Thème 5 — Répartition des richesses, inégalités

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« Les $10 %$ les plus riches détiennent la moitié du patrimoine. » « L'indice de Gini de la France est de $0, 29$ . » « Le rapport interdécile est de $3, 4$ . » Ces trois phrases parlent du même pays et du même sujet, et pourtant elles ne disent pas la même chose. La première est une lecture, la deuxième un résumé, la troisième un rapport. La question de ce thème est celle de tout travail de mesure : comment transformer une répartition, c'est-à-dire des dizaines de millions de nombres, en une poignée d'indicateurs qu'on puisse comparer d'un pays à l'autre et d'une année à l'autre — sans perdre en route ce qui compte ?

Le chapitre 1 a déjà rencontré ce terrain : il modélisait les parts des dix déciles par une suite géométrique et calculait le rapport interdécile. Le chapitre 7 a introduit la courbe de Lorenz et l'indice de Gini comme aire, sur deux fonctions choisies pour être commodes. Ce thème reprend le fil là où ils l'ont laissé, mais avec un changement d'exigence : on travaille sur des données réelles, on vérifie que les modèles tiennent, et on cherche à savoir jusqu'où un indice unique est fiable.

Problématique. Peut-on résumer l'inégalité d'un pays par un seul nombre ? Que gagne-t-on à passer des déciles à une courbe, puis de la courbe à une aire ? Et que perd-on à chaque étape ?

Méthode : Le déroulé de l'étude

Cette étude occupe trois semaines. Chaque étape mobilise un chapitre précis.

Découper la population : quantiles, déciles, rapport interdécile. Chapitre 1 (suites et sommes).
Tracer la courbe de Lorenz et lire ce qu'elle dit. Chapitre 5 (convexité), chapitre 4 (dérivation).
Mesurer : l'indice de Gini comme aire, exact par intégrale, approché par trapèzes. Chapitres 6 et 7 (primitives, intégrale, aire entre deux courbes).
Modéliser le haut de la distribution par une loi de Pareto, et trouver son exposant. Chapitre 3 (logarithme), chapitre 10 (ajustement affine).
Comparer deux pays, puis un même pays avant et après redistribution.
Critiquer : construire deux répartitions très différentes qui ont le même indice de Gini.

iRemarqueLes données de ce thème

Les chiffres français utilisés ici sont les masses de niveau de vie par décile publiées par l'INSEE (enquête Revenus fiscaux et sociaux, France, année 2021), arrondies au dixième de point ; les parts détenues par le haut de la distribution proviennent de la base WID.world, et les indices de Gini de comparaison de la Banque mondiale et de l'OCDE. Ces valeurs sont révisées chaque année : le but est d'apprendre la méthode, pas de retenir les nombres. Refaites les calculs avec les données de l'année en cours, elles sont publiques.

15.1 Étape 1 — Découper la population

15.1.1 Quantiles, déciles, rapport interdécile

Définition 15.1Quantiles et déciles

On range les individus par revenu croissant. Pour $0 < α < 1$ , le quantile d'ordre $α$ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins la proportion $α$ des individus lui soit inférieure ou égale.

Les déciles $D_{1}, D_{2}, \dots, D_{9}$ sont les quantiles d'ordres $0, 1; 0, 2; \dots; 0, 9$ . La médiane est $D_{5}$ . Le rapport interdécile est

$\frac{D _{9}}{D _{1}} .$

En France, en 2021, le niveau de vie annuel d'une personne seule était de l'ordre de $12000$ euros pour $D_{1}$ , $23200$ euros pour la médiane et $41000$ euros pour $D_{9}$ : le rapport interdécile vaut donc

$\frac{41 000}{12 000} \approx 3, 4.$

Autrement dit, il faut gagner $3, 4$ fois plus pour passer du bas au haut du classement en sautant les extrémités.

!AttentionUn seuil n'est pas une masse

Le mot « décile » désigne deux objets différents, et les confondre fausse tout.

Le seuil $D_{9}$ est un revenu, exprimé en euros : c'est la barre au-dessus de laquelle se trouvent les $10 %$ les plus aisés.
La masse du dixième décile est une part du total, exprimée en pourcentage : c'est ce que ces $10 %$ détiennent ensemble.

