Vocabulaire ensembliste et logique

Cours · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 20 · terminale, option mathématiques complémentaires · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Deux ensembles A et B et leur intersection.

Ce chapitre est le dernier du livre, et ce n'est pas un hasard. Le programme demande que les notations mathématiques et la logique soient d'abord travaillées « dans des contextes où elles se présentent naturellement », puis reprises « après avoir été rencontrées plusieurs fois en situation ». C'est exactement ce qui vient de se passer : depuis le chapitre 1, on a écrit $n \in N$ , on a défini $ln$ sur $] 0; + \infty [$ , on a calculé $P (A \cap B)$ , on a démontré des implications et une équivalence, on a réfuté des affirmations par un contre-exemple, et on a écrit des sommes avec un $Σ$ . Tout est déjà là.

Ce que ce chapitre apporte. Non pas des notions nouvelles, mais des noms. Chaque paragraphe part d'un énoncé réellement écrit dans les dix-neuf chapitres précédents, et lui donne son statut : ceci est une intersection, ceci est une implication dont la réciproque est fausse, ceci est une quantification universelle sur deux variables. Le lecteur a tout lu : on peut désormais s'y référer sans précaution.

Problématique. Qu'est-ce qu'on a écrit, au juste, pendant dix-neuf chapitres — et comment l'écrire de façon que cela ne veuille dire qu'une seule chose ?

20.1 Ensembles, intervalles, couples

20.1.1 Appartenance et inclusion

Définition 20.1Élément, appartenance, sous-ensemble, inclusion

Un ensemble est une collection d'objets, appelés ses éléments. Si l'objet $x$ est un élément de l'ensemble $E$ , on écrit $x \in E$ ( $x$ appartient à $E$ ) ; sinon $x \in / E$ .

Un ensemble $A$ est un sous-ensemble de $E$ , ou une partie de $E$ , lorsque tout élément de $A$ est aussi un élément de $E$ . On écrit alors $A \subset E$ ( $A$ est inclus dans $E$ ).

L'ensemble sans aucun élément est l'ensemble vide, noté $\emptyset$ .

!Attention

Les deux symboles ne relient pas les mêmes objets. Le symbole $\in$ relie un élément à un ensemble ; le symbole $\subset$ relie deux ensembles. Ainsi $2 \in N$ et ${2} \subset N$ sont corrects, tandis que $2 \subset N$ et ${2} \in N$ ne veulent rien dire.

Exemple 20.2Une inclusion qui a servi à démontrer

Au chapitre 8, la démonstration de l'absence de mémoire de la loi géométrique repose sur une phrase d'inclusion : « l'événement $(X > n + m)$ est inclus dans $(X > n)$ : attendre plus de $n + m$ épreuves, c'est en particulier en attendre plus de $n$ ». Autrement dit $(X > n + m) \subset (X > n)$ , et c'est ce qui permet d'écrire $(X > n + m) \cap (X > n) = (X > n + m)$ , puis de simplifier la probabilité conditionnelle. Le chapitre 9 refait le même geste avec $(T > a + s) \subset (T > a)$ , et l'exercice de la loi binomiale avec $(X = 1) \subset (X \geq 1)$ .

20.1.2 Réunion, intersection, complémentaire

Définition 20.3Intersection, réunion, complémentaire

Soit $E$ un ensemble et $A$ , $B$ deux parties de $E$ .

L'intersection $A \cap B$ est l'ensemble des éléments qui sont dans $A$ et dans $B$ .
La réunion $A \cup B$ est l'ensemble des éléments qui sont dans $A$ ou dans $B$ — au sens inclusif : être dans les deux convient.
Le complémentaire de $A$ dans $E$ est l'ensemble des éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$ . On le note $A$ , comme en probabilités, ou $E ∖ A$ .

Deux parties sont dites disjointes lorsque $A \cap B = \emptyset$ ; en probabilités, on dit alors que les événements sont incompatibles.

iRemarqueDeux notations pour le complémentaire, et pourquoi

Le programme autorise les deux écritures. On préfère $A$ en probabilités, où l'ensemble $E$ est l'univers et n'a pas besoin d'être rappelé : c'est la notation du chapitre 16, où $A$ désigne « la cause $A$ n'a pas eu lieu ». On préfère $E ∖ A$ quand on retire une partie d'un ensemble qu'il faut nommer, par exemple $R ∖ {0}$ pour l'ensemble de définition de $x \mapsto \frac{1}{x}$ .

20.1.3 Les ensembles de nombres et les intervalles

Définition 20.4Ensembles de nombres

On note $N$ l'ensemble des entiers naturels, $Z$ celui des entiers relatifs, $Q$ celui des nombres rationnels et $R$ celui des nombres réels. Ils sont emboîtés :

$N \subset Z \subset Q \subset R .$

Définition 20.5Intervalle

Un intervalle de $R$ est une partie de $R$ « d'un seul tenant » : dès qu'elle contient deux réels, elle contient tous ceux qui sont entre eux. On les note $[a; b]$ , $] a; b]$ , $[a; b [$ , $] a; b [$ , $[a; + \infty [$ , $] - \infty; b [$ , et ainsi de suite. Un crochet tourné vers l'intérieur inclut la borne, un crochet tourné vers l'extérieur l'exclut ; devant $+ \infty$ et $- \infty$ , le crochet est toujours tourné vers l'extérieur, car l'infini n'est pas un nombre.

!Le réflexe

Avant toute étude de fonction, on écrit l'ensemble de définition, et on vérifie que c'est bien un intervalle — ou qu'on travaille sur chacun de ses morceaux séparément. Le chapitre 6 en tire la conséquence : deux primitives d'une même fonction ne diffèrent d'une constante que sur un intervalle.

20.1.4 Le couple

Définition 20.6Couple

Un couple $(a; b)$ est la donnée de deux objets dans un ordre fixé : $a$ est la première composante, $b$ la seconde. Deux couples sont égaux lorsque les premières composantes sont égales et que les secondes le sont.

!Attention

Un couple n'est pas un ensemble à deux éléments. L'ordre compte : $(1; 12) \neq = (12; 1)$ , alors que ${1; 12} = {12; 1}$ . Et une composante peut se répéter : $(3; 3)$ est un couple parfaitement légitime.

Exemple 20.7Les couples du chapitre 10

Une série statistique double est, mot pour mot, « une liste de $n$ couples $(x_{1}; y_{1}), \dots, (x_{n}; y_{n})$ », et le nuage de points est l'ensemble des points $M_{i} (x_{i}; y_{i})$ . L'ordre est ici la chose la plus importante du chapitre : $(x_{i}; y_{i})$ signifie « la dose reçue puis la baisse de tension du même patient ». Échanger les deux composantes change le nuage, change la droite des moindres carrés — la droite de $y$ en $x$ n'est pas celle de $x$ en $y$ — et ne change pourtant pas le coefficient $r$ .

Le même chapitre parle aussi du couple $(a; b)$ formé de la pente et de l'ordonnée à l'origine, et note que numpy.polyfit(x, y, 1) « renvoie le couple $(a, b)$ ».

20.2 Le vocabulaire des ensembles est celui des probabilités

C'est là que le dictionnaire de la section précédente sert le plus. Un événement est une partie de l'univers, et les trois mots français « et », « ou », « contraire » deviennent trois opérations.

Proposition 20.8Le dictionnaire

Soit $A$ et $B$ deux événements d'un même univers.

« $A$ et $B$ sont réalisés »	$A \cap B$
« $A$ ou $B$ est réalisé » (au moins l'un des deux)	$A \cup B$
« $A$ n'est pas réalisé »	$A$
« $A$ et $B$ ne peuvent pas se produire ensemble »	$A \cap B = \emptyset$
« si $A$ est réalisé, alors $B$ l'est »	$A \subset B$

Exercices du chapitre

Traduire des phrases de probabilité corrigé
Le « ou » inclusif, et quand le terme correctif disparaît corrigé
Réfuter par un contre-exemple corrigé
Implication, réciproque, équivalence corrigé
Lire et écrire des quantifications, et un $Σ$ corrigé
Problème — Le théorème des valeurs intermédiaires, mot à mot corrigé

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