Raisonnement et vocabulaire ensembliste

Cours complet · mathématiques MPSI, chapitre 1 · MPSI (classe préparatoire scientifique)

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<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>1.1 Introduction et motivation

La logique et la théorie des ensembles constituent les fondations du langage mathématique moderne. Formulées à la fin du XIX^e siècle par des mathématiciens comme Georg Cantor et Gottlob Frege, elles permettent de structurer le raisonnement de façon rigoureuse, d'éviter les ambiguïtés du langage naturel et de définir précisément les objets mathématiques (nombres, fonctions, espaces vectoriels).

Ce chapitre introduit :

les rudiments de la logique propositionnelle et les principaux modes de raisonnement mathématiques ;
le vocabulaire de base de la théorie des ensembles et les opérations associées ;
la notion d'application d'un ensemble dans un autre, ainsi que ses propriétés fondamentales (injectivité, surjectivité, bijectivité) ;
l'étude des relations binaires sur un ensemble (relations d'équivalence et relations d'ordre).

L'assimilation de ces notions de vocabulaire et de raisonnement constitue un objectif majeur pour le premier semestre de la classe préparatoire MPSI.

1.2 Rudiments de logique

1.2.1 Assertions et connecteurs logiques

Une assertion (ou proposition) est un énoncé mathématique auquel on peut attribuer, de manière exclusive, l'une des deux valeurs de vérité : vrai (V) ou faux (F).

Définition 1.1Connecteurs logiques

Soient $P$ et $Q$ deux assertions. On définit les connecteurs logiques usuels :

Nom	Symbole	Signification
Négation	$\neg P$ ou $non P$	Est vraie si et seulement si $P$ est fausse.
Conjonction	$P \land Q$ ou $P et Q$	Est vraie si et seulement si $P$ et $Q$ sont toutes deux vraies.
Disjonction	$P \lor Q$ ou $P ou Q$	Est vraie si au moins l'une des deux assertions $P$ ou $Q$ est vraie.
Implication	$P \Rightarrow Q$	Définie par $(\neg P) \lor Q$ . Elle se lit " $P$ implique $Q$ ".
Équivalence	$P \Leftrightarrow Q$	Définie par $(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)$ . Elle se lit " $P$ équivaut à $Q$ ".

On peut dresser la table de vérité de ces connecteurs :

$P$	$Q$	$\neg P$	$P \land Q$	$P \lor Q$	$P \Rightarrow Q$	$P \Leftrightarrow Q$
V	V	F	V	V	V	V
V	F	F	F	V	F	F
F	V	V	F	V	V	F
F	F	V	F	F	V	V

iRemarqueContraposée et réciproque

Pour une implication $P \Rightarrow Q$ :

sa contraposée est l'implication $\neg Q \Rightarrow \neg P$ . Elle est logiquement équivalente à $P \Rightarrow Q$ .
sa réciproque est l'implication $Q \Rightarrow P$ . Elle n'est pas logiquement équivalente à l'implication directe en général.

Proposition 1.2Lois de De Morgan

Pour toutes assertions $P$ et $Q$ , on a les équivalences logiques suivantes (appelées tautologies) :

$\neg (P \land Q) \Leftrightarrow (\neg P) \lor (\neg Q)$
$\neg (P \lor Q) \Leftrightarrow (\neg P) \land (\neg Q)$

1.2.2 Quantificateurs

En mathématiques, les assertions dépendent souvent d'une variable évoluant dans un ensemble. On parle alors de prédicats. Pour exprimer ces assertions, on utilise des quantificateurs.

Définition 1.3Quantificateurs

Soit $E$ un ensemble et $P (x)$ un prédicat dépendant d'une variable $x \in E$ .

Quantificateur universel ( $\forall$ , se lit "pour tout") : l'assertion $\forall x \in E, P (x)$ est vraie si le prédicat $P (x)$ est vrai pour tous les éléments $x$ de $E$ .
Quantificateur existentiel ( $\exists$ , se lit "il existe") : l'assertion $\exists x \in E, P (x)$ est vraie s'il existe au moins un élément $x$ de $E$ pour lequel $P (x)$ est vrai.
S'il existe un unique élément $x \in E$ vérifiant $P (x)$ , on note $\exists! x \in E, P (x)$ .

