pas de $10$ m donne $118$ et $178$ carreaux, soit $11800 \leq A \leq 17800$ . C'est encore très large — mais c'est sûr, et cela n'a demandé qu'un crayon.

14.2.2 Ce que coûte un pas deux fois plus fin

Au-delà, on compte à la machine. Le programme suivant balaie tous les carreaux et teste chacun en quelques points ; il suppose disponible la fonction dans de la section précédente.


def quadrillage(pas, echantillons=40):
    """Encadrement de l'aire par comptage de carreaux de cote 'pas'."""
    dedans, rencontres = 0, 0
    nx, ny = round(200 / pas), round(120 / pas)
    for i in range(nx):
        for j in range(ny):
            tout, aucun = True, True
            for a in range(echantillons + 1):
                for b in range(echantillons + 1):
                    x = i * pas + pas * a / echantillons
                    y = j * pas + pas * b / echantillons
                    if dans(x, y):
                        aucun = False
                    else:
                        tout = False
            if tout:
                dedans = dedans + 1
            if not aucun:
                rencontres = rencontres + 1
    return dedans * pas**2, rencontres * pas**2

Les résultats :

pas $p$	$n^{-}$	$n^{+}$	minorant	majorant	estimation	écart
$20$ m	$23$	$51$	$9200$	$20400$	$14800$	$11200$
$10$ m	$118$	$178$	$11800$	$17800$	$14800$	$6000$
$5$ m	$539$	$661$	$13475$	$16525$	$15000$	$3050$
$2, 5$ m	$2279$	$2525$	$14243, 75$	$15781, 25$	$15012, 5$	$1537, 5$
$1$ m	$14714$	$15332$	$14714$	$15332$	$15023$	$618$

L'aire de référence, $15020, 74$ m $^{2}$ , est bien dans chacun des cinq encadrements — elle ne pouvait pas ne pas y être, puisqu'ils sont certains. Mais regardons la dernière colonne : $11200$ , $6000$ , $3050$ , $1537, 5$ , $618$ . À chaque fois que le pas est divisé par deux, l'écart est divisé par deux, lui aussi.

Proposition 14.1Précision du quadrillage

L'écart entre le majorant et le minorant est l'aire de la couronne de carreaux douteux : ce sont les carreaux traversés par le contour. Un contour de longueur $Λ$ en traverse environ $\frac{Λ}{p}$ , chacun d'aire $p^{2}$ , d'où

$e ˊ cart \approx Λ \times p .$

L'incertitude est proportionnelle au pas, et non à son carré.

Le contrôle est immédiat : en divisant chaque écart par le pas correspondant, on trouve $560$ , $600$ , $610$ , $615$ , $618$ — une même longueur, d'environ $620$ m, que le périmètre réel de l'étang ( $485$ m) permet effectivement d'anticiper.

!Le réflexe

Cette proportionnalité chiffre à l'avance le travail. Pour descendre à $\pm 1 %$ de $15000$ m $^{2}$ , soit un écart de $300$ m $^{2}$ , il faut $p \approx 300/620 \approx 0, 5$ m : le rectangle englobant en contient alors $400 \times 240 = 96000$ . Pour $\pm 0, 1 %$ , il faudrait $p \approx 0, 05$ m, soit $9, 6$ millions de carreaux. Gagner une décimale coûte cent fois plus cher — et c'est là le défaut de la méthode, pas dans son principe.

!Attention

Le réflexe scolaire consiste à trancher : « ce carreau est à moitié dedans, je le compte pour un demi ». C'est un estimateur, souvent bon, mais ce n'est plus un encadrement : on perd la garantie, et l'on ne sait plus rien de son erreur. Les deux comptages ont chacun leur rôle — l'un donne un nombre, l'autre donne une preuve. Ne les mélangez pas.

14.3 Le relevé du géomètre : des largeurs, pas une fonction

14.3.1 Onze mesures et dix trapèzes

Un géomètre ne dessine pas un contour au carreau : il tend un décamètre en travers de l'étang, tous les $20$ m, et il note la largeur. Onze mesures suffisent à traverser les $200$ m.

$x$ (m)	$0$	$20$	$40$	$60$	$80$	$100$	$120$	$140$	$160$	$180$	$200$
largeur (m)	$0$	$56, 4$	$77, 5$	$90, 4$	$97, 4$	$99, 0$	$95, 6$	$87, 1$	$73, 2$	$52, 1$	$0$

Entre deux mesures consécutives, on ne sait rien : le plus raisonnable est de supposer que la largeur varie linéairement, ce qui remplace chaque tranche par un trapèze. La somme des dix trapèzes vaut

$20 \times (56, 4 + 77, 5 + 90, 4 + 97, 4 + 99, 0 + 95, 6 + 87, 1 + 73, 2 + 52, 1) = 20 \times 728, 7 = 14574 m^{2},$

les deux largeurs extrêmes, nulles, ne pesant de toute façon rien. (L'ordinateur, qui travaille sur des largeurs non arrondies, annonce $14570$ m $^{2}$ .)

14.3.2 De quel côté se trompe-t-on ?

Ici, contrairement au quadrillage, il n'y a plus d'encadrement : rien ne garantit que la vraie largeur soit entre les deux mesures voisines. On semble avoir perdu la garantie. On la retrouve, et c'est le chapitre 5 qui la rend.

Proposition 14.2Trapèzes et convexité

Soit $f$ continue et positive sur $[a; b]$ .

Si $f$ est convexe sur $[a; b]$ , la méthode des trapèzes surestime $\int_{a}^{b} f$ .
Si $f$ est concave, elle la sous-estime.

Démonstration

Le chapitre 5 définit la convexité par la position de la courbe par rapport à ses sécantes : $f$ est convexe si, sur chaque intervalle, sa courbe est en dessous de la corde. Le trapèze construit sur une tranche $[x; x + h]$ est précisément le domaine sous cette corde. Comme $f$ est en dessous de la corde, l'aire sous la courbe est inférieure à celle du trapèze, et la propriété de croissance de l'intégrale (chapitre 7) permet de sommer ces inégalités tranche par tranche. Le cas concave s'obtient en changeant tous les sens.

Le profil des largeurs de l'étang est concave sur presque tout l'intervalle — il monte en s'aplatissant, puis redescend en s'accélérant. Les trapèzes le sous-estiment donc, et $14570$ m $^{2}$ est un minorant. C'est exactement ce que confirme la référence : $15020, 74 > 14570$ .

!Le réflexe

Savoir de quel côté on se trompe vaut souvent mieux que se tromper moins. Une sous-estimation de la surface d'un étang conduit à sous-doser l'empoissonnement : la conséquence est bénigne. La même erreur sur une dose de rayonnement ou sur la capacité d'un ouvrage ne l'est pas. Une méthode dont on connaît le sens de l'erreur est une méthode qu'on peut utiliser en sécurité.

14.3.3 Resserrer : deux fois plus de transects

Le géomètre repasse, cette fois tous les $10$ m, puis tous les $5$ m.

espacement des transects	$20$ m	$10$ m	$5$ m
nombre de largeurs	$11$	$21$	$41$
somme des trapèzes (m $^{2}$ )	$14570$	$14862$	$14964$
écart à la référence	$- 451$	$- 159$	$- 56$

Les écarts sont divisés par $2, 8$ à chaque fois. On attendait $4$ : pour une fonction régulière, l'erreur des trapèzes est proportionnelle au carré du pas, comme le chapitre 7 l'avait constaté. Les deux pointes de l'étang en sont responsables : la rive y devient presque verticale, la largeur y varie infiniment vite, et le trapèze n'y approche plus rien de bon.

iRemarqueComparaison des deux méthodes de terrain

À effort égal, les trapèzes battent le quadrillage de très loin. Onze coups de décamètre donnent déjà $14570$ m $^{2}$ , soit $3 %$ d'erreur, quand le quadrillage à $20$ m ne garantissait que $9200 \leq A \leq 20400$ . Mais le quadrillage garantit, et les trapèzes seulement approchent. Et surtout, le quadrillage marche sur n'importe quelle forme — une île trouée, une tache en plusieurs morceaux — là où les transects supposent que chaque droite verticale coupe le domaine en un seul segment.

