Thème 8 — Temps d'attente

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La densité d'une loi exponentielle : l'aire à droite de t est la probabilité que l'attente dépasse t.

Une régie de transports affiche, sur la ligne 12 : « un bus toutes les $10$ minutes ». Les usagers, eux, se plaignent d'attendre bien davantage. Un club de mathématiques de terminale décide de trancher, et fait deux relevés pendant un mois : il chronomètre $60$ intervalles entre deux bus successifs, et il interroge $240$ usagers pour noter combien de temps chacun a attendu.

Les deux moyennes tombent : $10, 27$ minutes entre deux bus, et $10, 55$ minutes d'attente par usager. La régie n'a pas menti — l'intervalle moyen est bien de dix minutes. Mais l'attente moyenne devrait alors être de cinq minutes, la moitié d'un intervalle. Elle en fait le double. Aucun des deux relevés n'est faux, et pourtant ils semblent se contredire.

Il n'y a là ni erreur de mesure ni mauvaise foi. Il y a une question mathématique, et elle en cache plusieurs : qu'est-ce qu'un temps d'attente ? Comment le décrire quand la moyenne trompe ? Que signifie exactement « ne pas vieillir » pour un composant, un atome, un être vivant ? Et pourquoi une file d'attente s'allonge-t-elle si brutalement lorsqu'un guichet approche de la saturation ?

Problématique. La moyenne d'une attente suffit-elle à la décrire — et si elle n'y suffit pas, que faut-il regarder ?

18.1 L'enquête : deux relevés, deux vérités

18.1.1 Ce que le club a mesuré

iRemarque

Les $240$ attentes relevées sont très dispersées : $95$ usagers (soit près de $40 %$ ) ont attendu moins de cinq minutes, mais $40$ d'entre eux — un sur six — ont attendu plus de vingt minutes. La médiane des attentes vaut $6, 73$ minutes, très au-dessous de la moyenne $10, 55$ . C'est le premier signal : la moyenne, ici, ne résume pas grand-chose.

18.1.2 Le fil de l'étude

Méthode : Le fil de l'étude, en cinq étapes

Choisir une horloge. L'attente se compte-t-elle en essais entiers (chapitre 8, loi géométrique) ou se mesure-t-elle en temps continu (chapitre 9, loi exponentielle) ? Les deux modèles sont reliés.
Décrire autrement que par la moyenne : médiane, quartiles, queue de distribution, et seuils obtenus par le logarithme (chapitre 3).
Identifier le modèle sur les données. Un changement de variable logarithmique ramène l'ajustement à une droite (chapitre 10).
Tester l'absence de mémoire. Elle est commode, mais elle interdit le vieillissement : il faut savoir quand elle est fausse (chapitre 8, probabilités conditionnelles).
Simuler ce qui échappe au calcul exact : attente du $k$ -ième événement, file d'attente à un guichet (chapitre 9).

Tout le thème s'appuie sur une même boîte à outils, celle du chapitre 9, complétée au fur et à mesure.


from random import random, seed
from math import log, exp

def expo(lam):
    # Une duree suivant la loi exponentielle de parametre lam (chapitre 9).
    return -log(1 - random()) / lam

def somme(loi, n):
    # Somme de n tirages independants de la meme loi.
    total = 0
    for _ in range(n):
        total = total + loi()
    return total

N = 100000

18.2 Deux horloges pour la même question

18.2.1 Compter des essais, mesurer un temps

!Le réflexe

Une question d'attente se pose toujours de l'une de ces deux façons.

Combien d'essais avant le premier succès ? La variable $X$ est entière : loi géométrique de paramètre $p$ , avec $P (X = k) = (1 - p)^{k - 1} p$ , $P (X > n) = (1 - p)^{n}$ et $E (X) = \frac{1}{p}$ (admise).
Combien de temps avant le prochain événement ? La variable $T$ est continue : loi exponentielle de paramètre $λ$ , avec $P (T > t) = e^{- λ t}$ et $E (T) = \frac{1}{λ}$ .

Le mot qui décide est dans l'énoncé : « combien de patients », « combien de tirages » donnent une géométrique ; « au bout de combien d'heures », « quelle durée » donnent une exponentielle.

Le chapitre 9 a établi le pont exact entre les deux : en observant une loi exponentielle uniquement aux instants entiers, on retombe sur une loi géométrique de paramètre $p = 1 - e^{- λ}$ , et les deux lois donnent alors la même probabilité de dépassement, $P (X > n) = P (T > n)$ .

Exemple 18.1La ligne 12, vue de deux façons

Sur la ligne 12, un bus passe en moyenne toutes les $10$ minutes, soit $λ = 0, 1$ bus par minute. Vue minute par minute, chaque minute est une épreuve de Bernoulli de paramètre

$p = 1 - e^{- 0, 1} \approx 0, 0952,$

et le nombre $X$ de minutes à attendre suit la loi géométrique de ce paramètre. On vérifie que

$P (X > 10) = (1 - p)^{10} = (e^{- 0, 1})^{10} = e^{- 1} \approx 0, 3679 = P (T > 10) .$

Les deux modèles répondent identiquement. Seules les espérances diffèrent un peu : $E (T) = 10$ minutes, contre $E (X) = \frac{1}{0 , 0952} \approx 10, 51$ minutes, car $X$ arrondit toujours à la minute entière supérieure.

18.2.2 Découper le temps de plus en plus fin

Le pont précédent découpe le temps en tranches d'une minute. Rien n'oblige à s'arrêter là : on peut découper une durée $T$ en $n$ tranches de longueur $\frac{T}{n}$ , chacune portant une probabilité d'événement $\frac{λ T}{n}$ . La probabilité de ne rien voir arriver pendant toute la durée $T$ est alors

$(1 - \frac{λ T}{n})^{n},$

et il est légitime de se demander ce que devient ce nombre quand le découpage devient très fin.

Exemple 18.2Un standard qui reçoit un appel toutes les quatre heures

Prenons $λ = 0, 25$ appel par heure et $T = 2$ heures, donc $λ T = 0, 5$ . Voici $(1 - \frac{0 , 5}{n})^{n}$ pour des découpages de plus en plus fins.

$tranches n probabilit e ˊ par tranche (1 - \frac{0 , 5}{n})^{n} 1 0, 5 0, 5 2 0, 25 0, 5625 5 0, 1 0, 5905 10 0, 05 0, 5987 60 0, 0083 0, 6053 3600 0, 000139 0, 6065$

Les valeurs montent et se stabilisent : à la sixième décimale, le découpage à la seconde donne $0, 606510$ , contre $e^{- 0, 5} \approx 0, 606531$ .

iRemarque

Ce tableau n'est pas une démonstration, et le programme ne demande pas d'en faire une : il illustre. Mais il dit l'essentiel — la loi exponentielle est ce que devient la loi géométrique quand on cesse de compter par essais entiers pour laisser le temps s'écouler. Le passage du discret au continu, thème récurrent de ce programme, se lit ici sur six nombres.

!Attention

La ligne « probabilité par tranche » doit rester inférieure à $1$ : c'est une probabilité. Le découpage doit donc être assez fin pour que $\frac{λ T}{n} \leq 1$ . Avec $λ T = 1, 5$ et $n = 1$ , l'écriture $(1 - 1, 5)^{1}$ n'aurait aucun sens probabiliste, même si le calcul est possible.

18.3 La moyenne ne suffit pas

18.3.1 Médiane, quartiles, queue

Définition 18.3Médiane d'un temps d'attente

La médiane d'une variable aléatoire est la valeur $m$ qui partage la population en deux moitiés.

Cas continu : $m$ est la solution de $P (T \leq m) = 0, 5$ .
Cas discret : $m$ est le plus petit entier $n$ tel que $P (X \leq n) \geq 0, 5$ .

Proposition 18.4Médianes des deux lois d'attente

Soit $T$ de loi exponentielle de paramètre $λ$ et $X$ de loi géométrique de paramètre $p$ .

$m (T) = \frac{ln 2}{λ} = ln 2 \times E (T) \approx 0, 69 E (T), m (X) = le plus petit entier n \geq \frac{ln 0 , 5}{ln ( 1 - p )} .$

Démonstration

Le cas continu a été établi au chapitre 9 : $1 - e^{- λm} = 0, 5$ donne $e^{- λm} = \frac{1}{2}$ , puis $- λm = - ln 2$ .

Dans le cas discret, $P (X \leq n) \geq 0, 5$ équivaut à $P (X > n) \leq 0, 5$ , c'est-à-dire à $(1 - p)^{n} \leq 0, 5$ . La fonction $ln$ étant strictement croissante, on peut lui appliquer les deux membres :

$n ln (1 - p) \leq ln 0, 5.$

Comme $0 < 1 - p < 1$ , le nombre $ln (1 - p)$ est négatif : diviser par lui renverse l'inégalité, et

$n \geq \frac{ln 0 , 5}{ln ( 1 - p )} .$

La médiane est le plus petit entier qui vérifie cette condition.

!Attention

Diviser par $ln (1 - p)$ change le sens de l'inégalité, parce que ce nombre est négatif. C'est l'erreur la plus fréquente de tout le thème : on trouve alors un seuil « au plus $n$ » là où il fallait « au moins $n$ ». Contrôle immédiat : le seuil trouvé doit être un nombre positif et croître quand $p$ diminue.

Exemple 18.5Ce que vit la moitié des usagers de la ligne 12

Modélisons l'attente $T$ sur la ligne 12 par une loi exponentielle de moyenne $10$ minutes, soit $λ = 0, 1$ . Alors

$m = \frac{ln 2}{0 , 1} = 10 ln 2 \approx 6, 93 min, Q_{1} = \frac{ln \frac{4}{3}}{0 , 1} \approx 2, 88 min, Q_{3} = \frac{ln 4}{0 , 1} \approx 13, 86 min .$

La moitié des usagers attend moins de sept minutes, mais un quart attend plus de quatorze minutes. Et

$P (T > 10) = e^{- 1} \approx 0, 368, P (T > 20) = e^{- 2} \approx 0, 135, P (T > 30) = e^{- 3} \approx 0, 050.$

Le relevé du club donnait $16, 7 %$ d'attentes supérieures à vingt minutes ; le modèle en prévoit $13, 5 %$ . L'ordre de grandeur est le bon.

!Le réflexe

Trois nombres suffisent à décrire honnêtement une attente : la médiane (ce que vit la moitié des gens), le troisième quartile (ce à quoi il faut se préparer) et une probabilité de queue du type $P (T > 3 E (T))$ . La moyenne seule est le plus mauvais des résumés, parce qu'une poignée d'attentes très longues suffit à la déplacer sans rien changer au quotidien de personne.

Exercices du chapitre

Estimer $λ$ sur des données corrigé
Deux pièces de même durée de vie moyenne corrigé
Deux horaires, une même fréquence corrigé
Problème — Faut-il remplacer une pièce avant qu'elle ne casse ? corrigé
Trois nombres pour une même attente corrigé
Le temps d'attente aux urgences corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre