Applications à l'algèbre et la géométrie

Cours complet · mathématiques expertes (terminale), chapitre 2 · terminale, option mathématiques expertes

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Les trois premières sections du chapitre précédent ont construit l'ensemble $C$ et ses trois écritures : algébrique, trigonométrique, exponentielle. Elles se révèlent maintenant pour ce qu'elles sont — des outils. Résoudre une équation que $R$ laissait sans solution, décrire une rotation par une simple multiplication, reconnaître un alignement à un argument : ce chapitre montre ce que les complexes permettent de faire, en algèbre puis en géométrie.

2.1 Résolution d'Équations dans $C$

2.1.1 Racines carrées d'un nombre complexe

Soit un nombre complexe donné $Z = a + i b$ . On cherche les solutions complexes $z = x + i y$ de l'équation $z^{2} = Z$ . Pour résoudre ce système sous forme algébrique :

$z^{2} = Z ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x^{2} - y^{2} = a 2 x y = b x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2} (parties r e ˊ elles) (parties imaginaires) (e ˊ galit e ˊ s des modules)$

Ce système permet de déterminer $x^{2}$ et $y^{2}$ , puis $2 x y$ permet d'identifier si $x$ et $y$ sont de même signe ou de signes contraires.

2.1.2 Équations du second degré à coefficients réels

◆Théorème 2.1Résolution dans

C

Considérons l'équation $a z^{2} + b z + c = 0$ où $a, b, c$ sont des réels et $a \neq = 0$ . Soit le discriminant $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

Si $Δ > 0$ , l'équation admet deux solutions réelles :

$z_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a} et z_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}$

Si $Δ = 0$ , l'équation admet une unique solution réelle double :

$z_{0} = \frac{- b}{2 a}$

Si $Δ < 0$ , l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :

$z_{1} = \frac{- b - i - Δ}{2 a} et z_{2} = \frac{- b + i - Δ}{2 a}$

2.1.3 Factorisation et nombre de racines d'un polynôme

On appelle ici polynôme une fonction polynôme $P (z) = a_{n} z^{n} + \dots + a_{1} z + a_{0}$ à coefficients réels (ou complexes), définie sur $C$ .

◆Théorème 2.2Factorisation de

z^{n} - a^{n}

Pour tout $a \in C$ et tout entier $n \geq 1$ :

$z^{n} - a^{n} = (z - a) (z^{n - 1} + a z^{n - 2} + a^{2} z^{n - 3} + \dots + a^{n - 2} z + a^{n - 1})$

Démonstration ((exigible))

Développons le membre de droite : en notant $S (z) = \sum_{k = 0}^{n - 1} a^{k} z^{n - 1 - k}$ ,

$(z - a) S (z) = k = 0 \sum n - 1 a^{k} z^{n - k} - k = 0 \sum n - 1 a^{k + 1} z^{n - 1 - k}$

La seconde somme, réindexée avec $j = k + 1$ , s'écrit $\sum_{j = 1}^{n} a^{j} z^{n - j}$ : tous les termes de la première somme s'éliminent avec elle, sauf le terme $k = 0$ de la première ( $z^{n}$ ) et le terme $j = n$ de la seconde ( $a^{n}$ ). Il reste $(z - a) S (z) = z^{n} - a^{n}$ .

◆Théorème 2.3Factorisation par une racine

Soit $P$ un polynôme de degré $n \geq 1$ et $a \in C$ tel que $P (a) = 0$ . Alors il existe un polynôme $Q$ de degré $n - 1$ tel que :

$P (z) = (z - a) Q (z)$

Démonstration ((exigible))

Écrivons $P (z) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} z^{k}$ . Comme $P (a) = 0$ :

$P (z) = P (z) - P (a) = k = 1 \sum n a_{k} (z^{k} - a^{k})$

D'après le théorème précédent, chaque $z^{k} - a^{k}$ se factorise par $(z - a)$ : $z^{k} - a^{k} = (z - a) S_{k} (z)$ où $S_{k}$ est de degré $k - 1$ . En factorisant :

$P (z) = (z - a) Q (z) k = 1 \sum n a_{k} S_{k} (z)$

et $Q$ est de degré $n - 1$ (son terme dominant est $a_{n} z^{n - 1}$ ).

◆Théorème 2.4Nombre de racines

Un polynôme non nul de degré $n$ admet au plus $n$ racines dans $C$ .

Démonstration ((exigible))

Par récurrence sur $n$ . Un polynôme de degré $0$ (constante non nulle) n'a aucune racine. Supposons le résultat vrai pour les polynômes de degré $n - 1$ , et soit $P$ de degré $n$ . Si $P$ n'a pas de racine, c'est terminé. Sinon, soit $a$ une racine : $P (z) = (z - a) Q (z)$ avec $de g Q = n - 1$ . Toute racine de $P$ distincte de $a$ annule le produit sans annuler $(z - a)$ , donc est racine de $Q$ : par hypothèse de récurrence, il y en a au plus $n - 1$ . Au total, $P$ a au plus $n$ racines.

