Nombres Complexes

Cours complet · mathématiques expertes (terminale), chapitre 1 · terminale, option mathématiques expertes

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L'introduction de l'ensemble des nombres complexes répond au besoin de résoudre des équations algébriques insolubles dans $R$ , comme $x^{2} + 1 = 0$ . Cet ensemble offre un cadre puissant pour l'analyse mathématique, la trigonométrie et la géométrie plane.

1.1 L'Ensemble $C$ et Forme Algébrique

1.1.1 Définition et écriture algébrique

◆Théorème 1.1Existence de l'ensemble

C

Il existe un ensemble de nombres, noté $C$ , appelé l'ensemble des nombres complexes, tel que :

L'ensemble $R$ est inclus dans $C$ .
Les opérations d'addition et de multiplication de $R$ se prolongent à $C$ et conservent leurs propriétés usuelles (commutativité, associativité, distributivité).
Il existe dans $C$ un nombre noté $i$ tel que :

$i^{2} = - 1$

Tout élément $z \in C$ s'écrit de manière unique sous la forme :

$z = x + i y (avec x \in R et y \in R)$

Cette écriture est appelée la forme algébrique du nombre complexe $z$ .

Définition 1.2Vocabulaire

Soit $z = x + i y$ la forme algébrique d'un nombre complexe.

Le réel $x$ est appelé la partie réelle de $z$ , notée $Re (z)$ .
Le réel $y$ est appelé la partie imaginaire de $z$ , notée $Im (z)$ .
Si $y = 0$ , $z$ est un nombre réel.
Si $x = 0$ et $y \neq = 0$ , $z$ est appelé un imaginaire pur. L'ensemble des imaginaires purs est noté $i R$ .

Proposition 1.3Égalité de deux nombres complexes

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales :

$x + i y = x^{'} + i y^{'} ⟺ x = x^{'} et y = y^{'}$

En particulier :

$z = 0 ⟺ Re (z) = 0 et Im (z) = 0$

1.1.2 Opérations sous forme algébrique

Pour effectuer les calculs dans $C$ , on applique les mêmes règles de développement et de factorisation que dans $R$ , en remplaçant chaque occurrence de $i^{2}$ par $- 1$ .

Addition : $(x + i y) + (x^{'} + i y^{'}) = (x + x^{'}) + i (y + y^{'})$ .
Multiplication : $(x + i y) (x^{'} + i y^{'}) = (x x^{'} - y y^{'}) + i (x y^{'} + y x^{'})$ .

1.1.3 Conjugué d'un nombre complexe

Définition 1.4Conjugué

Soit $z = x + i y$ un nombre complexe écrit sous sa forme algébrique. On appelle conjugué de $z$ , noté $z ˉ$ , le nombre complexe défini par :

$z ˉ = x - i y$

Proposition 1.5Propriétés du conjugué

Soient $z$ et $z^{'}$ deux nombres complexes, et $n \in Z$ .

$(z ˉ) = z$ .
$z + z^{'} = z ˉ + z^{'}$ .
$z \times z^{'} = z ˉ \times z^{'}$ .
$(\frac{z}{z ^{'}}) = \frac{z ˉ}{z ^{'}}$ (pour $z^{'} \neq = 0$ ).
$z^{n} = (z ˉ)^{n}$ .
$z + z ˉ = 2 Re (z)$ et $z - z ˉ = 2 i Im (z)$ .
$z$ est réel $⟺ z = z ˉ$ .
$z$ est imaginaire pur $⟺ z = - z ˉ$ .
Le produit d'un nombre complexe par son conjugué est un nombre réel positif :

$z z ˉ = (x + i y) (x - i y) = x^{2} + y^{2}$

Démonstration ((exigible) — conjugué d'un produit, d'un inverse, d'une puissance)

Posons $z = x + i y$ et $z^{'} = x^{'} + i y^{'}$ . Produit : d'une part $z z^{'} = (x x^{'} - y y^{'}) + i (x y^{'} + y x^{'})$ , donc $z z^{'} = (x x^{'} - y y^{'}) - i (x y^{'} + y x^{'})$ . D'autre part :

$z ˉ z^{'} = (x - i y) (x^{'} - i y^{'}) = (x x^{'} - y y^{'}) - i (x y^{'} + y x^{'})$

Les deux expressions coïncident : $z z^{'} = z ˉ z^{'}$ .

Inverse ( $z \neq = 0$ ) : en appliquant le résultat précédent à $z \times \frac{1}{z} = 1$ :

$z \times \frac{1}{z} = z ˉ \times (\frac{1}{z}) = 1 ˉ = 1 d’o u ˋ (\frac{1}{z}) = \frac{1}{z ˉ}$

Puissance entière : pour $n \geq 0$ , on raisonne par récurrence. L'initialisation $z^{0} = 1 = (z ˉ)^{0}$ est immédiate, et si $z^{k} = (z ˉ)^{k}$ , alors $z^{k + 1} = z^{k} \times z = z^{k} z ˉ = (z ˉ)^{k + 1}$ par la propriété du produit. Pour $n < 0$ , on combine avec la propriété de l'inverse.

1.1.4 Formule du binôme dans $C$

Proposition 1.6Formule du binôme de Newton

Les règles de calcul dans $C$ étant les mêmes que dans $R$ (commutativité, associativité, distributivité), la formule du binôme s'y applique : pour tous $a, b \in C$ et tout entier $n \geq 1$ :

$(a + b)^{n} = k = 0 \sum n (k n) a^{k} b^{n - k}$

Démonstration ((exigible) — par récurrence)

Initialisation : pour $n = 1$ , $(a + b)^{1} = a + b = (0 1) b + (1 1) a$ . Hérédité : supposons la formule vraie au rang $n$ . Alors :

$(a + b)^{n + 1} = (a + b) (a + b)^{n} = k = 0 \sum n (k n) a^{k + 1} b^{n - k} + k = 0 \sum n (k n) a^{k} b^{n + 1 - k}$

En réindexant la première somme ( $j = k + 1$ ) puis en regroupant les termes en $a^{j} b^{n + 1 - j}$ , le coefficient de $a^{j} b^{n + 1 - j}$ vaut $(j - 1 n) + (j n) = (j n + 1)$ d'après la relation de Pascal (chapitre 7). D'où la formule au rang $n + 1$ . Exemple : $(1 + i)^{4} = \sum_{k = 0}^{4} (k 4) i^{k} = 1 + 4 i - 6 - 4 i + 1 = - 4$ .

Méthode : Calculer le quotient de deux complexes

Pour exprimer le quotient $\frac{z _{1}}{z _{2}}$ ( $z_{2} \neq = 0$ ) sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur $z_{2}$ .

Exemple 1.7Quotient

Mettons sous forme algébrique le complexe $z = \frac{1 + 2 i}{3 - i}$ :

$z = \frac{( 1 + 2 i ) ( 3 + i )}{( 3 - i ) ( 3 + i )} = \frac{3 + i + 6 i + 2 i ^{2}}{3 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{3 - 2 + 7 i}{9 + 1} = \frac{1 + 7 i}{10} = \frac{1}{10} + \frac{7}{10} i$

1.2 Représentation Géométrique, Module et Argument

1.2.1 Le plan complexe

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O, u, v)$ .

À tout nombre complexe $z = x + i y$ ( $x, y \in R$ ), on associe l'unique point $M (x, y)$ du plan. On dit que $M$ est l'image de $z$ et que $z$ est l'affixe du point $M$ , noté $M (z)$ .
Le vecteur $O M$ est représenté par le complexe $z$ .
L'axe des abscisses est appelé l'axe des réels (car il contient les images des nombres réels).
L'axe des ordonnées est appelé l'axe des imaginaires (car il contient les images des imaginaires purs).