Important

L'emploi des symboles $\forall$ et $\exists$ en guise d'abréviations dans les phrases rédigées en langage naturel est formellement exclu. Ils doivent être réservés exclusivement aux formules mathématiques formelles.

Proposition 1.4Négation des quantificateurs

Soit $P (x)$ un prédicat sur $E$ . On a les équivalences de négation :

$\neg (\forall x \in E, P (x)) \Leftrightarrow \exists x \in E, \neg P (x)$
$\neg (\exists x \in E, P (x)) \Leftrightarrow \forall x \in E, \neg P (x)$

1.2.3 Modes de raisonnement

Pour rédiger des démonstrations rigoureuses, le mathématicien utilise différents modes de raisonnement.

Raisonnement par disjonction des cas

Si on veut montrer qu'une propriété $P (x)$ est vraie pour tout $x \in E$ , on peut partitionner $E$ en sous-ensembles et traiter séparément chaque cas.

Exemple 1.5

Montrer que pour tout $n \in Z$ , le nombre $n (n + 1)$ est pair.

Cas 1 : $n$ est pair. Alors il existe $k \in Z$ tel que $n = 2 k$ . D'où $n (n + 1) = 2 k (2 k + 1) = 2 [k (2 k + 1)]$ , qui est pair.
Cas 2 : $n$ est impair. Alors il existe $k \in Z$ tel que $n = 2 k + 1$ . D'où $n (n + 1) = (2 k + 1) (2 k + 2) = 2 (2 k + 1) (k + 1)$ , qui est pair.

Dans tous les cas, le nombre est pair.

Raisonnement par contraposition

Pour montrer que $P \Rightarrow Q$ , on démontre sa contraposée $\neg Q \Rightarrow \neg P$ , souvent plus simple à aborder.

Exemple 1.6

Soit $n \in N$ . Montrer que si $n^{2}$ est impair, alors $n$ est impair. Par contraposition, supposons que $n$ n'est pas impair, donc que $n$ est pair. Il existe $k \in N$ tel que $n = 2 k$ . Alors $n^{2} = (2 k)^{2} = 4 k^{2} = 2 (2 k^{2})$ , qui est pair. Ainsi, la contraposée est démontrée, donc l'assertion d'origine est vraie.

Raisonnement par l'absurde

Pour montrer qu'une assertion $P$ est vraie, on suppose que sa négation $\neg P$ est vraie et on cherche à en déduire une contradiction logique.

Exemple 1.7

Montrer que $2 \in / Q$ . Supposons par l'absurde que $2 \in Q$ . Alors il existe $p \in Z$ et $q \in N^{*}$ tels que $2 = \frac{p}{q}$ , la fraction étant irréductible. En élevant au carré, $2 = \frac{p ^{2}}{q ^{2}}$ , soit $p^{2} = 2 q^{2}$ . Donc $p^{2}$ est pair, ce qui implique $p$ pair. On pose $p = 2 k$ . Alors $4 k^{2} = 2 q^{2}$ , d'où $q^{2} = 2 k^{2}$ . Donc $q^{2}$ est pair, ce qui implique $q$ pair. Ainsi $p$ et $q$ sont tous deux pairs, ce qui contredit le fait que la fraction $\frac{p}{q}$ est irréductible. L'hypothèse de départ est fausse, d'où $2 \in / Q$ .

Raisonnement par analyse-synthèse

Ce mode est utilisé pour déterminer l'ensemble des solutions d'un problème ou prouver l'existence et l'unicité d'un objet.

L'analyse (Condition Nécessaire) : On suppose qu'une solution existe et on étudie ses propriétés nécessaires pour restreindre les candidats possibles.
La synthèse (Condition Suffisante) : On teste les candidats retenus pour vérifier s'ils conviennent effectivement au problème d'origine.

1.2.4 Raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence repose sur la structure fondamentale des entiers naturels.

Proposition 1.8Propriété du bon ordre de

N

Toute partie non vide de $N$ possède un plus petit élément.

◆Théorème 1.9Récurrence simple

Soit $n_{0} \in N$ et $P (n)$ une propriété dépendant de $n \geq n_{0}$ . Si :

Initialisation : $P (n_{0})$ est vraie,
Hérédité : pour tout entier $n \geq n_{0}$ , si $P (n)$ est vraie, alors $P (n + 1)$ est vraie,

alors la propriété $P (n)$ est vraie pour tout $n \geq n_{0}$ .

◆Théorème 1.10Variantes de la récurrence

Soit $P (n)$ un prédicat sur $n \geq n_{0}$ :

Récurrence double : Si $P (n_{0})$ et $P (n_{0} + 1)$ sont vraies, et si pour tout $n \geq n_{0}$ , $[P (n) \land P (n + 1)] \Rightarrow P (n + 2)$ , alors $P (n)$ est vraie pour tout $n \geq n_{0}$ .
Récurrence forte : Si $P (n_{0})$ est vraie, et si pour tout $n \geq n_{0}$ , $[\forall k \in [[n_{0}, n]], P (k)] \Rightarrow P (n + 1)$ , alors $P (n)$ est vraie pour tout $n \geq n_{0}$ .

1.3 Vocabulaire des ensembles

1.3.1 Ensemble, appartenance et inclusion

Définition 1.11Ensemble

Un ensemble est une collection d'objets distincts appelés éléments. On note $x \in E$ pour signifier que l'objet $x$ appartient à l'ensemble $E$ . L'ensemble ne contenant aucun élément est appelé ensemble vide, noté $\emptyset$ .

Définition 1.12Inclusion

Soient $A$ et $E$ deux ensembles. On dit que $A$ est inclus dans $E$ (ou que $A$ est une partie / un sous-ensemble de $E$ ), noté $A \subset E$ , si :

$A \subset E ⟺ \forall x, (x \in A \Rightarrow x \in E)$

Pour montrer que deux ensembles $A$ et $B$ sont égaux, on montre généralement la double inclusion : $A \subset B$ et $B \subset A$ .

1.3.2 Opérations sur les parties d'un ensemble

Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$ .

Définition 1.13Opérations ensemblistes

On définit les opérations élémentaires suivantes :

Réunion : $A \cup B = {x \in E ∣ x \in A \lor x \in B}$
Intersection : $A \cap B = {x \in E ∣ x \in A \land x \in B}$
Différence : $A ∖ B = {x \in E ∣ x \in A \land x \in / B}$
Complémentaire : le complémentaire de $A$ dans $E$ , noté $E ∖ A$ , $A^{c}$ , $∁_{E} (A)$ ou $A ˉ$ , est l'ensemble ${x \in E ∣ x \in / A}$ .

Proposition 1.14Distributivité et lois de De Morgan

Soient $A, B, C$ des parties de $E$ .

Distributivité :

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) et A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

Lois de De Morgan ensemblistes :

$(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} et (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$

1.3.3 Produit cartésien et ensemble des parties

Définition 1.15Produit cartésien

Soient $E_{1}, E_{2}, \dots, E_{n}$ un nombre fini d'ensembles. Le produit cartésien $E_{1} \times E_{2} \times \dots \times E_{n}$ est l'ensemble des $n$ -uplets $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ où $x_{i} \in E_{i}$ pour tout $i \in [[1, n]]$ . Si $E_{1} = \dots = E_{n} = E$ , on note ce produit $E^{n}$ .

Définition 1.16Ensemble des parties

Soit $E$ un ensemble. L'ensemble des parties de $E$ , noté $P (E)$ , est l'ensemble de tous les sous-ensembles de $E$ .

$A \in P (E) ⟺ A \subset E$

Exemple 1.17

Si $E = {1, 2}$ , alors $P (E) = {\emptyset, {1}, {2}, {1, 2}}$ .

1.3.4 Partition d'un ensemble

Définition 1.18Partition

Soit $E$ un ensemble. On dit d'une famille $(A_{i})_{i \in I}$ de parties de $E$ qu'elle forme une partition (ou un recouvrement disjoint) de $E$ si :

$\forall i \in I, A_{i} \neq = \emptyset$ ,
$\forall i, j \in I tels que i \neq = j, A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ (les parties sont disjointes deux à deux),
$⋃_{i \in I} A_{i} = E$ (la réunion de toutes les parties est égale à $E$ ).

Une partition découpe $E$ en morceaux non vides, deux à deux disjoints, dont la réunion recouvre tout $E$ : chaque élément de $E$ appartient à exactement une des parties $A_{i}$ .

1.4 Applications

1.4.1 Définitions de base

Définition 1.19Application

Une application $f$ d'un ensemble $E$ (départ) dans un ensemble $F$ (arrivée) associe à chaque élément $x \in E$ un unique élément $f (x) \in F$ . L'ensemble de toutes les applications de $E$ dans $F$ est noté $F (E, F)$ ou $F^{E}$ .