Exemple 2.5Équation de degré 3 avec racine connue

Résolvons $z^{3} - 3 z^{2} + 7 z - 5 = 0$ dans $C$ , sachant que $z = 1$ est une racine évidente ( $1 - 3 + 7 - 5 = 0$ ). On factorise : $z^{3} - 3 z^{2} + 7 z - 5 = (z - 1) (z^{2} + b z + 5)$ ; en développant et en identifiant les coefficients de $z^{2}$ : $b - 1 = - 3$ , d'où $b = - 2$ . Reste à résoudre $z^{2} - 2 z + 5 = 0$ : $Δ = 4 - 20 = - 16 < 0$ , d'où $z = 1 \pm 2 i$ . L'ensemble des solutions est $S = {1, 1 - 2 i, 1 + 2 i}$ .

2.2 Racines $n$ -ièmes de l'Unité

Définition 2.6Racines

n

-ièmes de l'unité

Soit $n \geq 1$ un entier. On appelle racine $n$ -ième de l'unité tout nombre complexe $z$ tel que $z^{n} = 1$ . Leur ensemble est noté $U_{n}$ .

◆Théorème 2.7Détermination de

U_{n}

$U_{n}$ contient exactement $n$ éléments :

$U_{n} = {e^{i \frac{2 k π}{n}}; k = 0, 1, \dots, n - 1}$

Leurs images forment un polygone régulier à $n$ sommets inscrit dans le cercle unité (pour $n \geq 3$ ), dont l'un des sommets est le point d'affixe $1$ .

Démonstration ((exigible))

Soit $z = r e^{i θ}$ (avec $r > 0$ ) tel que $z^{n} = 1$ . Alors $z^{n} = r^{n} e^{i n θ} = 1$ , d'où en prenant les modules $r^{n} = 1$ , donc $r = 1$ (réel positif), et en identifiant les arguments $n θ \equiv 0 (mod 2 π)$ , c'est-à-dire $θ = \frac{2 k π}{n}$ avec $k \in Z$ . Réciproquement, tout $z_{k} = e^{i \frac{2 k π}{n}}$ vérifie $z_{k}^{n} = e^{i 2 k π} = 1$ . Enfin, deux valeurs $k$ et $k^{'}$ de ${0, 1, \dots, n - 1}$ donnent des arguments distincts dans $[0, 2 π [$ , donc des complexes distincts, et tout $k \in Z$ redonne l'un d'eux ( $k$ modulo $n$ ) : $U_{n}$ compte exactement $n$ éléments.

Exemple 2.8Cas

n = 2

3

4

$U_{2} = {1, - 1}$ (les solutions de $z^{2} = 1$ ).
$U_{3} = {1, j, j^{2}}$ avec $j = e^{i \frac{2 π}{3}} = - \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}$ : un triangle équilatéral. On note que $j^{2} =  ˉ$ et $1 + j + j^{2} = 0$ .
$U_{4} = {1, i, - 1, - i}$ : un carré (celui des points d'affixes $2$ , $2 i$ , $- 2$ et $- 2 i$ , à un facteur $2$ près !).

2.3 Applications Géométriques des Nombres Complexes

Les nombres complexes constituent un outil de calcul vectoriel plan d'une grande efficacité grâce aux résultats suivants :

Proposition 2.9Distances et Angles

Soient $A$ , $B$ , $C$ , $D$ quatre points distincts du plan d'affixes respectives $z_{A}$ , $z_{B}$ , $z_{C}$ , $z_{D}$ .

L'affixe du vecteur $A B$ est $z_{B} - z_{A}$ .
La distance $A B$ est égale à $∣ z_{B} - z_{A} ∣$ .
Une mesure de l'angle orienté $(u, A B)$ est donnée par $ar g (z_{B} - z_{A}) (mod 2 π)$ .
Une mesure de l'angle orienté $(A B, C D)$ est donnée par :

$(A B, C D) \equiv ar g (\frac{z _{D} - z _{C}}{z _{B} - z _{A}}) (mod 2 π)$

Proposition 2.10Caractérisation géométrique

Soient $A$ , $B$ , $C$ trois points distincts d'affixes $z_{A}$ , $z_{B}$ , $z_{C}$ .

Les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si :

$\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} \in R$

Les droites $(A B)$ et $(A C)$ sont perpendiculaires si et seulement si :

$\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} \in i R (imaginaire pur non nul)$

Le triangle $A B C$ est rectangle en $A$ et isocèle en $A$ si et seulement si :

$\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} = i ou \frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} = - i$

2.4 Représentation Complexe des Transformations Géométriques

Le tableau suivant rassemble les écritures complexes des transformations géométriques classiques dans le plan complexe.

◆Théorème 2.11Transformations géométriques

Soit $M (z)$ un point quelconque du plan et $M^{'} (z^{'})$ son image par la transformation considérée.

Translation de vecteur $w$ d'affixe $b$ :

$z^{'} = z + b$

Homothétie de centre $Ω (ω)$ et de rapport réel $k \neq = 0$ :

$z^{'} - ω = k (z - ω)$

Rotation de centre $Ω (ω)$ et d'angle réel $θ$ :

$z^{'} - ω = e^{i θ} (z - ω)$

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Applications à l'algèbre et la géométrie

2.1 Résolution d'Équations dans C

2.1.1 Racines carrées d'un nombre complexe

2.1.2 Équations du second degré à coefficients réels

2.1.3 Factorisation et nombre de racines d'un polynôme

2.2 Racines n-ièmes de l'Unité

2.3 Applications Géométriques des Nombres Complexes

2.4 Représentation Complexe des Transformations Géométriques

2.1 Résolution d'Équations dans $C$

2.2 Racines $n$ -ièmes de l'Unité