Le rapport interdécile $D_{9} / D_{1} \approx 3, 4$ compare deux seuils ; le rapport des masses du dernier et du premier décile vaut, lui, $23, 7/3, 5 \approx 6, 8$ . Les deux nombres sont justes, ils ne mesurent pas la même chose. Le chapitre 1 travaillait sur les masses ; l'INSEE publie surtout des seuils.

15.1.2 Les dix nombres qui décrivent la France

Voici les masses de niveau de vie détenues par chacun des dix déciles, du plus modeste ( $D_{1}$ ) au plus aisé ( $D_{10}$ ), en pourcentage du total :

$d e ˊ cile part (%) D_{1} 3, 5 D_{2} 5, 3 D_{3} 6, 3 D_{4} 7, 3 D_{5} 8, 3 D_{6} 9, 3 D_{7} 10, 4 D_{8} 11, 9 D_{9} 14, 0 D_{10} 23, 7$

La somme fait bien $100$ . Chaque décile regroupe $10 %$ de la population : le revenu moyen de la tranche, rapporté à la moyenne générale, est donc simplement sa part divisée par $10$ . Le premier décile vit avec $0, 35$ fois le niveau de vie moyen, le dernier avec $2, 37$ fois.

iRemarqueLe modèle géométrique du chapitre 1, à l'épreuve des faits

Le chapitre 1 supposait $p_{k + 1} = q p_{k}$ : chaque part obtenue en multipliant la précédente par un même nombre. Calculons ces rapports sur les vraies données, du plus riche au plus pauvre :

$\frac{14 , 0}{23 , 7} \approx 0, 59, \frac{11 , 9}{14 , 0} \approx 0, 85, \frac{10 , 4}{11 , 9} \approx 0, 87, \dots, \frac{5 , 3}{6 , 3} \approx 0, 84, \frac{3 , 5}{5 , 3} \approx 0, 66.$

Au milieu du classement le rapport est remarquablement stable, autour de $0, 87$ : le modèle géométrique y est excellent. Mais aux deux bouts il décroche. C'est exactement la limite que le chapitre 1 annonçait sans la vérifier : le sommet concentre plus que ne le prolongerait la géométrique. Un modèle à un paramètre ne peut pas décrire à la fois le centre et les extrémités — et en matière d'inégalités, ce sont les extrémités qui intéressent.

!Le réflexe

Avant tout calcul, demandez-vous ce que l'indicateur utilise. Le rapport interdécile ne lit que deux des dix nombres du tableau ci-dessus : il ignore complètement ce qui se passe au-dessus de $D_{9}$ , c'est-à-dire précisément là où la richesse se concentre. C'est un indicateur robuste — il ne bouge pas si un milliardaire change de pays — mais aveugle.

15.2 Étape 2 — Toute la répartition en une courbe

15.2.1 Construire la courbe de Lorenz

Le chapitre 7 a défini la courbe de Lorenz à partir d'une fonction donnée d'avance. Ici, c'est l'inverse : on part des données et on fabrique la courbe.

Définition 15.2Courbe de Lorenz

La population étant rangée par revenu croissant, on note $L (x)$ la part du revenu total détenue par la proportion $x$ des individus les plus modestes. La courbe de $L$ sur $[0; 1]$ est la courbe de Lorenz. Elle passe toujours par $(0; 0)$ et $(1; 1)$ .

Avec des déciles, on obtient onze points : le $k$ -ième a pour abscisse $k /10$ et pour ordonnée la somme des $k$ premières parts. Sur les données françaises :

$x L (x) 00 0, 1 0, 035 0, 2 0, 088 0, 3 0, 151 0, 4 0, 224 0, 5 0, 307 0, 6 0, 400 0, 7 0, 504 0, 8 0, 623 0, 9 0, 763 11$

15.2.2 Croissante et convexe : ce n'est pas une coïncidence

Proposition 15.3Deux propriétés obligatoires

Une courbe de Lorenz est nécessairement croissante et convexe sur $[0; 1]$ . Il en résulte qu'elle est toujours au-dessous de la droite $y = x$ .

Démonstration

Croissance. Ajouter des individus à un groupe ne peut qu'augmenter la masse cumulée : si $a < b$ , alors $L (a) \leq L (b)$ .

Convexité. Sur la ligne brisée des déciles, la pente du $k$ -ième segment vaut

$\frac{L ( k /10 ) - L (( k - 1 ) /10 )}{1/10} = 10 p_{k},$

c'est-à-dire dix fois la part du $k$ -ième décile. Or la population a été rangée par revenu croissant : les parts $p_{k}$ croissent, donc les pentes croissent, donc la ligne brisée est convexe. C'est la définition même de la convexité par les pentes des sécantes, vue au chapitre 5.