Définition 1.20Graphe

Le graphe d'une application $f : E \to F$ est la partie $G_{f}$ de $E \times F$ définie par :

$G_{f} = {(x, f (x)) \in E \times F ∣ x \in E}$

Définition 1.21Famille

Soit $I$ et $E$ deux ensembles. Une famille d'éléments de $E$ indexée par $I$ , notée $(x_{i})_{i \in I}$ , est une application $x : I \to E$ qui à $i \in I$ associe $x_{i} = x (i) \in E$ .

1.4.2 Outils associés aux applications

Définition 1.22Fonction indicatrice

Soit $E$ un ensemble et $A \subset E$ une partie. La fonction indicatrice de $A$ , notée $1_{A}$ , est l'application définie de $E$ dans ${0, 1}$ par :

$\forall x \in E, 1_{A} (x) = {10 si x \in A sinon$

Définition 1.23Restriction et prolongement

Soit $f : E \to F$ une application.

Pour $A \subset E$ , la restriction de $f$ à $A$ , notée $f_{∣ A}$ , est l'application de $A$ dans $F$ définie par :

$\forall x \in A, f_{∣ A} (x) = f (x)$

Si $g$ est une restriction de $f$ à $A$ , on dit que $f$ est un prolongement de $g$ à $E$ .

Définition 1.24Image directe et image réciproque

Soit $f : E \to F$ une application.

Soit $A \subset E$ . L'image directe de $A$ par $f$ , notée $f (A)$ , est la partie de $F$ définie par :

$f (A) = {f (x) \in F ∣ x \in A}$

Soit $B \subset F$ . L'image réciproque de $B$ par $f$ , notée $f^{- 1} (B)$ , est la partie de $E$ définie par :

$f^{- 1} (B) = {x \in E ∣ f (x) \in B}$

Attention

La notation $f^{- 1} (B)$ désigne l'image réciproque d'une partie et est définie pour toute application, même si celle-ci n'est pas bijective. Elle ne doit pas être confondue avec l'application réciproque $f^{- 1}$ , qui n'existe que sous condition de bijectivité.

Définition 1.25Composition

Soient $f : E \to F$ et $g : F \to G$ deux applications. La composée $g \circ f$ est l'application de $E$ dans $G$ définie par :

$\forall x \in E, (g \circ f) (x) = g (f (x))$

1.4.3 Propriétés globales des applications

Définition 1.26Injectivité, surjectivité, bijectivité

Soit $f : E \to F$ une application.

$f$ est dite injective si :

$\forall x, x^{'} \in E, f (x) = f (x^{'}) \Rightarrow x = x^{'}$

$f$ est dite surjective si :

$\forall y \in F, \exists x \in E, f (x) = y$

$f$ est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective. Dans ce cas, tout élément $y \in F$ admet un unique antécédent dans $E$ , noté $f^{- 1} (y)$ .

Lecture sur les diagrammes : $f$ est injective lorsque chaque élément de $F$ reçoit au plus une flèche, surjective lorsqu'il en reçoit au moins une, bijective lorsqu'il en reçoit exactement une.

Proposition 1.27Composition et injectivité/surjectivité

Soient $f : E \to F$ et $g : F \to G$ deux applications.

Si $f$ et $g$ sont injectives, alors $g \circ f$ est injective.
Si $f$ et $g$ sont surjectives, alors $g \circ f$ est surjective.
Si $g \circ f$ est bijective, alors $f$ est injective et $g$ est surjective.

Proposition 1.28Réciproque d'une composée

Si $f : E \to F$ et $g : F \to G$ sont deux applications bijectives, alors $g \circ f : E \to G$ est bijective et sa bijection réciproque vérifie :

$(g \circ f)^{- 1} = f^{- 1} \circ g^{- 1}$

1.5 Relations binaires

1.5.1 Définition générale

Définition 1.29Relation binaire

Une relation binaire $R$ sur un ensemble $E$ est définie par son graphe $G \subset E \times E$ . On note $x R y$ si le couple $(x, y)$ appartient à $G$ .

