Thème 5 — Répartition des richesses, inégalités

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La courbe de Lorenz, sous la diagonale de l'égalité parfaite : l'aire entre les deux mesure les inégalités.

« Les $10 %$ les plus riches détiennent la moitié du patrimoine. » « L'indice de Gini de la France est de $0, 29$ . » « Le rapport interdécile est de $3, 4$ . » Ces trois phrases parlent du même pays et du même sujet, et pourtant elles ne disent pas la même chose. La première est une lecture, la deuxième un résumé, la troisième un rapport. La question de ce thème est celle de tout travail de mesure : comment transformer une répartition, c'est-à-dire des dizaines de millions de nombres, en une poignée d'indicateurs qu'on puisse comparer d'un pays à l'autre et d'une année à l'autre — sans perdre en route ce qui compte ?

Le chapitre 1 a déjà rencontré ce terrain : il modélisait les parts des dix déciles par une suite géométrique et calculait le rapport interdécile. Le chapitre 7 a introduit la courbe de Lorenz et l'indice de Gini comme aire, sur deux fonctions choisies pour être commodes. Ce thème reprend le fil là où ils l'ont laissé, mais avec un changement d'exigence : on travaille sur des données réelles, on vérifie que les modèles tiennent, et on cherche à savoir jusqu'où un indice unique est fiable.

Problématique. Peut-on résumer l'inégalité d'un pays par un seul nombre ? Que gagne-t-on à passer des déciles à une courbe, puis de la courbe à une aire ? Et que perd-on à chaque étape ?

Méthode : Le déroulé de l'étude

Cette étude occupe trois semaines. Chaque étape mobilise un chapitre précis.

Découper la population : quantiles, déciles, rapport interdécile. Chapitre 1 (suites et sommes).
Tracer la courbe de Lorenz et lire ce qu'elle dit. Chapitre 5 (convexité), chapitre 4 (dérivation).
Mesurer : l'indice de Gini comme aire, exact par intégrale, approché par trapèzes. Chapitres 6 et 7 (primitives, intégrale, aire entre deux courbes).
Modéliser le haut de la distribution par une loi de Pareto, et trouver son exposant. Chapitre 3 (logarithme), chapitre 10 (ajustement affine).
Comparer deux pays, puis un même pays avant et après redistribution.
Critiquer : construire deux répartitions très différentes qui ont le même indice de Gini.

iRemarqueLes données de ce thème

Les chiffres français utilisés ici sont les masses de niveau de vie par décile publiées par l'INSEE (enquête Revenus fiscaux et sociaux, France, année 2021), arrondies au dixième de point ; les parts détenues par le haut de la distribution proviennent de la base WID.world, et les indices de Gini de comparaison de la Banque mondiale et de l'OCDE. Ces valeurs sont révisées chaque année : le but est d'apprendre la méthode, pas de retenir les nombres. Refaites les calculs avec les données de l'année en cours, elles sont publiques.

15.1 Étape 1 — Découper la population

15.1.1 Quantiles, déciles, rapport interdécile

Définition 15.1Quantiles et déciles

On range les individus par revenu croissant. Pour $0 < α < 1$ , le quantile d'ordre $α$ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins la proportion $α$ des individus lui soit inférieure ou égale.

Les déciles $D_{1}, D_{2}, \dots, D_{9}$ sont les quantiles d'ordres $0, 1; 0, 2; \dots; 0, 9$ . La médiane est $D_{5}$ . Le rapport interdécile est

$\frac{D _{9}}{D _{1}} .$

En France, en 2021, le niveau de vie annuel d'une personne seule était de l'ordre de $12000$ euros pour $D_{1}$ , $23200$ euros pour la médiane et $41000$ euros pour $D_{9}$ : le rapport interdécile vaut donc

$\frac{41 000}{12 000} \approx 3, 4.$

Autrement dit, il faut gagner $3, 4$ fois plus pour passer du bas au haut du classement en sautant les extrémités.

!AttentionUn seuil n'est pas une masse

Le mot « décile » désigne deux objets différents, et les confondre fausse tout.

Le seuil $D_{9}$ est un revenu, exprimé en euros : c'est la barre au-dessus de laquelle se trouvent les $10 %$ les plus aisés.
La masse du dixième décile est une part du total, exprimée en pourcentage : c'est ce que ces $10 %$ détiennent ensemble.

Le rapport interdécile $D_{9} / D_{1} \approx 3, 4$ compare deux seuils ; le rapport des masses du dernier et du premier décile vaut, lui, $23, 7/3, 5 \approx 6, 8$ . Les deux nombres sont justes, ils ne mesurent pas la même chose. Le chapitre 1 travaillait sur les masses ; l'INSEE publie surtout des seuils.

