Injectivité par contraposée (fonction rationnelle)

Soient $a,b\in \mathbb{R}\setminus \{-1\}$ tels que $f(a)=f(b)$, c'est-à-dire $\frac{a}{a+1}=\frac{b}{b+1}$.

Les dénominateurs $a+1$ et $b+1$ sont non nuls : on peut multiplier en croix. $$a(b+1)=b(a+1)⟺ab+a=ab+b⟺a=b.$$

Donc $f$ est injective.

La lecture par contraposée, qui donne son titre à l'exercice : montrer $f(a)=f(b)\Rightarrow a=b$, c'est exactement montrer $a\ne b\Rightarrow f(a)\ne f(b)$. Les deux formulations sont contraposées l'une de l'autre, et l'on choisit celle qui se calcule — ici la première, car une égalité se manipule mieux qu'une différence.

Remarque. $f$ n'est pas surjective : $f(x)=1$ donnerait $x=x+1$, impossible. On a en fait $f(x)=1-\frac{1}{x+1}$, dont l'image est $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.