1.5.2 Relation d'équivalence

Définition 1.30Relation d'équivalence

Une relation binaire $R$ sur un ensemble $E$ est une relation d'équivalence si elle est :

Réflexive : $\forall x \in E, x R x$
Symétrique : $\forall x, y \in E, x R y \Rightarrow y R x$
Transitive : $\forall x, y, z \in E, (x R y \land y R z) \Rightarrow x R z$

Définition 1.31Classe d'équivalence

Soit $R$ une relation d'équivalence sur $E$ . Pour tout $x \in E$ , la classe d'équivalence de $x$ , notée cl $(x)$ ou $x ˙$ , est l'ensemble :

$cl (x) = {y \in E ∣ x R y}$

◆Théorème 1.32Partition des classes d'équivalence

Soit $R$ une relation d'équivalence sur un ensemble $E$ . Les classes d'équivalence forment une partition de l'ensemble $E$ .

Exemple 1.33Congruences

Dans $Z$ : Soit $n \in N^{*}$ . La relation définie par $x \equiv y [n] ⟺ n ∣ (x - y)$ est une relation d'équivalence sur $Z$ appelée congruence modulo $n$ .
Dans $R$ : La relation $x \equiv y [2 π] ⟺ \exists k \in Z, x - y = 2 k π$ est une relation d'équivalence sur $R$ .

La notation officielle du programme est $a \equiv b [c]$ ; on rencontre aussi $a \equiv b (mod c)$ .

1.5.3 Relation d'ordre

Définition 1.34Relation d'ordre

Une relation binaire $R$ sur un ensemble $E$ est une relation d'ordre si elle est :

Réflexive : $\forall x \in E, x R x$
Antisymétrique : $\forall x, y \in E, (x R y \land y R x) \Rightarrow x = y$
Transitive : $\forall x, y, z \in E, (x R y \land y R z) \Rightarrow x R z$

On note généralement $\leq$ une relation d'ordre.

Définition 1.35Ordre total vs partiel

Soit $\leq$ une relation d'ordre sur $E$ .

L'ordre est dit total si deux éléments quelconques de $E$ sont toujours comparables :

$\forall x, y \in E, x \leq y ou y \leq x$

Sinon, l'ordre est dit partiel.

Exemple 1.36

L'ordre usuel $\leq$ sur $R$ est un ordre total.
La relation d'inclusion $\subset$ sur l'ensemble des parties $P (E)$ (avec $E$ ayant au moins 2 éléments) est un ordre partiel. Par exemple, ${1}$ et ${2}$ ne sont pas comparables.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>1.6 Exercices résolus

Niveau $⋆$ (Application directe du cours)

Exercice 1 : Table de vérité d'une implication

Dresser la table de vérité de l'assertion $(P \Rightarrow Q) \lor (Q \Rightarrow P)$ . Que constate-t-on ?

Démonstration (Solution)

Dresser la table de vérité pour les différentes configurations des assertions $P$ et $Q$ :

$P$	$Q$	$P \Rightarrow Q$	$Q \Rightarrow P$	$(P \Rightarrow Q) \lor (Q \Rightarrow P)$
V	V	V	V	V
V	F	F	V	V
F	V	V	F	V
F	F	V	V	V

Conclusion : L'assertion est toujours vraie, quelles que soient les valeurs de vérité de $P$ et $Q$ . C'est une tautologie.

Exercice 2 : Négation d'assertions quantifiées

Donner la négation des assertions suivantes :

$P_{1} : \forall x \in R, x^{2} \geq 0$
$P_{2} : \exists x \in R, cos (x) = x$
$P_{3} : \forall ϵ > 0, \exists δ > 0, \forall x \in R, ∣ x ∣ < δ \Rightarrow ∣ f (x) ∣ < ϵ$

Démonstration (Solution)

Par application systématique des règles de négation des quantificateurs et connecteurs (sachant que $\neg (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow A \land \neg B$ ) :

$\neg P_{1} : \exists x \in R, x^{2} < 0$
$\neg P_{2} : \forall x \in R, cos (x) \neq = x$
$\neg P_{3} : \exists ϵ > 0, \forall δ > 0, \exists x \in R, ∣ x ∣ < δ \land ∣ f (x) ∣ \geq ϵ$

Exercice 3 : Propriétés algébriques de la fonction indicatrice

Soit $E$ un ensemble, et $A, B$ deux parties de $E$ . Exprimer $1_{A^{c}}$ , $1_{A \cap B}$ et $1_{A \cup B}$ en fonction de $1_{A}$ et $1_{B}$ .

Démonstration (Solution)

Soit $x \in E$ .

