Applications à l'algèbre et la géométrie

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Les transformations du plan : un triangle, son image par une translation et par une rotation.

Les trois premières sections du chapitre précédent ont construit l'ensemble $C$ et ses trois écritures : algébrique, trigonométrique, exponentielle. Elles se révèlent maintenant pour ce qu'elles sont — des outils. Résoudre une équation que $R$ laissait sans solution, décrire une rotation par une simple multiplication, reconnaître un alignement à un argument : ce chapitre montre ce que les complexes permettent de faire, en algèbre puis en géométrie.

2.1 Résolution d'Équations dans $C$

2.1.1 Racines carrées d'un nombre complexe

Soit un nombre complexe donné $Z = a + i b$ . On cherche les solutions complexes $z = x + i y$ de l'équation $z^{2} = Z$ . Pour résoudre ce système sous forme algébrique :

$z^{2} = Z ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x^{2} - y^{2} = a 2 x y = b x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2} (parties r e ˊ elles) (parties imaginaires) (e ˊ galit e ˊ s des modules)$

Ce système permet de déterminer $x^{2}$ et $y^{2}$ , puis $2 x y$ permet d'identifier si $x$ et $y$ sont de même signe ou de signes contraires.

2.1.2 Équations du second degré à coefficients réels

◆Théorème 2.1Résolution dans

C

Considérons l'équation $a z^{2} + b z + c = 0$ où $a, b, c$ sont des réels et $a \neq = 0$ . Soit le discriminant $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

Si $Δ > 0$ , l'équation admet deux solutions réelles :

$z_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a} et z_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}$

Si $Δ = 0$ , l'équation admet une unique solution réelle double :

$z_{0} = \frac{- b}{2 a}$

Si $Δ < 0$ , l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :

$z_{1} = \frac{- b - i - Δ}{2 a} et z_{2} = \frac{- b + i - Δ}{2 a}$

2.1.3 Factorisation et nombre de racines d'un polynôme

On appelle ici polynôme une fonction polynôme $P (z) = a_{n} z^{n} + \dots + a_{1} z + a_{0}$ à coefficients réels (ou complexes), définie sur $C$ .

◆Théorème 2.2Factorisation de

z^{n} - a^{n}

Pour tout $a \in C$ et tout entier $n \geq 1$ :

$z^{n} - a^{n} = (z - a) (z^{n - 1} + a z^{n - 2} + a^{2} z^{n - 3} + \dots + a^{n - 2} z + a^{n - 1})$

Démonstration ((exigible))

Développons le membre de droite : en notant $S (z) = \sum_{k = 0}^{n - 1} a^{k} z^{n - 1 - k}$ ,

$(z - a) S (z) = k = 0 \sum n - 1 a^{k} z^{n - k} - k = 0 \sum n - 1 a^{k + 1} z^{n - 1 - k}$

La seconde somme, réindexée avec $j = k + 1$ , s'écrit $\sum_{j = 1}^{n} a^{j} z^{n - j}$ : tous les termes de la première somme s'éliminent avec elle, sauf le terme $k = 0$ de la première ( $z^{n}$ ) et le terme $j = n$ de la seconde ( $a^{n}$ ). Il reste $(z - a) S (z) = z^{n} - a^{n}$ .

◆Théorème 2.3Factorisation par une racine

Soit $P$ un polynôme de degré $n \geq 1$ et $a \in C$ tel que $P (a) = 0$ . Alors il existe un polynôme $Q$ de degré $n - 1$ tel que :

$P (z) = (z - a) Q (z)$

Exercices du chapitre

Racines carrées d'un nombre complexe corrigé
Équation du second degré à coefficients complexes corrigé
Équation bicarrée corrigé
Reconnaître une transformation corrigé
Un ensemble de points caractérisé par un quotient corrigé
Problème — Une équation de degré 4 et un carré corrigé

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