Thème 9 — Corrélation et causalité

Une agence du médicament doit décider si elle rembourse un traitement. Un rectorat doit décider s'il finance des heures de soutien. Un maire doit décider s'il installe un radar. Aucune de ces trois questions n'est une question de corrélation : ce sont des questions de causalité. Celui qui décide ne demande pas « ces deux grandeurs varient-elles ensemble ? » mais « si j'agis sur celle-ci, qu'arrive-t-il à celle-là ? ». Et cette seconde question, le chapitre 10 l'a laissée sans réponse.

Il a fait mieux que cela : il a montré qu'aucun calcul mené sur les seules colonnes $(x_i;y_i)$ ne pouvait y répondre. Un même coefficient de corrélation est compatible avec une causalité directe, une causalité inversée, une variable de confusion et une pure coïncidence. Le chapitre s'arrêtait là, sur un avertissement.

Ce thème reprend l'affaire à cet endroit précis. Il ne s'agit plus de se méfier, mais de trancher : quels gestes, quelles données, quelles précautions permettent de dire — et parfois de démontrer — que l'un cause l'autre. Nous verrons que le statisticien dispose d'un instrument souverain, l'expérience randomisée, et qu'il lui arrive de ne pas pouvoir s'en servir : on ne tire pas au sort les gens à qui l'on fera fumer trois paquets par jour. Il faut alors reconstituer la preuve autrement, comme on l'a fait pour le tabac entre 1950 et 1965.

Question directrice. Comment sait-on qu'une chose en cause une autre — et que fait-on quand on ne peut pas faire l'expérience ?

Ce que ce thème mobilise. Le chapitre 10 fournit tout le socle : nuage, point moyen, droite des moindres carrés, résidus, coefficient de corrélation. Le chapitre 8 fournit l'instrument de mesure du hasard : schéma de Bernoulli, loi binomiale, coefficients binomiaux, intervalle de fluctuation — c'est lui qui dira si un écart entre deux groupes mérite qu'on s'y arrête. Le chapitre 9 fournit la loi uniforme sur $[0;1]$, celle avec laquelle on fabrique un tirage au sort en Python. Le chapitre 3 sert à lire un rapport de risques sur une échelle multiplicative, et le chapitre 4 à interpréter une pente. Le thème est prévu pour deux à quatre semaines.

19.1 Une corrélation, quatre histoires : comment les départager

19.1.1 Là où le chapitre 10 s'est arrêté

Rappelons la situation. On observe $r\approx 0,9$ entre deux séries $X$ et $Y$. Quatre récits l'expliquent aussi bien l'un que l'autre :

• causalité directe — $X$ agit sur $Y$ ;
• causalité inversée — c'est $Y$ qui agit sur $X$ ;
• variable de confusion — une troisième grandeur $Z$ agit sur les deux ;
• coïncidence — rien n'agit sur rien, et deux séries se ressemblent.

Le chapitre 10 concluait qu'aucun calcul sur les données $(x_i;y_i)$ ne les distingue. C'est exact, et c'est justement pour cela que l'affaire n'est pas close : si les données actuelles ne suffisent pas, il faut aller en chercher d'autres. Les quatre récits ne sont pas également fragiles ; chacun a un point faible, et chaque point faible se vise avec un instrument.

19.1.2 Trois gestes, trois lectures écartées

19.1.3 La coïncidence n'est pas rare : elle se fabrique

On croit volontiers qu'une corrélation à $0,85$ ne peut pas être due au hasard. Cela dépend entièrement d'une chose : combien de corrélations a-t-on regardées.

Démonstration

Choisir un couple de séries, c'est choisir une partie à deux éléments dans un ensemble à $k$ éléments : c'est exactement ce que compte le coefficient binomial $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2}\right)$, dont le chapitre 8 a donné la valeur $\frac{k(k-1)}{2}$.

Le nombre de paires croît comme le carré du nombre de séries : dix séries donnent $45$ paires, cent séries en donnent $4950$, deux cents en donnent $19900$. Un service statistique qui publie deux cents indicateurs met donc en ligne, sans le savoir, vingt mille corrélations.

import random
from math import sqrt
from itertools import combinations

def correlation(x, y):
    n = len(x)
    mx, my = sum(x) / n, sum(y) / n
    sxy = sum((x[i] - mx) * (y[i] - my) for i in range(n))
    sx = sqrt(sum((t - mx) ** 2 for t in x))
    sy = sqrt(sum((t - my) ** 2 for t in y))
    return sxy / (sx * sy)

random.seed(9)
series = [[random.gauss(0, 1) for _ in range(12)] for _ in range(100)]
rs = [abs(correlation(a, b)) for a, b in combinations(series, 2)]
print(len(rs), round(max(rs), 4))              # 4950 0.8487
print(sum(1 for t in rs if t > 0.576))         # 241   (attendu ~248)

19.2 L'expérience randomisée contrôlée

19.2.1 Observer, ou intervenir

Il faut d'abord voir que deux questions se cachent sous la même phrase.

La raison de l'écart est toujours la même : quand on observe, ce sont les patients (ou les élèves, ou les pays) qui décident de leur exposition, et ils décident en fonction de ce qu'ils sont. Quand on intervient, c'est l'expérimentateur qui décide. Toute la difficulté est de faire décider quelqu'un qui ne sait rien des individus. Ce quelqu'un existe : c'est le hasard.

19.2.2 Pourquoi le tirage au sort règle le problème