Complémentaire : Par définition, $1_{A^{c}} (x) = 1$ si $x \in / A$ , et $0$ si $x \in A$ . On remarque directement que $1_{A^{c}} (x) = 1 - 1_{A} (x)$ .
Intersection : $1_{A \cap B} (x) = 1$ si et seulement si $x \in A$ et $x \in B$ , ce qui équivaut à $1_{A} (x) = 1$ et $1_{B} (x) = 1$ . Dans tous les cas (y compris 0), on a :

$1_{A \cap B} (x) = 1_{A} (x) \cdot 1_{B} (x)$

Union : Par les lois de De Morgan, $A \cup B = (A^{c} \cap B^{c})^{c}$ . Par suite :

$1_{A \cup B} = 1 - 1_{A^{c} \cap B^{c}} = 1 - (1 - 1_{A}) (1 - 1_{B}) = 1_{A} + 1_{B} - 1_{A} \cdot 1_{B}$

Niveau $⋆ ⋆$ (Application avec raisonnement intermédiaire)

Exercice 4 : Raisonnement par analyse-synthèse

Déterminer toutes les applications $f : R \to R$ telles que pour tous $x, y \in R$ , $f (x + y) = f (x) + f (y)$ et $f (x y) = f (x) f (y)$ .

Démonstration (Solution)

Appliquons la méthode d'analyse-synthèse.

Analyse : Supposons que $f$ est une telle application.

En posant $x = y = 0$ , $f (0) = f (0) + f (0) \Rightarrow f (0) = 0$ .
En posant $x = y = 1$ , $f (1) = f (1)^{2} \Rightarrow f (1) \in {0, 1}$ .
Cas 1 : $f (1) = 0$ . Alors pour tout $x \in R$ , $f (x) = f (x \cdot 1) = f (x) f (1) = 0$ . On a la fonction nulle.
Cas 2 : $f (1) = 1$ . Par récurrence immédiate, pour tout $n \in N$ , $f (n) = n$ . Puis $f (- n) = - f (n) = - n$ , donc $f (z) = z$ pour tout $z \in Z$ . Pour $p \in Z$ et $q \in N^{*}$ , $1 = f (1) = f (q \cdot \frac{1}{q}) = f (q) f (\frac{1}{q}) = q f (\frac{1}{q}) \Rightarrow f (\frac{1}{q}) = \frac{1}{q}$ . Puis $f (\frac{p}{q}) = f (p \cdot \frac{1}{q}) = p f (\frac{1}{q}) = \frac{p}{q}$ . Ainsi, $f (q) = q$ pour tout rationnel $q \in Q$ . Soit $x \geq 0$ . Alors $f (x) = f ((x)^{2}) = f (x)^{2} \geq 0$ . Ainsi, $f$ préserve le signe. Soient $x, y \in R$ tels que $x \leq y$ . Alors $y - x \geq 0 \Rightarrow f (y - x) \geq 0 \Rightarrow f (y) - f (x) \geq 0 \Rightarrow f (x) \leq f (y)$ . Donc $f$ est croissante. Soit $x \in R$ . Par densité de $Q$ dans $R$ , il existe deux suites de rationnels $(u_{n})$ et $(v_{n})$ croissant et décroissant vers $x$ . Par croissance de $f$ , on a $u_{n} \leq x \leq v_{n} \Rightarrow f (u_{n}) \leq f (x) \leq f (v_{n})$ . Comme $f (u_{n}) = u_{n}$ et $f (v_{n}) = v_{n}$ , on obtient par passage à la limite : $f (x) = x$ .

Les seuls candidats sont l'application nulle et l'identité.

Synthèse :

La fonction nulle $x \mapsto 0$ vérifie évidemment les deux équations.
L'identité $x \mapsto x$ vérifie également $x + y = x + y$ et $x y = x y$ .

Les solutions sont exactement la fonction nulle et la fonction identité.

Exercice 5 : Image directe de l'intersection

Soit $f : E \to F$ une application, et $A, B$ deux parties de $E$ .

Montrer que $f (A \cap B) \subset f (A) \cap f (B)$ .
Donner un contre-exemple montrant que l'inclusion réciproque est généralement fausse.