14.4 Tirer au sort, et peser

14.4.1 Le hasard comme instrument de mesure

Les deux méthodes précédentes découpent l'espace régulièrement. Il en existe une troisième, qui ne découpe rien : on jette des points au hasard dans le rectangle englobant, et l'on compte ceux qui tombent dans l'étang. La proportion obtenue estime le rapport de l'aire de l'étang à celle du rectangle. C'est la méthode de Monte-Carlo, déjà rencontrée au chapitre 7 — mais elle prend ici tout son sens, car elle ne demande rien d'autre que la fonction dans.


from random import random, seed

def monte_carlo(n):
    """Estimation de l'aire de l'etang par tirage de n points."""
    dedans = 0
    for _ in range(n):
        x = 200 * random()
        y = 120 * random()
        if dans(x, y):
            dedans = dedans + 1
    return 24000 * dedans / n

for n in [1000, 10000, 100000, 1000000]:
    seed(2026)
    print(n, round(monte_carlo(n), 1))

Le programme affiche :


1000 15576.0
10000 14956.8
100000 14999.3
1000000 15023.9

14.4.2 Pourquoi Monte-Carlo est lent, et de combien

Un seul essai ne dit rien : il faut savoir ce qu'un autre tirage aurait donné. En répétant vingt fois l'expérience avec des graines différentes, on obtient un écart type des estimations : $462$ m $^{2}$ pour $n = 1000$ , $100$ m $^{2}$ pour $n = 10000$ , $40$ m $^{2}$ pour $n = 100000$ .

Ces trois nombres ne sont pas mystérieux : le chapitre 8 les prévoit.

Proposition 14.3La précision d'un tirage de Monte-Carlo

Notons $B$ l'aire du rectangle englobant et $p = \frac{A}{B}$ la proportion cherchée. Chaque point tiré est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ : il tombe dans l'étang, ou non. Sur $n$ points indépendants, le nombre de succès suit une loi binomiale $B (n, p)$ , d'écart type $n p (1 - p)$ (chapitre 8). La fréquence $\frac{succ e ˋ s}{n}$ a donc pour écart type $\frac{p ( 1 - p )}{n}$ , et l'estimation $B \times$ fréquence a pour écart type

$σ_{n} = B \frac{p ( 1 - p )}{n} .$

Ici $B = 24000$ m $^{2}$ et $p \approx \frac{15 021}{24 000} \approx 0, 626$ , d'où

$σ_{1000} \approx 367, σ_{10000} \approx 116, σ_{100000} \approx 37, σ_{1000000} \approx 12 (en m^{2}) .$

Les valeurs observées — $462$ , $100$ , $40$ — s'y ajustent très bien pour ce qu'on demande à vingt essais.

!Le réflexe

Le facteur $n$ au dénominateur est toute l'histoire : pour gagner un facteur $10$ sur la précision, il faut multiplier le nombre de tirages par $100$ . Comparons les trois méthodes sur notre étang, à même exigence de $\pm 150$ m $^{2}$ (soit $1 %$ ) :

quadrillage : pas de $0, 5$ m, soit $96000$ carreaux à examiner, chacun en plusieurs points ;
trapèzes : une vingtaine de transects ;
Monte-Carlo : $σ_{n} = \frac{11 600}{n}$ , donc $n \approx 24000$ points pour $σ_{n} = 75$ m $^{2}$ , c'est-à-dire $\pm 150$ m $^{2}$ à deux écarts types.

Le classement est net : les trapèzes écrasent tout, Monte-Carlo bat le quadrillage, et personne n'approche des vingt coups de décamètre du géomètre. La vertu de Monte-Carlo est ailleurs : la formule $σ_{n} = B p (1 - p) / n$ ne fait intervenir ni la forme du domaine, ni son nombre de morceaux, ni la dimension de l'espace. Pour un volume de cavité mesuré sur un scanner ou la surface d'une tache sur une photographie, c'est la seule méthode qui tienne.