Sous la diagonale. Les points $(0; 0)$ et $(1; 1)$ appartiennent à la courbe, et la sécante qui les joint est la droite $y = x$ . Une fonction convexe est au-dessous de ses sécantes : donc $L (x) \leq x$ sur $[0; 1]$ . $□$

!AttentionUne courbe de Lorenz non convexe est une faute

Si un calcul produit une courbe qui n'est pas convexe, ce n'est pas une propriété exotique de la population étudiée : c'est une erreur. Elle signifie que les individus ne sont plus rangés par revenu croissant — un morceau concave voudrait dire qu'une tranche « suivante » gagne moins que la précédente. Il faut alors reclasser, pas publier. Nous en verrons un cas concret avec les politiques de redistribution : un transfert social mal conçu produit exactement ce défaut, et le défaut révèle le problème politique.

Proposition 15.4Ce que dit la pente

En un rang $x$ , la dérivée $L^{'} (x)$ est le revenu de l'individu de rang $x$ divisé par le revenu moyen de la population.

Démonstration

Prenons une tranche de rangs entre $a$ et $b$ , d'effectif $(b - a) n$ si $n$ est la population totale, et de masse $(L (b) - L (a)) T$ si $T$ est le revenu total. Le revenu moyen de cette tranche vaut

$\frac{( L ( b ) - L ( a ) ) T}{( b - a ) n} = \frac{L ( b ) - L ( a )}{b - a} \times \frac{T}{n} = \frac{L ( b ) - L ( a )}{b - a} \times m,$

où $m = T / n$ est le revenu moyen général. Le taux d'accroissement de $L$ est donc le revenu moyen de la tranche rapporté à $m$ ; en faisant tendre $b$ vers $a$ , on obtient le résultat. $□$

Cette lecture donne tout son sens à la convexité : dire que $L^{'}$ croît, c'est dire que les revenus croissent avec le rang. Et le rang $x$ tel que $L^{'} (x) = 1$ est celui où l'on gagne exactement le revenu moyen — un point remarquable, que l'on calcule plus loin sur deux pays modèles.

Méthode : Lire une courbe de Lorenz

$L (0, 5)$ : part détenue par la moitié la plus modeste.
$1 - L (0, 9)$ : part détenue par les $10 %$ les plus aisés.
$L (b) - L (a)$ : part détenue par la tranche de rangs $[a; b]$ ; divisée par $b - a$ , elle donne le revenu moyen de la tranche en multiples de la moyenne.
Écart vertical à la diagonale, $x - L (x)$ : ce qui « manque » aux $100 x %$ les plus modestes pour atteindre l'égalité parfaite.

15.3 Étape 3 — L'inégalité devenue aire

15.3.1 L'indice de Gini

Définition 15.5Indice de Gini

Soit $A$ l'aire comprise entre la droite $y = x$ et la courbe de Lorenz, et $B$ l'aire comprise entre la courbe de Lorenz et l'axe des abscisses. L'indice de Gini est

$G = \frac{A}{A + B} .$

◆Théorème 15.6L'indice comme intégrale

$A + B$ est l'aire du triangle sous la diagonale, soit $\frac{1}{2}$ . Par conséquent

$G = 2 A = 2 \int_{0}^{1} (x - L (x)) d x = 1 - 2 \int_{0}^{1} L (x) d x .$

On a toujours $0 \leq G \leq 1$ : $G = 0$ correspond à l'égalité parfaite ( $L (x) = x$ ) et $G = 1$ à la concentration totale.

Démonstration

La courbe de Lorenz étant au-dessous de la diagonale, la formule de l'aire entre deux courbes du chapitre 7 donne $A = \int_{0}^{1} (x - L (x)) d x$ . Comme $A + B = \frac{1}{2}$ , on obtient $G = 2 A$ . Enfin

$2 \int_{0}^{1} (x - L (x)) d x = 2 ([\frac{x ^{2}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} L (x) d x) = 1 - 2 \int_{0}^{1} L (x) d x . □$

15.3.2 Calculer $G$ sur des données : les trapèzes

Sur des données réelles, on ne connaît pas $L$ ; on connaît seulement quelques points. On approche donc l'intégrale par la méthode des trapèzes du chapitre 7.