Démonstration (Solution)

Soit $y \in f (A \cap B)$ . Par définition de l'image directe, il existe $x \in A \cap B$ tel que $y = f (x)$ . Puisque $x \in A \cap B$ , on a $x \in A$ et $x \in B$ . Comme $x \in A$ , on a $y = f (x) \in f (A)$ . Comme $x \in B$ , on a $y = f (x) \in f (B)$ . Par conséquent, $y \in f (A) \cap f (B)$ , ce qui démontre l'inclusion.
Contre-exemple : Considérons l'application constante $f : {1, 2} \to {3}$ définie par $f (1) = 3$ et $f (2) = 3$ . Soient $A = {1}$ et $B = {2}$ . On a $A \cap B = \emptyset$ , donc $f (A \cap B) = f (\emptyset) = \emptyset$ . Mais $f (A) = {3}$ et $f (B) = {3}$ , de sorte que $f (A) \cap f (B) = {3} \neq = \emptyset$ . L'inclusion réciproque est donc fausse.

Exercice 6 : Relation d'équivalence sur le plan complexe

Sur $E = C$ , on définit la relation $R$ par $z R z^{'} ⟺ ∣ z ∣ = ∣ z^{'} ∣$ . Montrer que $R$ est une relation d'équivalence et déterminer les classes d'équivalence.

Démonstration (Solution)

Vérifions les trois propriétés :

Réflexivité : Pour tout $z \in C$ , $∣ z ∣ = ∣ z ∣$ , donc $z R z$ .
Symétrie : Soient $z, z^{'} \in C$ . Si $z R z^{'}$ , alors $∣ z ∣ = ∣ z^{'} ∣$ , donc $∣ z^{'} ∣ = ∣ z ∣$ , d'où $z^{'} R z$ .
Transitivité : Soient $z, z^{'}, z^{''} \in C$ . Si $z R z^{'}$ et $z^{'} R z^{''}$ , alors $∣ z ∣ = ∣ z^{'} ∣$ et $∣ z^{'} ∣ = ∣ z^{''} ∣$ , donc $∣ z ∣ = ∣ z^{''} ∣$ , d'où $z R z^{''}$ .

La relation $R$ est donc une relation d'équivalence.

Soit $z_{0} \in C$ . Notons $r = ∣ z_{0} ∣ \geq 0$ . La classe d'équivalence de $z_{0}$ est :

$cl (z_{0}) = {z \in C ∣ ∣ z ∣ = ∣ z_{0} ∣} = {z \in C ∣ ∣ z ∣ = r}$

Il s'agit géométriquement du cercle de centre l'origine et de rayon $r$ . La partition associée à cette relation d'équivalence correspond à la partition du plan complexe en cercles concentriques de centre 0.

Niveau $⋆ ⋆ ⋆$ (Raisonnement subtil ou plusieurs étapes)

Exercice 7 : Divisibilité dans

N^{*}

comme relation d'ordre

Montrer que la relation de divisibilité (notée $a ∣ b$ ) définie sur $N^{*}$ par $\exists k \in N^{*}, b = k a$ est une relation d'ordre. Est-elle d'ordre total ?

Démonstration (Solution)

Vérifions les propriétés de la relation sur $N^{*}$ :

Réflexivité : Pour tout $a \in N^{*}$ , $a = 1 \cdot a$ , donc $a ∣ a$ .
Antisymétrie : Soient $a, b \in N^{*}$ tels que $a ∣ b$ et $b ∣ a$ . Il existe $k, k^{'} \in N^{*}$ tels que $b = k a$ et $a = k^{'} b$ . En remplaçant, $b = k (k^{'} b) = (k k^{'}) b$ . Comme $b \neq = 0$ , on simplifie par $b$ et on obtient $k k^{'} = 1$ . Comme $k, k^{'} \in N^{*}$ , la seule possibilité est $k = k^{'} = 1$ . Donc $a = b$ .
Transitivité : Soient $a, b, c \in N^{*}$ tels que $a ∣ b$ et $b ∣ c$ . Il existe $k, k^{'} \in N^{*}$ tels que $b = k a$ et $c = k^{'} b$ . Alors $c = k^{'} (k a) = (k^{'} k) a$ . Comme $k^{'} k \in N^{*}$ , on a bien $a ∣ c$ .

La relation est donc une relation d'ordre sur $N^{*}$ .

Type d'ordre : L'ordre est partiel. Par exemple, pour les entiers $2$ et $3$ , on n'a ni $2 ∣ 3$ ni $3 ∣ 2$ . Ils ne sont pas comparables.

