Nombres Complexes

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Le plan complexe : le point z, son module, son argument et son conjugué.

L'introduction de l'ensemble des nombres complexes répond au besoin de résoudre des équations algébriques insolubles dans $R$ , comme $x^{2} + 1 = 0$ . Cet ensemble offre un cadre puissant pour l'analyse mathématique, la trigonométrie et la géométrie plane.

1.1 L'Ensemble $C$ et Forme Algébrique

1.1.1 Définition et écriture algébrique

◆Théorème 1.1Existence de l'ensemble

C

Il existe un ensemble de nombres, noté $C$ , appelé l'ensemble des nombres complexes, tel que :

L'ensemble $R$ est inclus dans $C$ .
Les opérations d'addition et de multiplication de $R$ se prolongent à $C$ et conservent leurs propriétés usuelles (commutativité, associativité, distributivité).
Il existe dans $C$ un nombre noté $i$ tel que :

$i^{2} = - 1$

Tout élément $z \in C$ s'écrit de manière unique sous la forme :

$z = x + i y (avec x \in R et y \in R)$

Cette écriture est appelée la forme algébrique du nombre complexe $z$ .

Définition 1.2Vocabulaire

Soit $z = x + i y$ la forme algébrique d'un nombre complexe.

Le réel $x$ est appelé la partie réelle de $z$ , notée $Re (z)$ .
Le réel $y$ est appelé la partie imaginaire de $z$ , notée $Im (z)$ .
Si $y = 0$ , $z$ est un nombre réel.
Si $x = 0$ et $y \neq = 0$ , $z$ est appelé un imaginaire pur. L'ensemble des imaginaires purs est noté $i R$ .

Proposition 1.3Égalité de deux nombres complexes

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales :

$x + i y = x^{'} + i y^{'} ⟺ x = x^{'} et y = y^{'}$

En particulier :

$z = 0 ⟺ Re (z) = 0 et Im (z) = 0$

1.1.2 Opérations sous forme algébrique

Pour effectuer les calculs dans $C$ , on applique les mêmes règles de développement et de factorisation que dans $R$ , en remplaçant chaque occurrence de $i^{2}$ par $- 1$ .

Addition : $(x + i y) + (x^{'} + i y^{'}) = (x + x^{'}) + i (y + y^{'})$ .
Multiplication : $(x + i y) (x^{'} + i y^{'}) = (x x^{'} - y y^{'}) + i (x y^{'} + y x^{'})$ .

1.1.3 Conjugué d'un nombre complexe

Définition 1.4Conjugué

Soit $z = x + i y$ un nombre complexe écrit sous sa forme algébrique. On appelle conjugué de $z$ , noté $z ˉ$ , le nombre complexe défini par :

$z ˉ = x - i y$

Proposition 1.5Propriétés du conjugué

Soient $z$ et $z^{'}$ deux nombres complexes, et $n \in Z$ .

$(z ˉ) = z$ .
$z + z^{'} = z ˉ + z^{'}$ .
$z \times z^{'} = z ˉ \times z^{'}$ .
$(\frac{z}{z ^{'}}) = \frac{z ˉ}{z ^{'}}$ (pour $z^{'} \neq = 0$ ).
$z^{n} = (z ˉ)^{n}$ .
$z + z ˉ = 2 Re (z)$ et $z - z ˉ = 2 i Im (z)$ .
$z$ est réel $⟺ z = z ˉ$ .
$z$ est imaginaire pur $⟺ z = - z ˉ$ .
Le produit d'un nombre complexe par son conjugué est un nombre réel positif :

$z z ˉ = (x + i y) (x - i y) = x^{2} + y^{2}$

Démonstration ((exigible) — conjugué d'un produit, d'un inverse, d'une puissance)

Posons $z = x + i y$ et $z^{'} = x^{'} + i y^{'}$ . Produit : d'une part $z z^{'} = (x x^{'} - y y^{'}) + i (x y^{'} + y x^{'})$ , donc $z z^{'} = (x x^{'} - y y^{'}) - i (x y^{'} + y x^{'})$ . D'autre part :

$z ˉ z^{'} = (x - i y) (x^{'} - i y^{'}) = (x x^{'} - y y^{'}) - i (x y^{'} + y x^{'})$

Les deux expressions coïncident : $z z^{'} = z ˉ z^{'}$ .

Inverse ( $z \neq = 0$ ) : en appliquant le résultat précédent à $z \times \frac{1}{z} = 1$ :

$z \times \frac{1}{z} = z ˉ \times (\frac{1}{z}) = 1 ˉ = 1 d’o u ˋ (\frac{1}{z}) = \frac{1}{z ˉ}$

Puissance entière : pour $n \geq 0$ , on raisonne par récurrence. L'initialisation $z^{0} = 1 = (z ˉ)^{0}$ est immédiate, et si $z^{k} = (z ˉ)^{k}$ , alors $z^{k + 1} = z^{k} \times z = z^{k} z ˉ = (z ˉ)^{k + 1}$ par la propriété du produit. Pour $n < 0$ , on combine avec la propriété de l'inverse.

Exercices du chapitre

Reconnaître un réel, un imaginaire pur corrigé
Forme exponentielle et puissances corrigé
Valeurs exactes de $cos \frac{π}{12}$ et $sin \frac{π}{12}$ corrigé
Factorisation par l'angle moitié corrigé
Linéariser, puis « délinéariser » corrigé
Problème — Une somme de cosinus par la voie complexe corrigé

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