Vocabulaire ensembliste et logique

Les deux symboles ne relient pas les mêmes objets. Le symbole $\in$ relie un élément à un ensemble ; le symbole $\subset$ relie deux ensembles. Ainsi $2\in \mathbb{N}$ et $\{2\}\subset \mathbb{N}$ sont corrects, tandis que $2\subset \mathbb{N}$ et $\{2\}\in \mathbb{N}$ ne veulent rien dire.

Au chapitre 8, la démonstration de l'absence de mémoire de la loi géométrique repose sur une phrase d'inclusion : « l'événement $(X>n+m)$ est inclus dans $(X>n)$ : attendre plus de $n+m$ épreuves, c'est en particulier en attendre plus de $n$ ». Autrement dit $(X>n+m)\subset (X>n)$, et c'est ce qui permet d'écrire $(X>n+m)\cap (X>n)=(X>n+m)$, puis de simplifier la probabilité conditionnelle. Le chapitre 9 refait le même geste avec $(T>a+s)\subset (T>a)$, et l'exercice de la loi binomiale avec $(X=1)\subset (X\ge 1)$.

Le programme autorise les deux écritures. On préfère $\overline{A}$ en probabilités, où l'ensemble $E$ est l'univers et n'a pas besoin d'être rappelé : c'est la notation du chapitre 16, où $\overline{A}$ désigne « la cause $A$ n'a pas eu lieu ». On préfère $E\setminus A$ quand on retire une partie d'un ensemble qu'il faut nommer, par exemple $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ pour l'ensemble de définition de $x\mapsto \frac{1}{x}$.

Avant toute étude de fonction, on écrit l'ensemble de définition, et on vérifie que c'est bien un intervalle — ou qu'on travaille sur chacun de ses morceaux séparément. Le chapitre 6 en tire la conséquence : deux primitives d'une même fonction ne diffèrent d'une constante que sur un intervalle.

Un couple n'est pas un ensemble à deux éléments. L'ordre compte : $(1;12)\ne (12;1)$, alors que $\{1;12\}=\{12;1\}$. Et une composante peut se répéter : $(3;3)$ est un couple parfaitement légitime.

Une série statistique double est, mot pour mot, « une liste de $n$ couples $(x_1;y_1),\dots ,(x_n;y_n)$ », et le nuage de points est l'ensemble des points $M_i(x_i;y_i)$. L'ordre est ici la chose la plus importante du chapitre : $(x_i;y_i)$ signifie « la dose reçue puis la baisse de tension du même patient ». Échanger les deux composantes change le nuage, change la droite des moindres carrés — la droite de $y$ en $x$ n'est pas celle de $x$ en $y$ — et ne change pourtant pas le coefficient $r$.

Le même chapitre parle aussi du couple $(a;b)$ formé de la pente et de l'ordonnée à l'origine, et note que numpy.polyfit(x, y, 1) « renvoie le couple $(a,b)$ ».

Soit $A$ et $B$ deux événements d'un même univers.

• Chapitre 8, loi binomiale : « ces chemins sont deux à deux incompatibles — on ne peut en suivre qu'un —, donc la probabilité de leur réunion est la somme de leurs probabilités ». Traduction : les événements sont disjoints deux à deux, donc $P$ de la réunion $=$ somme des $P$.
• Chapitre 9, absence de mémoire : $P_{(T>a)}(T>a+s)=\frac{P((T>a+s)\cap (T>a))}{P(T>a)}$. L'écriture $\cap$ vient de la définition même d'une probabilité conditionnelle.
• Chapitre 16, probabilités totales : « les deux événements $B\cap A$ et $B\cap \overline{A}$ sont incompatibles […] et leur réunion est $B$ tout entier ».

Pour tout événement $A$ de $E$, on a $A\cap \overline{A}=\varnothing$ et $A\cup \overline{A}=E$. On dit que $\{A;\overline{A}\}$ est une partition de $E$. Il en résulte, pour tout événement $B$,

$$B=(B\cap A)\cup (B\cap \overline{A})\text{avec}(B\cap A)\cap (B\cap \overline{A})=\varnothing ,$$

d'où la formule des probabilités totales du chapitre 16.

Dans la vie, « fromage ou dessert » veut dire l'un ou l'autre, pas les deux : le « ou » y est exclusif. En mathématiques, il est toujours inclusif. C'est pourquoi, en dénombrant, on retire ce qu'on a compté deux fois :

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B),$$

et pourquoi le chapitre 8 précise « deux à deux incompatibles » avant d'additionner les probabilités des chemins : c'est seulement quand $A\cap B=\varnothing$ que le terme correctif disparaît.

« $\ln 1=0$ » est une proposition, et elle est vraie (chapitre 3). « La suite $(0,5^n)$ converge » est une proposition, vraie (chapitre 1). « $\ln x>0$ » n'est pas une proposition tant que $x$ n'est pas fixé : c'est un énoncé qui dépend d'une variable, et il devient vrai ou faux une fois $x$ donné — vrai pour $x=2$, faux pour $x=0,5$.

Une variable sert à énoncer d'un coup une infinité de propositions. « $e^x\ge x+1$ » n'a de sens que si l'on dit pour quels $x$ : la formulation complète du chapitre 5 est « pour tout $x\in \mathbb{R}$, $e^x\ge x+1$ ». Nommer la variable et dire où elle vit, c'est la moitié du travail de rédaction.

Les hypothèses d'un théorème sont presque toujours reliées par « et ». Le théorème des valeurs intermédiaires (chapitre 2) suppose que « $f$ est continue sur $[a,b]$ et $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ » ; la version avec unicité ajoute « et $f$ est strictement monotone ». La loi binomiale (chapitre 8) suppose « $n$ épreuves indépendantes et de même probabilité de succès ». Retirer une seule de ces conditions détruit la conclusion : c'est cela, un « et ».

Au chapitre 4, l'étude d'un pic d'ozone conduit à $f(t)\le 120⟺t\in [0;t_1]\cup [t_2;12]$. Le « ou » est ici celui de la réunion : la concentration est acceptable avant $t_1$ ou après $t_2$.

• La négation de « $a=b$ » est « $a\ne b$ » ; celle de « $a\le b$ » est « $a>b$ » ; celle de « $a<b$ » est « $a\ge b$ ».
• La négation de « $P$ et $Q$ » est « (non $P$) ou (non $Q$) ».
• La négation de « $P$ ou $Q$ » est « (non $P$) et (non $Q$) ».

La négation d'un « et » n'est pas un « et ». Pour qu'une conjonction soit fausse, il suffit qu'une des deux conditions tombe — d'où le « ou ». C'est l'erreur la plus fréquente sur les négations, et elle est facile à vérifier sur un exemple concret : la négation de « $0<q$ et $q\le 1$ » est « $q\le 0$ ou $q>1$ », et non « $q\le 0$ et $q>1$ », qui n'est jamais vraie.

Le programme limite explicitement cet exercice aux propositions simples, c'est-à-dire sans implication ni quantificateur. On ne demande donc pas de nier « si $P$ alors $Q$ » ; on demande de nier « $x\ge 3$ et $y<1$ », ce qui est déjà utile partout — ne serait-ce que pour lire un tableau de signes.

• « Si $f^{\prime \prime }(a)=0$, la courbe admet un point d'inflexion en $a$ » est fausse : pour $f(x)=x^4$, on a $f^{\prime \prime }(x)=12x^2$, donc $f^{\prime \prime }(0)=0$, mais $f^{\prime \prime }$ reste positive de part et d'autre et la courbe n'a pas d'inflexion (chapitre 5).
• « Un coefficient de corrélation proche de $1$ garantit que le nuage est aligné » est fausse : les quatre jeux d'Anscombe (chapitre 10) ont le même $r\approx 0,82$, la même droite des moindres carrés, et l'un d'eux est nettement courbé.
• « Une fonction dont la dérivée est nulle est constante » est fausse si l'on oublie le mot intervalle : sur $]-\infty ;0[\cup ]0;+\infty [$, la fonction qui vaut $1$ à droite et $-1$ à gauche est un contre-exemple (chapitre 4).

Si « $P\Rightarrow Q$ » est vraie, $P$ est une condition suffisante pour $Q$ (il suffit d'avoir $P$), et $Q$ une condition nécessaire pour $P$ (il faut avoir $Q$). « Il faut et il suffit » annonce une équivalence.

Une implication et sa réciproque sont deux propositions différentes, et rien ne les relie : chacune peut être vraie ou fausse indépendamment de l'autre. Confondre les deux, c'est déduire de « point d'inflexion $\Rightarrow$ $f^{\prime \prime }(a)=0$ » que toute annulation de $f^{\prime \prime }$ donne une inflexion — l'erreur que le chapitre 5 signale explicitement, contre-exemple $x^4$ à l'appui.

• Chapitre 3. La définition même du logarithme est une équivalence : pour $x>0$ et $y\in \mathbb{R}$, $\ln x=y⟺x=e^y$. C'est elle qui permet de passer d'une équation à l'autre sans rien perdre.
• Chapitre 5. « $f$ convexe sur $I$ » $⟺$ « la courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes » $⟺$ « $f^{\prime }$ croissante », c'est-à-dire $f^{\prime \prime }\ge 0$. Trois propositions, une seule propriété — le programme les admet équivalentes.
• Chapitre 18. « $X$ suit une loi géométrique » $⟺$ « le taux de panne $p_n$ est constant ». La démonstration du livre fait bien les deux sens, et le second commence par le mot « Réciproquement » : c'est la signature d'une équivalence démontrée.

Dans une chaîne de calculs, la flèche a un sens. Passer de $\ln x=3$ à $x=e^3$ est une équivalence (chapitre 3) ; passer de $x=2$ à $x^2=4$ est une implication dont la réciproque est fausse. Élever au carré, multiplier par une quantité de signe inconnu, appliquer une fonction non strictement monotone : autant de gestes qui ne conservent pas l'équivalence.

On rencontre parfois les abréviations $\forall$ (« pour tout ») et $\exists$ (« il existe »). Le programme précise qu'elles ne sont pas exigibles : dans ce livre, comme au baccalauréat, on écrit en français. Il est simplement utile de savoir les lire si on les croise dans un manuel ou une notice.

• Chapitre 6. « $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ lorsque $F$ est dérivable et que $F^{\prime }(x)=f(x)$ pour tout $x$ de $I$. » L'égalité seule ne définirait rien : c'est le « pour tout » qui fait la définition.
• Chapitre 9. L'absence de mémoire s'énonce : « pour tous $a\ge 0$ et $s\ge 0$, $P_{(T>a)}(T>a+s)=P(T>s)$ ». Deux variables, une seule quantification universelle qui porte sur les deux — et c'est justement cette généralité qui rend la propriété si contraignante.
• Chapitre 2. Le théorème des valeurs intermédiaires enchaîne les deux : « pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $x$ dans $[a,b]$ tel que $f(x)=k$ ». Le « au moins une solution » de l'énoncé est exactement le « il existe ».
• Chapitre 17. « Pour tout $p$ de $[0;1]$, $p(1-p)\le \frac{1}{4}$ » : c'est ce « pour tout » qui autorise à majorer la marge sans connaître $p$.

Dire qu'une affirmation universelle est fausse, c'est dire qu'un cas au moins lui échappe : la négation de « pour tout $x$, $P(x)$ » se lit « il existe $x$ tel que non $P(x)$ ». C'est exactement le principe du contre-exemple, et la raison pour laquelle un seul suffit.

Attention à ne pas la confondre avec « pour tout $x$, non $P(x)$ », qui affirme beaucoup plus. La négation de « tous les termes de la suite sont positifs » est « il existe un rang $n$ tel que $u_n\le 0$ », et non « tous les termes sont négatifs ». Le programme demande de savoir lire et écrire de telles propositions ; il ne demande pas de mener des calculs formels de négation sur des énoncés quantifiés.

Beaucoup d'énoncés du livre taisent leur « pour tout ». « $e^x\ge x+1$ » veut dire « pour tout réel $x$ » ; « $\ln x\le x-1$ » veut dire « pour tout $x>0$ » ; « $f^{\prime \prime }\ge 0$ sur $I$ » veut dire « pour tout $x$ de $I$, $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ ». Avant de démontrer ou de réfuter, on rétablit le quantificateur : c'est lui qui dit ce qu'il y a à faire.

Le $\Sigma$ sert à écrire concisément, non à calculer. Le chapitre 8 le dit mot pour mot à propos de ${\sum }_i{p}_i=1$ : « le symbole $\Sigma$ sert ici à écrire une somme de façon compacte, non à la calculer ; toutes les sommes rencontrées seront écrites terme à terme dès qu'il faudra les évaluer ». Aucune technique de manipulation de sommes n'est au programme.

• Chapitre 8. ${\sum }_i{p}_i=1$ et $E(X)={\sum }_i{x}_i{p}_i$.
• Chapitre 10. Les moyennes $\bar{x}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i$, la covariance $\mathrm{cov}(x,y)=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$, et la pente des moindres carrés

$$a=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}.$$

Écrire cette formule sans $\Sigma$ prendrait trois lignes de points de suspension.

• Chapitre 15. L'indice de Gini approché par la méthode des trapèzes : $G\approx 1-\frac{1}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}(L_k+L_{k+1})$, où l'indice démarre à $0$ et s'arrête à $n-1$.

Deux détails se lisent sous le $\Sigma$ et au-dessus : où l'indice commence, où il s'arrête. ${\sum }_{k=0}^{n-1}$ compte $n$ termes, pas $n-1$. Et l'indice étant muet, ${\sum }_{i=1}^n{x}_i$ et ${\sum }_{k=1}^n{x}_k$ sont le même nombre ; en revanche $\bar{x}$ n'a pas d'indice, car ce n'est pas un terme de la somme mais son résultat.

• $x\in A$ relie un élément à un ensemble, $A\subset E$ relie deux ensembles. $A\cap B$ est le « et », $A\cup B$ le « ou » inclusif, $\overline{A}$ (ou $E\setminus A$) le contraire.
• Les intervalles sont les parties de $\mathbb{R}$ « d'un seul tenant » ; une réunion de deux intervalles disjoints n'en est pas un, et tous les théorèmes d'analyse du livre exigent un intervalle.
• Un couple est ordonné : $(x_i;y_i)$ n'est pas $(y_i;x_i)$. Un nuage de points est un ensemble de couples.
• En probabilités, « et » $=\cap$, « ou » $=\cup$, « contraire » $=\overline{A}$, « incompatibles » $=$ intersection vide, « si $A$ alors $B$ » $=A\subset B$. La partition $E=A\cup \overline{A}$ est ce qui fait marcher la formule des probabilités totales.
• La négation d'un « et » est un « ou », et réciproquement. Le programme ne demande de nier que des propositions simples.
• Un contre-exemple suffit à réfuter ; aucun nombre d'exemples ne démontre.
• Une implication et sa réciproque sont indépendantes. On n'écrit $\iff$ que si les deux sens sont acquis. « $f^{\prime \prime }(a)=0$ » est nécessaire, pas suffisant, pour une inflexion.
• Les quantifications s'écrivent en français : « pour tout », « il existe » ($\forall$ et $\exists$ ne sont pas exigibles). Nier un « pour tout » se lit « il existe un contre-exemple ».
• Le symbole $\Sigma$ sert à écrire une somme, pas à la calculer : on revient aux termes dès qu'il faut un nombre.