Exercices corrigés — Raisonnement et vocabulaire ensembliste (mathématiques MPSI)

46 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

A. Assertions et connecteurs logiques

• La barre de Sheffer Exercice de TD
• Barre de Sheffer. On pose P ∣ Q := ¬(P ∧ Q). Exprimer ¬ P, puis P ∧ Q… Exercice classique

C. Modes de raisonnement

• Une équation fonctionnelle, par analyse-synthèse Exercice de TD
• Déterminer toutes les applications f : ℝ → ℝ telles que ∀ x ∈ ℝ, f(x)… Exercice classique
• Montrer par l'absurde que √2 ∉ ℚ. Adapter la preuve à √3, puis… Application directe du cours

D. Raisonnement par récurrence

• Renforcer l'hypothèse de récurrence Exercice de TD
• Où est la faute ? On « démontre » que dans tout ensemble de n ≥ 1… Application directe du cours
• Récurrence forte. Montrer que tout entier n ≥ 2 admet un diviseur… Application directe du cours

E. Vocabulaire des ensembles

• Quatre équations dans $\mathcal{P}(E)$ Exercice de TD
• Différence symétrique. On pose A Δ B = (A ∖ B) ∪ (B ∖ A). Montrer que… Application directe du cours
• Union et intersection d'une famille d'intervalles Application directe du cours
• Fonctions caractéristiques et opérations ensemblistes Application directe du cours
• Lois de De Morgan pour une famille de parties Application directe du cours
• Intersection d'une famille d'intervalles Application directe du cours
• Ensemble vide et équation à paramètre Application directe du cours
• Égalité de trois parties par recoupement Application directe du cours
• Partition associée à une chaîne strictement croissante Application directe du cours

F. Applications, images directes et réciproques

• Trois inclusions et ce qu'elles mesurent Exercice de TD
• Inverses à gauche et à droite Exercice de TD
• Le théorème de Cantor Exercice de TD
• Problème — Point fixe dans $\mathcal{P}(E)$ et théorème de Cantor–Bernstein Exercice de TD
• Montrer que f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B) pour toutes parties A, B de E, puis… Exercice classique
• Soit f : E → E telle que f ∘ f ∘ f = f. Montrer que f est injective si… Application directe du cours
• Étude d'une fonction définie par morceaux Application directe du cours
• Propriétés d'une fonction quadratique Application directe du cours
• Injectivité d'une fonction rationnelle Application directe du cours
• Partitions et image réciproque Application directe du cours
• Injectivité par contraposée (fonction rationnelle) Application directe du cours
• Composition d'applications Application directe du cours
• Bijectivité lorsque $f\circ g\circ f$ est bijective Application directe du cours
• Injectivité et surjectivité d'une composée Application directe du cours
• Image de $g\circ f$ lorsque $f\circ g=Id$ Application directe du cours
• L'identité $f(f^{-1}(A^{\prime }))=A^{\prime }\cap f(E)$ Application directe du cours
• Images d'une famille de parties Application directe du cours
• Image réciproque et intersection Exercice classique
• Image directe et réciproque Exercice classique
• Caractérisation de l'injectivité Exercice classique
• Identité ensembliste d'une surjection Exercice classique

G. Relations binaires : équivalence et ordre

• La conjugaison des applications de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ Exercice de TD
• Ordre lexicographique et ordre produit Exercice de TD
• Soit n ≥ 1. Sur ℤ, on pose a ≡ b [n] ⟺ n divise b - a. Montrer que… Application directe du cours
• Applications croissantes et points fixes Application directe du cours
• Cardinal des classes d'une relation algébrique Application directe du cours
• Majorants et bornes lus sur un diagramme Exercice classique
• Composition, monotonie et injectivité Application directe du cours

B. Quantificateurs et négations

• Traduire avec des quantificateurs, puis nier : « f est croissante sur… Application directe du cours

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