1.2.2 Module d'un nombre complexe

Définition 1.8Module

Le module du nombre complexe $z = x + i y$ , noté $∣ z ∣$ , est le nombre réel positif défini par :

$∣ z ∣ = z z ˉ = x^{2} + y^{2}$

Géométriquement, si $M$ est l'image de $z$ dans le plan complexe, alors :

$∣ z ∣ = O M$

Proposition 1.9Relation fondamentale

Pour tout nombre complexe $z$ :

$∣ z ∣^{2} = z z ˉ$

Démonstration ((exigible))

Si $z = x + i y$ , alors $z z ˉ = (x + i y) (x - i y) = x^{2} - (i y)^{2} = x^{2} + y^{2} = ∣ z ∣^{2}$ .

Proposition 1.10Propriétés du module

Soient $z$ et $z^{'}$ deux nombres complexes.

$∣ z ∣ = 0 ⟺ z = 0$ .
$∣ z ˉ ∣ = ∣ - z ∣ = ∣ z ∣$ .
$∣ z \times z^{'} ∣ = ∣ z ∣ \times ∣ z^{'} ∣$ .
$\frac{z}{z ^{'}} = \frac{∣ z ∣}{∣ z ^{'} ∣}$ (pour $z^{'} \neq = 0$ ).
$∣ z^{n} ∣ = ∣ z ∣^{n}$ (pour $n \in Z$ ).
Inégalité triangulaire : $∣ z + z^{'} ∣ \leq ∣ z ∣ + ∣ z^{'} ∣$ .

Démonstration ((exigible) — module d'un produit, d'une puissance)

Produit : en utilisant $∣ w ∣^{2} = w w ˉ$ et le conjugué d'un produit :

$∣ z z^{'} ∣^{2} = (z z^{'}) (z z^{'}) = z z^{'} z ˉ z^{'} = (z z ˉ) (z^{'} z^{'}) = ∣ z ∣^{2} ∣ z^{'} ∣^{2}$

Les modules étant positifs, on conclut $∣ z z^{'} ∣ = ∣ z ∣ \times ∣ z^{'} ∣$ .

Puissance : pour $n \geq 0$ , par récurrence : $∣ z^{0} ∣ = 1 = ∣ z ∣^{0}$ , et si $∣ z^{k} ∣ = ∣ z ∣^{k}$ , alors $∣ z^{k + 1} ∣ = ∣ z^{k} \times z ∣ = ∣ z^{k} ∣ \times ∣ z ∣ = ∣ z ∣^{k + 1}$ par la propriété du produit. Le cas $n < 0$ s'en déduit avec $∣1/ z ∣ = 1/∣ z ∣$ .

1.2.3 L'ensemble $U$ des nombres complexes de module 1

Définition 1.11Ensemble

U

On note $U$ l'ensemble des nombres complexes de module $1$ :

$U = {z \in C; ∣ z ∣ = 1}$

Ses images forment le cercle trigonométrique (cercle de centre $O$ et de rayon $1$ ).

Proposition 1.12Stabilité de

U

L'ensemble $U$ est stable par produit et par passage à l'inverse : si $z \in U$ et $z^{'} \in U$ , alors $z z^{'} \in U$ et $\frac{1}{z} \in U$ . En effet, $∣ z z^{'} ∣ = ∣ z ∣ \times ∣ z^{'} ∣ = 1$ et $\frac{1}{z} = \frac{1}{∣ z ∣} = 1$ . On note aussi que pour $z \in U$ : $\frac{1}{z} = z ˉ$ (car $z z ˉ = ∣ z ∣^{2} = 1$ ).

1.2.4 Argument d'un nombre complexe non nul

Définition 1.13Argument

Soit $z$ un nombre complexe non nul d'image $M$ . On appelle argument de $z$ , noté $ar g (z)$ , toute mesure en radians de l'angle orienté $(u, O M)$ :

$ar g (z) \equiv (u, O M) (mod 2 π)$

Proposition 1.14Forme trigonométrique

Tout nombre complexe non nul $z$ peut s'écrire sous la forme :

$z = r (cos (θ) + i sin (θ))$

où $r = ∣ z ∣ > 0$ et $θ \equiv ar g (z) (mod 2 π)$ . On a alors :

$cos (θ) = \frac{x}{∣ z ∣} et sin (θ) = \frac{y}{∣ z ∣}$

Proposition 1.15Propriétés des arguments

Soient $z$ et $z^{'}$ deux complexes non nuls, et $n \in Z$ .