Exercice 8 : Récurrence double et suite de Fibonacci

Soit la suite $(F_{n})_{n \in N}$ définie par $F_{0} = 0$ , $F_{1} = 1$ et pour tout $n \in N$ , $F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}$ . Montrer par récurrence double que pour tout $n \in N$ :

$F_{n} = \frac{1}{5} [(\frac{1 + 5}{2})^{n} - (\frac{1 - 5}{2})^{n}]$

Démonstration (Solution)

Notons $α = \frac{1 + 5}{2}$ et $β = \frac{1 - 5}{2}$ . Ce sont les racines de l'équation caractéristique $r^{2} - r - 1 = 0$ , donc $α^{2} = α + 1$ et $β^{2} = β + 1$ . Soit $P (n)$ la propriété : $F_{n} = \frac{α ^{n} - β ^{n}}{5}$ .

Initialisation :
Pour $n = 0$ : $\frac{α ^{0} - β ^{0}}{5} = 0 = F_{0}$ , donc $P (0)$ est vraie.
Pour $n = 1$ : $\frac{α ^{1} - β ^{1}}{5} = \frac{1}{5} (\frac{1 + 5}{2} - \frac{1 - 5}{2}) = \frac{5}{5} = 1 = F_{1}$ , donc $P (1)$ est vraie.
Hérédité : Supposons $P (n)$ et $P (n + 1)$ vraies pour un certain $n \geq 0$ . Calculons $F_{n + 2}$ :

$F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n} = \frac{α ^{n + 1} - β ^{n + 1}}{5} + \frac{α ^{n} - β ^{n}}{5}$

$= \frac{α ^{n} ( α + 1 ) - β ^{n} ( β + 1 )}{5}$

Or $α + 1 = α^{2}$ et $β + 1 = β^{2}$ , d'où :

$F_{n + 2} = \frac{α ^{n} \cdot α ^{2} - β ^{n} \cdot β ^{2}}{5} = \frac{α ^{n + 2} - β ^{n + 2}}{5}$

Ainsi $P (n + 2)$ est vraie. Par le principe de récurrence double, la formule est établie pour tout $n \in N$ .

Récapitulatif des niveaux

Niveau	Exercices
$⋆$	1, 2, 3
$⋆ ⋆$	4, 5, 6
$⋆ ⋆ ⋆$	7, 8

Synthèse du chapitre (à retenir)

L'analyse-synthèse consiste à trouver les solutions candidates (analyse) puis à les tester (synthèse).
La négation de $\forall x \in E, P (x)$ est $\exists x \in E, \neg P (x)$ .
L'inclusion réciproque d'une intersection $f (A) \cap f (B) \subset f (A \cap B)$ est fausse en général.
Une relation d'équivalence induit une partition de l'ensemble sous-jacent via ses classes.
L'ordre est total si tous les éléments sont comparables (comme sur $R$ ), et partiel sinon.

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Raisonnement et vocabulaire ensembliste

<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>1.1 Introduction et motivation

1.2 Rudiments de logique

1.2.1 Assertions et connecteurs logiques

1.2.2 Quantificateurs

1.2.3 Modes de raisonnement

Raisonnement par disjonction des cas

Raisonnement par contraposition

Raisonnement par l'absurde

Raisonnement par analyse-synthèse

1.2.4 Raisonnement par récurrence

1.3 Vocabulaire des ensembles

1.3.1 Ensemble, appartenance et inclusion

1.3.2 Opérations sur les parties d'un ensemble

1.3.3 Produit cartésien et ensemble des parties

1.3.4 Partition d'un ensemble

1.4 Applications

1.4.1 Définitions de base

1.4.2 Outils associés aux applications

1.4.3 Propriétés globales des applications

1.5 Relations binaires

1.5.1 Définition générale

1.5.2 Relation d'équivalence

1.5.3 Relation d'ordre

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>1.6 Exercices résolus

Niveau ⋆ (Application directe du cours)

Niveau ⋆⋆ (Application avec raisonnement intermédiaire)

Niveau ⋆⋆⋆ (Raisonnement subtil ou plusieurs étapes)

Récapitulatif des niveaux

Niveau $⋆$ (Application directe du cours)

Niveau $⋆ ⋆$ (Application avec raisonnement intermédiaire)

Niveau $⋆ ⋆ ⋆$ (Raisonnement subtil ou plusieurs étapes)