Thème 4 — Calculs d'aires

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L'aire sous la courbe de 1/x² à partir de 1 reste finie alors que l'intervalle est infini.

Une commune possède un étang. Elle veut l'empoissonner — les fédérations de pêche raisonnent en kilogrammes par hectare —, elle doit le déclarer au fichier des plans d'eau, et elle acquitte une redevance qui dépend de sa surface. Il faut donc un nombre, et le maire pose la question la plus simple du monde : quelle est la surface de l'étang ?

Le chapitre 7 semble avoir tout dit : une aire, c'est une intégrale. Mais il a répondu à une autre question. Il savait calculer l'aire sous la courbe d'une fonction connue, et il la calculait avec une primitive. Ici il n'y a ni fonction, ni formule, ni primitive : il y a un contour, relevé au GPS, qui ne ressemble à rien de répertorié. Et pourtant l'aire existe, et il faut la mesurer.

C'est tout l'objet de ce thème. Mesurer une aire, ce n'est pas la calculer : c'est l'encadrer, l'approcher, recouper plusieurs méthodes, et — c'est le plus important — savoir de combien on se trompe. Un nombre sans sa marge d'incertitude n'est pas un résultat de mesure. Nous mesurerons donc le même étang de quatre façons indépendantes : en comptant des carreaux, en relevant des largeurs, en tirant des points au hasard, et en pesant du papier. Puis nous irons voir ailleurs ce qu'une aire sait mesurer d'autre : une énergie à stocker, un logarithme, une probabilité.

Problématique. Comment mesurer une aire quand aucune formule et aucune primitive ne s'appliquent, et comment savoir ce que vaut la mesure obtenue ?

iRemarquePlan de travail

Ce thème est prévu pour trois semaines environ.

Semaine 1 — la question et les deux méthodes « de terrain » : le quadrillage (sections 1 et 2) et le relevé de largeurs (section 3). On y réinvestit la relation de Chasles et la méthode des rectangles du chapitre 7, et la convexité du chapitre 5.
Semaine 2 — le hasard et la balance (section 4), puis la synthèse : un chiffre et sa marge (section 5). L'écart type d'une fréquence, vu au chapitre 8, y explique pourquoi la méthode de Monte-Carlo est lente.
Semaine 3 — ce que les aires mesurent ailleurs (section 6) : l'énergie, par une aire entre deux courbes (chapitres 6 et 7) ; le logarithme, par l'aire sous l'hyperbole (chapitre 3) ; la probabilité, par l'aire sous une densité (chapitre 9). Le dernier problème remonte à Archimède et à la somme d'une suite géométrique (chapitre 1).

14.1 Une aire dont aucune formule ne rend compte

14.1.1 L'étang du Vieux Moulin

L'étang mesure $200$ m de long ; un ruisseau l'alimente à l'ouest, un déversoir le vide à l'est. Le géomètre en a relevé le contour au GPS : c'est une ligne fermée, lisse, sans le moindre segment de droite.

Trois constats, et ils commandent tout ce qui suit.

L'étang tient dans un rectangle de $200 \times 120 = 24000$ m $^{2}$ , et il en occupe visiblement une bonne moitié. Un ordre de grandeur est déjà acquis : entre $10000$ et $18000$ m $^{2}$ . Toute méthode qui donnerait $3000$ ou $40000$ serait à jeter sans discussion.
Le contour n'est ni un cercle, ni un rectangle, ni un polygone : aucune formule d'aire du collège ne s'applique.
Le contour n'est pas non plus la courbe d'une fonction : au-dessus d'une même abscisse, il y a deux points, la rive nord et la rive sud. On peut cependant décrire l'étang comme la région comprise entre ces deux rives, et là, l'aire sera $\int_{0}^{200} (rive nord - rive sud) d x$ : une aire entre deux courbes, exactement comme au chapitre 7.

iRemarquePourquoi le chapitre 7 ne suffit pas

La formule $\int_{a}^{b} (f - g)$ est bien la bonne, mais elle ne sert à rien tant qu'on ne sait pas calculer l'intégrale. Or, pour ce contour, aucune primitive ne s'exprime avec les fonctions au programme. Ce n'est pas un défaut de ce contour-là : c'est le cas ordinaire. Les primitives que l'on sait écrire sont l'exception, pas la règle.

Le chapitre 7 avait déjà croisé ce mur, avec $\int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x$ . Il l'avait franchi par des rectangles, des trapèzes et du hasard. Ici nous allons faire la même chose, mais sur un objet où il n'y a même plus de fonction à évaluer — seulement une question à laquelle on sait répondre : ce point est-il dans l'étang, oui ou non ?