Méthode : L'indice de Gini par trapèzes

Si l'on dispose des valeurs $L_{0} = 0, L_{1}, \dots, L_{n} = 1$ aux abscisses $0, \frac{1}{n}, \dots, 1$ , alors

$\int_{0}^{1} L (x) d x \approx \frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 \frac{L _{k} + L _{k + 1}}{2}, d’o u ˋ G \approx 1 - \frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 (L_{k} + L_{k + 1}) .$

Sur les dix déciles français, la somme des dix termes $L_{k} + L_{k + 1}$ vaut $7, 190$ (on peut l'écrire $2 (L_{1} + \dots + L_{9}) + L_{10} = 2 \times 3, 095 + 1$ ), donc

$G \approx 1 - \frac{7 , 190}{10} = 1 - 0, 719 = 0, 281.$


def gini_trapezes(L):
    # L = [0, L1, ..., 1] sur une grille reguliere de pas 1/n.
    n = len(L) - 1
    somme = sum(L[k] + L[k + 1] for k in range(n))
    return 1 - somme / n

parts = [3.5, 5.3, 6.3, 7.3, 8.3, 9.3, 10.4, 11.9, 14.0, 23.7]
L, cumul = [0.0], 0.0
for p in parts:
    cumul = cumul + p
    L.append(cumul / 100)

print([round(v, 3) for v in L])   # [0.0, 0.035, ..., 0.763, 1.0]
print(round(gini_trapezes(L), 3)) # 0.281

15.3.3 Grouper, c'est sous-estimer

Proposition 15.7Le sens de l'erreur

Calculé sur des données groupées en tranches, l'indice de Gini est toujours inférieur ou égal à sa valeur vraie. Plus les tranches sont fines, plus on s'en approche.

Démonstration

Grouper, c'est remplacer la vraie courbe par la ligne brisée qui joint ses points de découpe — autrement dit par ses cordes. Or une fonction convexe est au-dessous de ses cordes (chapitre 5) : la ligne brisée est donc au-dessus de la vraie courbe. L'intégrale $\int_{0}^{1} L$ calculée sur la ligne brisée est ainsi trop grande, donc $A = \frac{1}{2} - \int_{0}^{1} L$ est trop petite, donc $G = 2 A$ est sous-estimé. $□$

L'écart a un sens très concret : c'est l'inégalité à l'intérieur des tranches, que le regroupement efface. Sur la France :

$5 quintiles 0, 266 < 10 d e ˊ ciles 0, 281 < indice publi e ˊ, calcul e ˊ individu par individu 0, 294 .$

Les $0, 013$ manquants entre les déciles et l'indice publié sont, pour l'essentiel, l'inégalité à l'intérieur du dernier décile — la partie de la distribution que nous allons justement modéliser à l'étape suivante.

15.4 Étape 4 — Le haut de la distribution : la loi de Pareto

15.4.1 Une loi qui se voit à la règle

À la fin du XIX^e siècle, l'économiste Vilfredo Pareto remarque que le haut des distributions de revenus obéit à une régularité frappante : la part détenue par les plus riches ne dépend que de la proportion considérée, à une puissance près.

Définition 15.8Loi de Pareto

On dit que le haut de la distribution suit une loi de Pareto d'exposant $α > 1$ si la part $S (p)$ du revenu total détenue par les $100 p %$ les plus riches vaut

$S (p) = p^{β}, avec β = 1 - \frac{1}{α} donc α = \frac{1}{1 - β}, 0 < β < 1.$

Le logarithme (chapitre 3) transforme cette relation en droite :

$S (p) = p^{β} ⟺ ln S (p) = β ln p .$

Il suffit donc de porter $ln S$ en fonction de $ln p$ : si les points s'alignent, la loi de Pareto convient, et la pente de la droite est l'exposant $β$ . C'est un ajustement affine, exactement l'outil du chapitre 10.

15.4.2 Puissances d'exposant quelconque

Le calcul qui suit demande de dériver et de primitiver $x \mapsto x^{n}$ pour un $n$ réel, et non plus entier. Le logarithme le permet.