15.1.2 Les dix nombres qui décrivent la France

Voici les masses de niveau de vie détenues par chacun des dix déciles, du plus modeste ( $D_{1}$ ) au plus aisé ( $D_{10}$ ), en pourcentage du total :

$d e ˊ cile part (%) D_{1} 3, 5 D_{2} 5, 3 D_{3} 6, 3 D_{4} 7, 3 D_{5} 8, 3 D_{6} 9, 3 D_{7} 10, 4 D_{8} 11, 9 D_{9} 14, 0 D_{10} 23, 7$

La somme fait bien $100$ . Chaque décile regroupe $10 %$ de la population : le revenu moyen de la tranche, rapporté à la moyenne générale, est donc simplement sa part divisée par $10$ . Le premier décile vit avec $0, 35$ fois le niveau de vie moyen, le dernier avec $2, 37$ fois.

iRemarqueLe modèle géométrique du chapitre 1, à l'épreuve des faits

Le chapitre 1 supposait $p_{k + 1} = q p_{k}$ : chaque part obtenue en multipliant la précédente par un même nombre. Calculons ces rapports sur les vraies données, du plus riche au plus pauvre :

$\frac{14 , 0}{23 , 7} \approx 0, 59, \frac{11 , 9}{14 , 0} \approx 0, 85, \frac{10 , 4}{11 , 9} \approx 0, 87, \dots, \frac{5 , 3}{6 , 3} \approx 0, 84, \frac{3 , 5}{5 , 3} \approx 0, 66.$

Au milieu du classement le rapport est remarquablement stable, autour de $0, 87$ : le modèle géométrique y est excellent. Mais aux deux bouts il décroche. C'est exactement la limite que le chapitre 1 annonçait sans la vérifier : le sommet concentre plus que ne le prolongerait la géométrique. Un modèle à un paramètre ne peut pas décrire à la fois le centre et les extrémités — et en matière d'inégalités, ce sont les extrémités qui intéressent.

!Le réflexe

Avant tout calcul, demandez-vous ce que l'indicateur utilise. Le rapport interdécile ne lit que deux des dix nombres du tableau ci-dessus : il ignore complètement ce qui se passe au-dessus de $D_{9}$ , c'est-à-dire précisément là où la richesse se concentre. C'est un indicateur robuste — il ne bouge pas si un milliardaire change de pays — mais aveugle.

15.2 Étape 2 — Toute la répartition en une courbe

15.2.1 Construire la courbe de Lorenz

Le chapitre 7 a défini la courbe de Lorenz à partir d'une fonction donnée d'avance. Ici, c'est l'inverse : on part des données et on fabrique la courbe.

Définition 15.2Courbe de Lorenz

La population étant rangée par revenu croissant, on note $L (x)$ la part du revenu total détenue par la proportion $x$ des individus les plus modestes. La courbe de $L$ sur $[0; 1]$ est la courbe de Lorenz. Elle passe toujours par $(0; 0)$ et $(1; 1)$ .

Avec des déciles, on obtient onze points : le $k$ -ième a pour abscisse $k /10$ et pour ordonnée la somme des $k$ premières parts. Sur les données françaises :

$x L (x) 00 0, 1 0, 035 0, 2 0, 088 0, 3 0, 151 0, 4 0, 224 0, 5 0, 307 0, 6 0, 400 0, 7 0, 504 0, 8 0, 623 0, 9 0, 763 11$

15.2.2 Croissante et convexe : ce n'est pas une coïncidence

Proposition 15.3Deux propriétés obligatoires

Une courbe de Lorenz est nécessairement croissante et convexe sur $[0; 1]$ . Il en résulte qu'elle est toujours au-dessous de la droite $y = x$ .

Démonstration

Croissance. Ajouter des individus à un groupe ne peut qu'augmenter la masse cumulée : si $a < b$ , alors $L (a) \leq L (b)$ .

Convexité. Sur la ligne brisée des déciles, la pente du $k$ -ième segment vaut

$\frac{L ( k /10 ) - L (( k - 1 ) /10 )}{1/10} = 10 p_{k},$

c'est-à-dire dix fois la part du $k$ -ième décile. Or la population a été rangée par revenu croissant : les parts $p_{k}$ croissent, donc les pentes croissent, donc la ligne brisée est convexe. C'est la définition même de la convexité par les pentes des sécantes, vue au chapitre 5.

Sous la diagonale. Les points $(0; 0)$ et $(1; 1)$ appartiennent à la courbe, et la sécante qui les joint est la droite $y = x$ . Une fonction convexe est au-dessous de ses sécantes : donc $L (x) \leq x$ sur $[0; 1]$ . $□$

Exercices du chapitre

Est-ce une courbe de Lorenz ? corrigé
La famille $L (x) = x^{n}$ corrigé
Où gagne-t-on exactement la moyenne ? corrigé
Problème — Deux façons de redistribuer, à coût égal corrigé
Vingt salaires, et deux nombres pour les résumer corrigé
Les États-Unis, par quintiles corrigé

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