14.1.2 Le contour numérisé

Pour que tout ce qui suit soit reproductible, le géomètre nous livre son relevé sous forme numérique. Il décrit l'étang par sa ligne médiane et sa demi-largeur, en fonction de la distance $x$ à la pointe ouest, en mètres, en posant $s = \frac{x}{200}$ :

$m (s) = 65 + 120 s (1 - s) (2 s - 1), ℓ (s) = 90 s (1 - s) (1 + 0, 5 s - 0, 6 s^{2}) .$

La rive nord est à l'ordonnée $m + ℓ$ , la rive sud à $m - ℓ$ .


from math import sqrt

def milieu(s):
    return 65 + 120 * s * (1 - s) * (2 * s - 1)

def demi_largeur(s):
    return 90 * sqrt(s * (1 - s)) * (1 + 0.5 * s - 0.6 * s * s)

def dans(x, y):
    """Le point (x, y), en metres, est-il dans l'etang ?"""
    if x < 0 or x > 200:
        return False
    s = x / 200
    return abs(y - milieu(s)) <= demi_largeur(s)

!Attention

Avoir ces formules ne dispense de rien. La largeur $2 ℓ$ contient un facteur $s (1 - s)$ : aucune primitive de cette fonction ne s'écrit avec les fonctions du programme. On ne s'autorisera donc à utiliser dans que pour ce qu'un relevé de terrain permet réellement : répondre par oui ou par non à la question « ce point est-il dans l'étang ? ». Toute autre utilisation serait une tricherie, et surtout ne servirait à rien sur un étang réel, où l'on n'a pas de formule du tout.

iRemarqueLa « vraie » valeur, et ce qu'elle vaut

Il nous faudra bien une référence pour juger nos méthodes. On l'obtient en découpant l'étang en tranches verticales très fines et en sommant les trapèzes correspondants, c'est-à-dire en poussant très loin une des méthodes que nous allons étudier :

nombre de tranches	$10000$	$100000$	$1000000$
aire obtenue (m $^{2}$ )	$15020, 7257$	$15020, 7394$	$15020, 7399$

Les quatre premières décimales ne bougent plus : on retient

$A = 15020, 74 m^{2}, soit 1, 502074 ha.$

Cette valeur n'est pas plus « exacte » que les autres : elle est simplement obtenue au prix d'un effort de calcul sans rapport avec l'enjeu. Sur le terrain, personne ne la connaît. Elle nous servira d'arbitre, et de rien d'autre.

14.2 Compter des carreaux

14.2.1 Encadrer par excès et par défaut

La méthode la plus ancienne est aussi la plus sûre. On pose sur la carte un quadrillage de pas $p$ , et l'on compte deux fois :

les carreaux entièrement contenus dans l'étang : leur aire totale est certainement inférieure à $A$ ;
les carreaux rencontrés, c'est-à-dire ceux qui contiennent au moins un point de l'étang : leur aire totale est certainement supérieure à $A$ .

Méthode : Mesurer une aire par quadrillage

Choisir un pas $p$ et poser le quadrillage sur la carte.
Compter $n^{-}$ , le nombre de carreaux entièrement dedans, et $n^{+}$ , le nombre de carreaux rencontrés. On a toujours $n^{-} \leq n^{+}$ .
Écrire l'encadrement

$n^{-} \times p^{2} \leq A \leq n^{+} \times p^{2} .$

Retenir le milieu $\frac{( n ^{-} + n ^{+} ) p ^{2}}{2}$ comme estimation, et la demi-largeur de l'encadrement comme marge d'incertitude.
Si la marge est trop grande, diviser le pas par deux et recommencer.

Sur la figure, le pas de $20$ m donne $n^{-} = 23$ et $n^{+} = 51$ , donc

$23 \times 400 = 9200 \leq A \leq 51 \times 400 = 20400,$

et le pas de $10$ m donne $118$ et $178$ carreaux, soit $11800 \leq A \leq 17800$ . C'est encore très large — mais c'est sûr, et cela n'a demandé qu'un crayon.

14.2.2 Ce que coûte un pas deux fois plus fin

Au-delà, on compte à la machine. Le programme suivant balaie tous les carreaux et teste chacun en quelques points ; il suppose disponible la fonction dans de la section précédente.


def quadrillage(pas, echantillons=40):
    """Encadrement de l'aire par comptage de carreaux de cote 'pas'."""
    dedans, rencontres = 0, 0
    nx, ny = round(200 / pas), round(120 / pas)
    for i in range(nx):
        for j in range(ny):
            tout, aucun = True, True
            for a in range(echantillons + 1):
                for b in range(echantillons + 1):
                    x = i * pas + pas * a / echantillons
                    y = j * pas + pas * b / echantillons
                    if dans(x, y):
                        aucun = False
                    else:
                        tout = False
            if tout:
                dedans = dedans + 1
            if not aucun:
                rencontres = rencontres + 1
    return dedans * pas**2, rencontres * pas**2

Les résultats :

pas $p$	$n^{-}$	$n^{+}$	minorant	majorant	estimation	écart
$20$ m	$23$	$51$	$9200$	$20400$	$14800$	$11200$
$10$ m	$118$	$178$	$11800$	$17800$	$14800$	$6000$
$5$ m	$539$	$661$	$13475$	$16525$	$15000$	$3050$
$2, 5$ m	$2279$	$2525$	$14243, 75$	$15781, 25$	$15012, 5$	$1537, 5$
$1$ m	$14714$	$15332$	$14714$	$15332$	$15023$	$618$

Exercices du chapitre

Une feuille sur du papier millimétré corrigé
L'aire sous l'hyperbole corrigé
Ce que coûte une décimale corrigé
Problème — La quadrature de la parabole, d'Archimède au pont corrigé
Le relevé du géomètre corrigé
Peser une tache de pollution corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre