Arithmétique

Soient $a$, $b$, $c$ des entiers relatifs.

• Si $c\mid b$ et $b\mid a$, alors $c\mid a$ (transitivité).
• Si $c\mid a$ et $c\mid b$, alors $c$ divise toute combinaison linéaire $au+bv$ ($u,v\in \mathbb{Z}$) — en particulier $a+b$ et $a-b$.
• Si $b\mid a$ et $a\ne 0$, alors $|b|\le |a|$ : un entier non nul n'a qu'un nombre fini de diviseurs.

Soient $a\in \mathbb{Z}$ et $b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Il existe un unique couple $(q,r)$ d'entiers tels que :

$$a=bq+r\text{avec}0\le r<b$$

L'entier $q$ est le quotient et $r$ le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$.

$47=9\times 5+2$ (quotient $9$, reste $2$) ; pour un négatif : $-47=5\times (-10)+3$ (le reste doit rester dans $[0,5[$ : $q=-10$, $r=3$).

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Si $a\equiv b(\mathrm{mod}n)$ et $c\equiv d(\mathrm{mod}n)$, alors :

$$a+c\equiv b+d(\mathrm{mod}n),a-c\equiv b-d(\mathrm{mod}n),ac\equiv bd(\mathrm{mod}n)$$

et pour tout entier $k\ge 1$ : $a^k\equiv b^k(\mathrm{mod}n)$.

Quel est le reste de $7^{100}$ modulo $10$ (c'est-à-dire son chiffre des unités) ? On calcule les premières puissances modulo 10 : $7^1\equiv 7$, $7^2=49\equiv 9$, $7^3\equiv 63\equiv 3$, $7^4\equiv 21\equiv 1(\mathrm{mod}10)$. Comme $7^4\equiv 1$, on écrit $100=4\times 25$ :

$$7^{100}={\left(7^4\right)}^{25}\equiv 1^{25}\equiv 1(\mathrm{mod}10)$$

Le chiffre des unités de $7^{100}$ est $1$.