Méthode : Puissances réelles

Pour $x > 0$ et $n$ réel, on pose $x^{n} = e^{n l n x}$ . Alors

$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1} et, si n \neq = - 1, \int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C .$

Démonstration

La fonction $x \mapsto x^{n} = e^{u (x)}$ avec $u (x) = n ln x$ a pour dérivée $u^{'} (x) e^{u (x)} = \frac{n}{x} x^{n} = n x^{n - 1}$ , d'après la dérivée de $e^{u}$ (chapitre 4). En appliquant ce résultat à l'exposant $n + 1$ :

$(\frac{x ^{n + 1}}{n + 1})^{'} = \frac{( n + 1 ) x ^{n}}{n + 1} = x^{n},$

donc $x \mapsto \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ est bien une primitive de $x \mapsto x^{n}$ (chapitre 6). $□$

15.4.3 L'indice de Gini d'une loi de Pareto

◆Théorème 15.9Gini de Pareto

Si le haut de la distribution suit $S (p) = p^{β}$ , la courbe de Lorenz est

$L (x) = 1 - (1 - x)^{β}, et G = \frac{1 - β}{1 + β} = \frac{1}{2 α - 1} .$

Démonstration

La courbe. Les $100 x %$ les plus modestes détiennent tout ce que ne détiennent pas les $100 (1 - x) %$ les plus riches : $L (x) = 1 - S (1 - x) = 1 - (1 - x)^{β}$ .

L'aire. La fonction $x \mapsto - \frac{( 1 - x ) ^{β + 1}}{β + 1}$ a pour dérivée

$- \frac{( β + 1 ) \times ( - 1 ) \times ( 1 - x ) ^{β}}{β + 1} = (1 - x)^{β},$

(dérivée d'une composée, chapitre 4, avec la règle sur les puissances réelles), c'est donc une primitive de $x \mapsto (1 - x)^{β}$ . Ainsi

$\int_{0}^{1} L (x) d x = \int_{0}^{1} (1 - (1 - x)^{β}) d x = 1 - [- \frac{( 1 - x ) ^{β + 1}}{β + 1}]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{β + 1} = \frac{β}{β + 1} .$

D'où $G = 1 - \frac{2 β}{β + 1} = \frac{1 - β}{1 + β}$ . Enfin, en remplaçant $β$ par $1 - \frac{1}{α}$ :

$G = \frac{\frac{1}{α}}{2 - \frac{1}{α}} = \frac{1}{2 α - 1} . □$

Exemple 15.10La règle des «

80/20

« Les $20 %$ les plus riches détiennent $80 %$ du revenu. » Si l'on prend cette formule au sérieux comme loi de Pareto, alors $S (0, 20) = 0, 80$ , donc

$β = \frac{ln 0 , 80}{ln 0 , 20} = \frac{- 0 , 2231}{- 1 , 6094} \approx 0, 139, α = \frac{1}{1 - β} \approx 1, 16.$

La loi se propage alors à toutes les échelles : la part du $1 %$ vaut $0, 0 1^{0, 139} \approx 0, 528$ et celle du $0, 1 %$ vaut $0, 384$ . Et l'indice de Gini serait $G = \frac{1 - β}{1 + β} \approx 0, 76$ , un niveau qu'aucun pays n'atteint. La règle des $80/20$ est un slogan, pas une description.

!AttentionNe jamais extrapoler hors du domaine ajusté

Une loi de Pareto est ajustée sur le haut de la distribution, typiquement entre le dernier décile et le millième supérieur. Rien ne garantit qu'elle décrive le reste : si l'on prolonge $S (p) = p^{β}$ jusqu'à $p = 1$ , on obtient $S (1) = 1$ , ce qui est correct par construction, mais la forme de la courbe au milieu du classement n'a aucune raison d'être juste. L'étude de la famille $L (x) = x^{n}$ le montre en chiffres.

15.5 Étape 5 — Comparer

15.5.1 Deux pays

Voici quelques indices de Gini du revenu disponible, publiés par la Banque mondiale et l'OCDE, arrondis au centième :

$pays G Slovaquie 0, 24 France 0, 29 E ˊ tats-Unis 0, 40 Br e ˊ sil 0, 52 Afrique du Sud 0, 63$

!AttentionComparer ce qui est comparable

Un indice de Gini n'a de sens qu'accompagné de trois précisions : quel revenu (primaire ? disponible ? patrimoine ?), sur qui (individus ? ménages ?), et avant ou après impôts et prestations. Le Gini du patrimoine est partout très supérieur à celui du revenu — il dépasse $0, 6$ en France. Deux chiffres tirés de sources différentes ne se comparent pas, même s'ils portent le même nom.

15.5.2 Un même pays, avant et après redistribution

Le modèle le plus simple de redistribution est le suivant : on prélève une fraction $λ$ de chaque revenu, et on redistribue la somme collectée à parts égales.

◆Théorème 15.11Effet d'un transfert universel

Soit $λ \in [0; 1]$ . Si chaque revenu $y$ devient $(1 - λ) y + λ m$ (où $m$ est le revenu moyen), alors la nouvelle courbe de Lorenz est

$L_{λ} (x) = (1 - λ) L (x) + λ x, et G_{λ} = (1 - λ) G .$

Démonstration

Le total est conservé. La somme des nouveaux revenus vaut $(1 - λ) n m + λ n m = n m$ : la moyenne est inchangée.

L'ordre est conservé. L'application $y \mapsto (1 - λ) y + λm$ est croissante : le classement des individus ne change pas, il n'y a donc pas à reclasser.

La courbe. Pour les $x n$ individus les plus modestes, la masse cumulée devient $(1 - λ) L (x) nm + x n λ m$ ; en divisant par la masse totale $nm$ :

$L_{λ} (x) = (1 - λ) L (x) + λ x .$

L'indice. Par linéarité de l'intégrale,

$G_{λ} = 2 \int_{0}^{1} (x - L_{λ} (x)) d x = 2 \int_{0}^{1} (1 - λ) (x - L (x)) d x = (1 - λ) G . □$

!Le réflexe

Ce théorème généralise le calcul du chapitre 7, où l'on prenait la moyenne entre la courbe et la diagonale : c'est le cas $λ = \frac{1}{2}$ , qui divise l'indice par deux. Retenez la forme générale : un transfert universel multiplie l'indice de Gini par $1 - λ$ , quelle que soit la courbe de départ.

Exemple 15.12L'ordre de grandeur français

L'INSEE estime que le système socio-fiscal fait passer l'indice de Gini du revenu, en France, d'environ $0, 37$ avant redistribution à environ $0, 29$ après. Si toute cette réduction était produite par un transfert universel, il faudrait

$1 - λ = \frac{0 , 29}{0 , 37} \approx 0, 784, soit λ \approx 0, 22.$

Un prélèvement de $22 %$ redistribué à parts égales aurait le même effet global. La redistribution réelle est bien sûr plus fine — et, on va le voir, plus efficace à coût égal.

15.6 Étape 6 — Ce que l'indice de Gini ne dit pas

Un indice unique est un résumé, et tout résumé perd de l'information. Voici, en chiffres exacts, ce qu'il perd.

Proposition 15.13Répartitions à deux classes

Supposons qu'une proportion $s$ de la population (les plus aisés) détienne une part $1 - t$ du revenu, chacun des deux groupes se partageant sa part à égalité. La courbe de Lorenz est alors la ligne brisée joignant $(0; 0)$ , $(1 - s; t)$ et $(1; 1)$ , et

$G = 1 - s - t .$

Cette ligne est convexe si et seulement si $s + t \leq 1$ .

Démonstration

L'aire sous la ligne brisée est celle de deux trapèzes :

$\int_{0}^{1} L = \frac{( 1 - s ) ( 0 + t )}{2} + \frac{s ( t + 1 )}{2} = \frac{t - s t + s t + s}{2} = \frac{s + t}{2},$

d'où $G = 1 - 2 \int_{0}^{1} L = 1 - s - t$ . Les deux pentes valent $\frac{t}{1 - s}$ puis $\frac{1 - t}{s}$ ; la convexité demande la première inférieure à la seconde, soit $s t \leq (1 - t) (1 - s) = 1 - s - t + s t$ , c'est-à-dire $s + t \leq 1$ . $□$

Cette formule est une machine à fabriquer des contre-exemples : il suffit de choisir deux couples $(s; t)$ de même somme.

Exemple 15.14Deux pays, même indice, rien à voir

Pays « élite » : $s = 0, 05$ et $t = 0, 55$ . Les $95 %$ du bas se partagent également $55 %$ du revenu — chacun gagne $0, 58$ fois la moyenne — et les $5 %$ du haut se partagent $45 %$ , soit $9$ fois la moyenne chacun.
Pays « fracture » : $s = 0, 50$ et $t = 0, 10$ . Une moitié se partage $10 %$ du revenu ( $0, 2$ fois la moyenne chacun), l'autre moitié $90 %$ ( $1, 8$ fois la moyenne).