!Attention

Un tirage de Monte-Carlo ne donne jamais d'encadrement. Avec $600$ points, la figure ci-dessus annonce $15920$ m $^{2}$ , soit $6 %$ de trop, et rien dans le résultat ne le signale. Une estimation aléatoire doit toujours être accompagnée de son écart type — sans quoi elle n'est qu'un nombre sans statut. On écrira $15000 \pm 100$ m $^{2}$ , jamais $14956, 8$ m $^{2}$ .

14.4.3 La balance du laboratoire

Reste une méthode qui ne calcule rien du tout, et que les naturalistes emploient depuis un siècle pour mesurer la surface des feuilles. On imprime la carte, on découpe le contour aux ciseaux, et on pèse.

Le papier a une masse par unité de surface constante : la masse de la découpe est donc proportionnelle à son aire. Un carré témoin de $10$ cm de côté, découpé dans la même feuille, pèse $1, 62$ g, soit $0, 0162$ g/cm $^{2}$ . La découpe de l'étang pèse $0, 605$ g, ce qui donne

$\frac{0 , 605}{0 , 0162} = 37, 35 cm^{2} de papier.$

La carte est au $1/2 000$ : $1$ cm y représente $20$ m, donc $1$ cm $^{2}$ représente $400$ m $^{2}$ . D'où

$A \approx 37, 35 \times 400 = 14938 m^{2} .$

iRemarqueCe qui limite vraiment cette mesure

Ce n'est pas la balance. Au milligramme près, l'incertitude relative est $\frac{0 , 001}{0 , 605} + \frac{0 , 001}{1 , 62} \approx 0, 23 %$ , soit $\pm 34$ m $^{2}$ : négligeable. Ce sont les ciseaux. En refaisant trois fois l'opération on obtient $0, 601$ ; $0, 605$ ; $0, 612$ g, c'est-à-dire $14841$ , $14938$ et $15111$ m $^{2}$ . On retient la moyenne, $14963$ m $^{2}$ , avec une marge d'environ $1 %$ .

C'est la bonne façon de procéder chaque fois qu'on ignore d'où vient l'erreur : répéter la mesure, et lire l'incertitude sur la dispersion des résultats.

14.5 Le chiffre et sa marge

méthode	estimation (m $^{2}$ )	marge	statut
quadrillage, pas $1$ m	$15023$	$\pm 309$	encadrement certain
transects, pas $10$ m	$14862$	---	minorant sûr (profil concave)
Monte-Carlo, $n = 1 0^{5}$	$14999$	$\pm 74$	$2 σ$ , aléatoire
pesée du papier	$14963$	$\pm 140$	dispersion de trois essais
valeur retenue	$15000$	$\pm 150$	recoupement

Quatre méthodes indépendantes, quatre marges de nature différente, un seul étang. Elles se recoupent toutes autour de $15000$ m $^{2}$ , et la référence, $15020, 74$ m $^{2}$ , tombe dans chacun des intervalles. La commune peut déclarer

$A \approx 1, 50 hectare$

et empoissonner en conséquence : à $150$ kg de carpes par hectare, cela fait $225$ kg, et personne ne saura jamais si c'était $224$ ou $227$ .

!Le réflexe

Trois méthodes grossières qui concordent valent mieux qu'une méthode raffinée toute seule. La première protège d'une erreur de raisonnement ou de programme ; la seconde ne protège de rien. C'est pourquoi on mesure toujours deux fois, autrement.

!Attention

Annoncer « $15020, 74$ m $^{2}$ » serait une faute, même si c'est le nombre le plus proche de la vérité. Quatre chiffres après la virgule prétendent une précision au centimètre carré, sur un étang dont le contour bouge de plusieurs mètres entre l'été et l'hiver. Le nombre de chiffres écrits est une affirmation, et il doit être cohérent avec la marge : avec $\pm 150$ m $^{2}$ , on écrit $15000$ m $^{2}$ , ou $1, 50$ ha, et rien de plus.

14.6 Une aire, d'autres questions

L'aire n'est pas seulement une surface de terrain. Chaque fois qu'une grandeur est le cumul d'une autre, elle se lit comme une aire — et les méthodes précédentes s'appliquent telles quelles.

14.6.1 L'aire entre deux courbes : ce qu'il faut stocker

Un village a installé des panneaux solaires. Sa consommation est à peu près constante, $960$ kW ; sa production suit la course du soleil, nulle avant $8$ h et après $18$ h, et modélisée entre les deux par

$p (t) = 60 (t - 8) (18 - t) (en kW, t en heures).$

Les deux courbes se coupent quand $60 (t - 8) (18 - t) = 960$ , c'est-à-dire $- t^{2} + 26 t - 144 = 16$ , soit $t^{2} - 26 t + 160 = 0$ . Le discriminant vaut $676 - 640 = 36$ , d'où $t = 10$ et $t = 16$ .

Le surplus est l'aire comprise entre les deux courbes sur $[10; 16]$ , là où la production dépasse la consommation :

$S = \int_{10}^{16} (60 (t - 8) (18 - t) - 960) d t = \int_{10}^{16} (- 60 t^{2} + 1560 t - 9600) d t = [- 20 t^{3} + 780 t^{2} - 9600 t]_{10}^{16} .$

En $t = 16$ : $- 81920 + 199680 - 153600 = - 35840$ ; en $t = 10$ : $- 20000 + 78000 - 96000 = - 38000$ . Donc $S = 2160$ kWh.

La production totale de la journée est l'aire sous la courbe :

$\int_{8}^{18} 60 (t - 8) (18 - t) d t = \int_{8}^{18} (- 60 t^{2} + 1560 t - 8640) d t = [- 20 t^{3} + 780 t^{2} - 8640 t]_{8}^{18} = 10000 kWh,$

pour une consommation de $960 \times 24 = 23040$ kWh.

Exemple 14.4Ce que la batterie change

Sans stockage, seuls $10000 - 2160 = 7840$ kWh de la production sont consommés au moment où ils sont produits : le village couvre $\frac{7 840}{23 040} \approx 34 %$ de ses besoins, et le surplus de $2160$ kWh part sur le réseau. Avec une batterie de $2160$ kWh, soit environ $2, 2$ MWh, il couvre $\frac{10 000}{23 040} \approx 43 %$ .

Neuf points de couverture pour une batterie : le dimensionnement de l'installation est un calcul d'aire, et le résultat, $2160$ kWh, est directement le cahier des charges de l'installateur.

iRemarque

Ici les primitives existent : le calcul est exact, et il n'y a nul besoin d'approcher. C'est le contraire de l'étang. La question « quelle aire ? » est toujours la même ; ce sont les outils disponibles qui changent, et savoir reconnaître dans quel cas on se trouve est le premier réflexe.

14.6.2 L'aire sous l'hyperbole : pourquoi le logarithme existe

Le chapitre 3 a introduit le logarithme comme réciproque de l'exponentielle, et le chapitre 7 a vérifié que $ln 2 = \int_{1}^{2} \frac{d x}{x}$ . On peut renverser complètement le point de vue et fabriquer le logarithme à partir d'une aire. Le thème 3 le fait historiquement ; voici l'argument, qui tient tout entier dans une figure.

Considérons la transformation qui, à un point $(x; y)$ , associe le point $(k x; \frac{y}{k})$ , où $k$ est un réel strictement positif fixé. Elle multiplie les longueurs horizontales par $k$ et les divise verticalement par $k$ : elle conserve donc les aires. Or elle transforme le point $(x; \frac{1}{x})$ de l'hyperbole en $(k x; \frac{1}{k x})$ , qui est encore sur l'hyperbole.

Proposition 14.5L'aire sous

1/ x

transforme les produits en sommes

Notons $A (u) = \int_{1}^{u} \frac{d x}{x}$ pour $u \geq 1$ . Alors, pour tous $a \geq 1$ et $b \geq 1$ ,

$A (a b) = A (a) + A (b) .$

Démonstration

La transformation ci-dessus, avec $k = a$ , envoie le domaine sous l'hyperbole au-dessus de $[1; b]$ sur le domaine sous l'hyperbole au-dessus de $[a; ab]$ , sans changer son aire. Donc

$\int_{a}^{ab} \frac{d x}{x} = \int_{1}^{b} \frac{d x}{x} = A (b) .$

La relation de Chasles (chapitre 7) donne alors

$A (ab) = \int_{1}^{ab} \frac{d x}{x} = \int_{1}^{a} \frac{d x}{x} + \int_{a}^{ab} \frac{d x}{x} = A (a) + A (b) .$

Sur la figure, $k = 3$ : les domaines au-dessus de $[1; 2]$ et de $[3; 6]$ ont la même aire, $0, 6931 \dots$ , et l'on retrouve $ln 2$ sans avoir jamais parlé d'exponentielle. L'équation fonctionnelle du logarithme, qui semble une propriété algébrique, est une propriété d'aire.

!Le réflexe

Retenez la raison géométrique : l'hyperbole est la seule courbe $y = f (x)$ qui reste inchangée quand on étire l'axe des abscisses et qu'on comprime l'axe des ordonnées du même facteur. C'est cette invariance, et elle seule, qui fait apparaître un logarithme — et c'est pourquoi les échelles logarithmiques servent partout où seuls les rapports ont un sens : bruit, séismes, acidité, luminosité des étoiles.

14.6.3 L'aire comme probabilité

Le chapitre 9 définit la densité d'une loi continue par

$P (a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f (t) d t :$

une probabilité est une aire. Tout ce thème s'y applique donc directement — et la réciproque aussi, ce qui est plus surprenant.

En effet, la méthode de Monte-Carlo consiste à tirer un point au hasard dans un rectangle et à demander s'il tombe sous la courbe. La probabilité de ce succès est exactement le rapport de l'aire cherchée à celle du rectangle. Mesurer une aire par le hasard et lire une probabilité comme une aire sont la même opération, prise dans les deux sens. Le problème sur la durée de vie d'un capteur exploite cet aller-retour.

14.7 Bilan

Proposition 14.6L'essentiel de ce thème

Le chapitre 7 calcule des aires ; ce thème les mesure. Dès qu'il n'y a ni formule ni primitive — c'est-à-dire presque toujours — une aire s'obtient par encadrement et par approximation, jamais par un calcul exact.
Le quadrillage donne un encadrement certain : $n^{-} p^{2} \leq A \leq n^{+} p^{2}$ . Son écart vaut environ (longueur du contour) $\times$ (pas) : il est proportionnel au pas, et gagner une décimale coûte cent fois plus cher.
Les trapèzes sur un relevé de largeurs sont bien plus économiques : une dizaine de mesures suffisent à $3 %$ . La convexité (chapitre 5) dit de quel côté ils se trompent : ils majorent si la fonction est convexe, minorent si elle est concave.
Monte-Carlo ne suppose rien sur la forme du domaine, mais son écart type vaut $B \frac{p ( 1 - p )}{n}$ (chapitre 8) : multiplier la précision par $10$ exige $100$ fois plus de tirages. On ne l'emploie que là où le découpage régulier est impossible.
La pesée du papier reste, sans une seule intégrale, plus précise que tout comptage manuel : la masse est proportionnelle à l'aire.
Un résultat de mesure sans sa marge n'est pas un résultat, et le nombre de chiffres écrits doit être cohérent avec cette marge. Plusieurs méthodes indépendantes qui se recoupent valent mieux qu'une seule méthode raffinée.
Partout où une grandeur s'accumule, elle est une aire : une énergie à stocker (aire entre deux courbes), un volume de lac (aire des courbes de niveau), une dose, une probabilité (chapitre 9). Et l'aire sous l'hyperbole transforme les produits en sommes : c'est le logarithme (chapitre 3), lu sur un dessin.

Continuer sur Adloun : animation, QCM, fiches, exercices