$ar g (z ˉ) \equiv - ar g (z) (mod 2 π)$ .
$ar g (- z) \equiv ar g (z) + π (mod 2 π)$ .
$ar g (z \times z^{'}) \equiv ar g (z) + ar g (z^{'}) (mod 2 π)$ .
$ar g (\frac{z}{z ^{'}}) \equiv ar g (z) - ar g (z^{'}) (mod 2 π)$ .
$ar g (z^{n}) \equiv n ar g (z) (mod 2 π)$ .

1.3 Forme Exponentielle et Trigonométrie

1.3.1 Écriture exponentielle

Définition 1.16Écriture exponentielle

Pour tout réel $θ$ , on note $e^{i θ}$ le nombre complexe défini par :

$e^{i θ} = cos (θ) + i sin (θ)$

Ainsi, tout nombre complexe non nul $z$ de module $r$ et d'argument $θ$ admet la forme exponentielle suivante :

$z = r e^{i θ}$

Les propriétés algébriques de la fonction exponentielle réelle s'appliquent également à l'exponentielle complexe :

$e^{i θ} \times e^{i θ^{'}} = e^{i (θ + θ^{'})}, \frac{1}{e ^{i θ}} = e^{- i θ}, \frac{e ^{i θ}}{e ^{i θ^{'}}} = e^{i (θ - θ^{'})}, (e^{i θ})^{n} = e^{i n θ} (n \in Z)$

1.3.2 Formules d'addition et de duplication

Proposition 1.17Formules d'addition

Pour tous réels $a$ et $b$ :

$cos (a + b) = cos (a) cos (b) - sin (a) sin (b) sin (a + b) = sin (a) cos (b) + cos (a) sin (b)$

$cos (a - b) = cos (a) cos (b) + sin (a) sin (b) sin (a - b) = sin (a) cos (b) - cos (a) sin (b)$

Démonstration ((exigible) — formule de

cos (a - b)

, à partir du produit scalaire)

Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct, considérons les vecteurs unitaires $u (cos a, sin a)$ et $v (cos b, sin b)$ , qui font respectivement les angles $a$ et $b$ avec l'axe des abscisses. Calculons leur produit scalaire de deux façons :

avec l'expression analytique : $u \cdot v = cos (a) cos (b) + sin (a) sin (b)$ ;
avec les normes et l'angle : $u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos (u, v) = cos (a - b)$ , car l'angle orienté $(u, v)$ mesure $b - a$ et le cosinus est pair.

D'où $cos (a - b) = cos (a) cos (b) + sin (a) sin (b)$ . Les trois autres formules s'en déduisent en remplaçant $b$ par $- b$ (parité de $cos$ , imparité de $sin$ ) et en utilisant $sin (x) = cos (\frac{π}{2} - x)$ .

Proposition 1.18Formules de duplication

En prenant $b = a$ dans les formules d'addition :

$cos (2 a) = cos^{2} (a) - sin^{2} (a) = 2 cos^{2} (a) - 1 = 1 - 2 sin^{2} (a) sin (2 a) = 2 sin (a) cos (a)$

iRemarque

Les formules d'addition expliquent la relation fonctionnelle de l'exponentielle imaginaire : le développement de $e^{i a} \times e^{i b} = (cos a + i sin a) (cos b + i sin b)$ redonne exactement $cos (a + b) + i sin (a + b) = e^{i (a + b)}$ — la notation exponentielle « encode » les formules d'addition.

Proposition 1.19Formule de Moivre

Pour tout réel $θ$ et tout entier relatif $n$ :

$(cos (θ) + i sin (θ))^{n} = cos (n θ) + i sin (n θ)$

Proposition 1.20Formules d'Euler

Pour tout réel $θ$ :

$cos (θ) = \frac{e ^{i θ} + e ^{- i θ}}{2} et sin (θ) = \frac{e ^{i θ} - e ^{- i θ}}{2 i}$

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