Dans les deux cas $s + t = 0, 60$ , donc $G = 0, 40$ exactement. Pourtant les $10 %$ les plus aisés détiennent $47, 9 %$ du revenu dans le premier pays contre $18 %$ dans le second, et la moitié la plus modeste $28, 9 %$ contre $10 %$ . Les deux courbes se croisent en $x \approx 0, 655$ .

!Le réflexe

Un indice de Gini ne permet de classer deux pays que si leurs courbes de Lorenz ne se croisent pas. Quand elles se croisent, l'un est plus inégalitaire en bas et l'autre en haut, et aucun nombre unique ne peut trancher. C'est pourquoi les publications sérieuses donnent toujours le Gini accompagné d'au moins deux lectures directes : la part de la moitié la plus modeste, et celle du dernier décile ou du dernier centile.

15.7 Bilan

Proposition 15.15L'essentiel du thème

Les quantiles découpent la population ; ne pas confondre un seuil (en euros, comme $D_{9}$ ) et une masse (en %, comme la part du dernier décile). Le rapport interdécile $D_{9} / D_{1}$ est robuste, mais il n'utilise que deux nombres et ignore le sommet.
La courbe de Lorenz $L$ résume toute la répartition. Elle joint $(0; 0)$ à $(1; 1)$ , elle est croissante et convexe — une courbe non convexe signale un classement erroné, jamais une propriété du pays. Sa pente $L^{'} (x)$ est le revenu du rang $x$ divisé par la moyenne.
L'indice de Gini est une aire : $G = 2 \int_{0}^{1} (x - L (x)) d x = 1 - 2 \int_{0}^{1} L$ . Sur des données groupées, on l'approche par trapèzes : $G \approx 1 - \frac{1}{n} \sum_{k} (L_{k} + L_{k + 1})$ .
Grouper sous-estime toujours $G$ , parce qu'une courbe convexe passe sous ses cordes : $0, 266$ (quintiles) $<$ $0, 281$ (déciles) $<$ $0, 294$ (individus) pour la France. L'écart est l'inégalité interne aux tranches.
La loi de Pareto $S (p) = p^{β}$ décrit le haut de la distribution. Elle se reconnaît à l'alignement des points $(ln p; ln S)$ , la pente donnant $β$ , puis $α = \frac{1}{1 - β}$ et $G = \frac{1 - β}{1 + β} = \frac{1}{2 α - 1}$ . Elle ne vaut que sur la plage ajustée.
Un transfert universel de taux $λ$ transforme $L$ en $(1 - λ) L + λ x$ et multiplie $G$ par $1 - λ$ . À coût égal, un transfert dégressif réduit bien davantage l'indice — mais un transfert à seuil casse la convexité, et donc le classement.
Enfin, deux répartitions très différentes peuvent avoir le même indice : pour une société à deux classes, $G = 1 - s - t$ , et il suffit de deux couples de même somme. Un indice ne départage deux pays que si leurs courbes ne se croisent pas. Toujours donner, avec le Gini, au moins la part de la moitié la plus modeste et celle du dernier décile.

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Thème 5 — Répartition des richesses, inégalités

Méthode : Le déroulé de l'étude

15.1 Étape 1 — Découper la population

15.1.1 Quantiles, déciles, rapport interdécile

15.1.2 Les dix nombres qui décrivent la France

15.2 Étape 2 — Toute la répartition en une courbe

15.2.1 Construire la courbe de Lorenz

15.2.2 Croissante et convexe : ce n'est pas une coïncidence

Méthode : Lire une courbe de Lorenz

15.3 Étape 3 — L'inégalité devenue aire

15.3.1 L'indice de Gini

15.3.2 Calculer G sur des données : les trapèzes

Méthode : L'indice de Gini par trapèzes

15.3.3 Grouper, c'est sous-estimer

15.4 Étape 4 — Le haut de la distribution : la loi de Pareto

15.4.1 Une loi qui se voit à la règle

15.4.2 Puissances d'exposant quelconque

Méthode : Puissances réelles

15.4.3 L'indice de Gini d'une loi de Pareto

15.5 Étape 5 — Comparer

15.5.1 Deux pays

15.5.2 Un même pays, avant et après redistribution

15.6 Étape 6 — Ce que l'indice de Gini ne dit pas

15.7 Bilan

15.3.2 Calculer $G$ sur des données : les trapèzes